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因式分解法
(1)概念:利用
(2)若能把方程$x^2+bx+c=0$左边的多项式因式分解为$x^2+bx+c=(x-d)(x-h)$,则
(1)概念:利用
因式分解
来解一元二次方程的方法叫作因式分解法.(2)若能把方程$x^2+bx+c=0$左边的多项式因式分解为$x^2+bx+c=(x-d)(x-h)$,则
$x=d$
和$x=h$
就是方程$x^2+bx+c=0$的根.答案
(1) 因式分解
(2) $x=d$ $x=h$
(2) $x=d$ $x=h$
解析
【分析】
本题考查因式分解法解一元二次方程的基础概念，解题思路如下：①第一小问直接回忆因式分解法的定义即可填空；②第二小问结合因式分解法解方程的核心原理（若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0），推导分解后方程的解，即为原方程的根。
【解析】
(1) 根据因式分解法的定义，利用因式分解将一元二次方程转化为两个一次多项式乘积等于0的形式，进而求解方程的方法叫作因式分解法，因此第一空填因式分解。
(2) 若$x^2+bx+c=(x-d)(x-h)$，则原方程可转化为$(x-d)(x-h)=0$，根据乘法的性质：若两个数的乘积为0，则至少有一个数为0，可得$x-d=0$或$x-h=0$，解得$x=d$、$x=h$，因此$x=d$和$x=h$就是原方程的根。
【答案】
(1) 因式分解
(2) $x=d$；$x=h$
【知识点】
因式分解法的概念；因式分解法解一元二次方程原理
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要围绕因式分解法的定义和解方程的核心原理设问，熟练掌握基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查因式分解法解一元二次方程的基础概念，解题思路如下：①第一小问直接回忆因式分解法的定义即可填空；②第二小问结合因式分解法解方程的核心原理（若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0），推导分解后方程的解，即为原方程的根。
【解析】
(1) 根据因式分解法的定义，利用因式分解将一元二次方程转化为两个一次多项式乘积等于0的形式，进而求解方程的方法叫作因式分解法，因此第一空填因式分解。
(2) 若$x^2+bx+c=(x-d)(x-h)$，则原方程可转化为$(x-d)(x-h)=0$，根据乘法的性质：若两个数的乘积为0，则至少有一个数为0，可得$x-d=0$或$x-h=0$，解得$x=d$、$x=h$，因此$x=d$和$x=h$就是原方程的根。
【答案】
(1) 因式分解
(2) $x=d$；$x=h$
【知识点】
因式分解法的概念；因式分解法解一元二次方程原理
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要围绕因式分解法的定义和解方程的核心原理设问，熟练掌握基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
【例1】用因式分解法解下列方程：
(1)$x^2 -4x=0$；
(2)$(x+1)^2 -4=0$；
(3)$(x-3)^2 -2x(x-3)=0$.
(1)$x^2 -4x=0$；
(2)$(x+1)^2 -4=0$；
(3)$(x-3)^2 -2x(x-3)=0$.
答案
解:(1)$x^2 -4x=0$,
因式分解,得$x(x-4)=0$,
$\therefore x=0$或$x-4=0$,
解得$x_1=0,x_2=4$.
(2)$(x+1)^2 -4=0$,
$(x+1+2)(x+1-2)=0$,
$x+1+2=0$或$x+1-2=0$,
$\therefore x_1=-3,x_2=1$.
(3)$(x-3)^2 -2x(x-3)=0$,
因式分解,得$(x-3)(x-3-2x)=0$,
即$(x-3)(-3-x)=0$,
$\therefore x-3=0$或$-3-x=0$,
解得$x_1=3,x_2=-3$.
因式分解,得$x(x-4)=0$,
$\therefore x=0$或$x-4=0$,
解得$x_1=0,x_2=4$.
(2)$(x+1)^2 -4=0$,
$(x+1+2)(x+1-2)=0$,
$x+1+2=0$或$x+1-2=0$,
$\therefore x_1=-3,x_2=1$.
(3)$(x-3)^2 -2x(x-3)=0$,
因式分解,得$(x-3)(x-3-2x)=0$,
即$(x-3)(-3-x)=0$,
$\therefore x-3=0$或$-3-x=0$,
解得$x_1=3,x_2=-3$.
解析
【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心逻辑是：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0，据此可将二次方程降次转化为两个一元一次方程求解。解题步骤为：①将方程整理为右边为0的形式；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，分别求解得到方程的根。
各小题的思考方向：
(1) 方程左边两项有公因式x，直接提取公因式即可分解；
(2) 方程左边是$(x+1)^2$与$2^2$的差，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的形式，用平方差公式分解；
(3) 方程左边两项有公因式$(x-3)$，提取公因式即可分解，注意不能直接在方程两边同时除以$(x-3)$，否则会丢失$x=3$这个根。
【解析】
(1) $x^2 -4x=0$,
因式分解,得$x(x-4)=0$,
$\therefore x=0$或$x-4=0$,
解得$x_1=0,x_2=4$.
(2) $(x+1)^2 -4=0$,
因式分解,得$(x+1+2)(x+1-2)=0$,
$x+1+2=0$或$x+1-2=0$,
$\therefore x_1=-3,x_2=1$.
(3) $(x-3)^2 -2x(x-3)=0$,
因式分解,得$(x-3)(x-3-2x)=0$,
即$(x-3)(-3-x)=0$,
$\therefore x-3=0$或$-3-x=0$,
解得$x_1=3,x_2=-3$.
【答案】
(1) $x_1=0,x_2=4$；
(2) $x_1=-3,x_2=1$；
(3) $x_1=3,x_2=-3$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解、平方差公式因式分解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查对因式分解两种基本方法的掌握，熟练掌握因式分解的方法、明确因式分解法解方程的逻辑是解题关键，解题时注意不要随意约去含未知数的公因式，避免漏根。
【难度系数】
0.8
因式分解法解一元二次方程的核心逻辑是：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0，据此可将二次方程降次转化为两个一元一次方程求解。解题步骤为：①将方程整理为右边为0的形式；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，分别求解得到方程的根。
各小题的思考方向：
(1) 方程左边两项有公因式x，直接提取公因式即可分解；
(2) 方程左边是$(x+1)^2$与$2^2$的差，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的形式，用平方差公式分解；
(3) 方程左边两项有公因式$(x-3)$，提取公因式即可分解，注意不能直接在方程两边同时除以$(x-3)$，否则会丢失$x=3$这个根。
【解析】
(1) $x^2 -4x=0$,
因式分解,得$x(x-4)=0$,
$\therefore x=0$或$x-4=0$,
解得$x_1=0,x_2=4$.
(2) $(x+1)^2 -4=0$,
因式分解,得$(x+1+2)(x+1-2)=0$,
$x+1+2=0$或$x+1-2=0$,
$\therefore x_1=-3,x_2=1$.
(3) $(x-3)^2 -2x(x-3)=0$,
因式分解,得$(x-3)(x-3-2x)=0$,
即$(x-3)(-3-x)=0$,
$\therefore x-3=0$或$-3-x=0$,
解得$x_1=3,x_2=-3$.
【答案】
(1) $x_1=0,x_2=4$；
(2) $x_1=-3,x_2=1$；
(3) $x_1=3,x_2=-3$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解、平方差公式因式分解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查对因式分解两种基本方法的掌握，熟练掌握因式分解的方法、明确因式分解法解方程的逻辑是解题关键，解题时注意不要随意约去含未知数的公因式，避免漏根。
【难度系数】
0.8
【变式1】方程$2x^2=5x$的根为
$x_1=0,x_2=\frac{5}{2}$
。答案
$x_1=0,x_2=\frac{5}{2}$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，解题时需注意不能直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0这个根。正确思路为：先将方程移项，把所有项移到等号左侧，再通过提取公因式进行因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到方程的全部根。
【解析】
首先对原方程移项，得：
$2x^2 - 5x = 0$
提取公因式$x$，因式分解得：
$x(2x - 5) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”，可得：
$x = 0$ 或 $2x - 5 = 0$
分别解两个一元一次方程：
当$x=0$时，成立；
解$2x - 5 = 0$，得$x = \frac{5}{2}$。
【答案】
$x_1=0,x_2=\frac{5}{2}$
【知识点】
一元二次方程求解；因式分解法解方程
【点评】
本题是方程求解的基础题，解题的易错点是直接两边除以含未知数的式子导致漏根，熟练掌握因式分解法解方程的步骤即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程的求解，解题时需注意不能直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0这个根。正确思路为：先将方程移项，把所有项移到等号左侧，再通过提取公因式进行因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到方程的全部根。
【解析】
首先对原方程移项，得：
$2x^2 - 5x = 0$
提取公因式$x$，因式分解得：
$x(2x - 5) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”，可得：
$x = 0$ 或 $2x - 5 = 0$
分别解两个一元一次方程：
当$x=0$时，成立；
解$2x - 5 = 0$，得$x = \frac{5}{2}$。
【答案】
$x_1=0,x_2=\frac{5}{2}$
【知识点】
一元二次方程求解；因式分解法解方程
【点评】
本题是方程求解的基础题，解题的易错点是直接两边除以含未知数的式子导致漏根，熟练掌握因式分解法解方程的步骤即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
【变式2】用因式分解法解下列方程：
(1)$x(5x+4)=5x+4$；
(2)$x^2 - 9 = 4(x - 3)$。
(1)$x(5x+4)=5x+4$；
(2)$x^2 - 9 = 4(x - 3)$。
答案
解:(1)$x(5x+4)=5x+4$,
$\therefore x(5x+4)-(5x+4)=0$,
$\therefore (x-1)(5x+4)=0$,
$\therefore x_1=1,x_2=-\frac{4}{5}$.
(2)原方程可化为$(x+3)(x-3)-4(x-3)=0$,
$\therefore (x-3)(x+3-4)=0$,
$\therefore (x-3)(x-1)=0$,
$\therefore x-3=0$或$x-1=0$,
$\therefore x_1=3,x_2=1$.
$\therefore x(5x+4)-(5x+4)=0$,
$\therefore (x-1)(5x+4)=0$,
$\therefore x_1=1,x_2=-\frac{4}{5}$.
(2)原方程可化为$(x+3)(x-3)-4(x-3)=0$,
$\therefore (x-3)(x+3-4)=0$,
$\therefore (x-3)(x-1)=0$,
$\therefore x-3=0$或$x-1=0$,
$\therefore x_1=3,x_2=1$.
解析
【分析】
用因式分解法解一元二次方程的核心思路是将方程变形为“几个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，转化为一元一次方程求解。
对于(1)：方程左右两边都有相同的整式$5x+4$，注意不能直接两边除以$5x+4$（否则会漏掉$5x+4=0$的根），需先将右边的$5x+4$移到左边，再提取公因式$5x+4$进行因式分解。
对于(2)：左边$x^2-9$符合平方差公式的形式，先利用平方差公式分解为$(x+3)(x-3)$，此时方程两边出现公因式$x-3$，同样先移项再提取公因式$x-3$进行因式分解即可。
【解析】
(1) $x(5x+4)=5x+4$，
移项得：$x(5x+4)-(5x+4)=0$，
提取公因式得：$(x-1)(5x+4)=0$，
$\therefore x-1=0$或$5x+4=0$，
解得$x_1=1,x_2=-\frac{4}{5}$。
(2) 原方程可化为：$(x+3)(x-3)=4(x-3)$，
移项得：$(x+3)(x-3)-4(x-3)=0$，
提取公因式得：$(x-3)(x+3-4)=0$，
化简得：$(x-3)(x-1)=0$，
$\therefore x-3=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=3,x_2=1$。
【答案】
(1) $x_1=1,x_2=-\frac{4}{5}$；(2) $x_1=3,x_2=1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法、平方差公式
【点评】
本题是因式分解法解方程的基础应用，解题时要注意不能随意给方程两边除以可能为0的整式，避免出现漏根的情况，熟练掌握提公因式、公式法等因式分解的方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
用因式分解法解一元二次方程的核心思路是将方程变形为“几个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，转化为一元一次方程求解。
对于(1)：方程左右两边都有相同的整式$5x+4$，注意不能直接两边除以$5x+4$（否则会漏掉$5x+4=0$的根），需先将右边的$5x+4$移到左边，再提取公因式$5x+4$进行因式分解。
对于(2)：左边$x^2-9$符合平方差公式的形式，先利用平方差公式分解为$(x+3)(x-3)$，此时方程两边出现公因式$x-3$，同样先移项再提取公因式$x-3$进行因式分解即可。
【解析】
(1) $x(5x+4)=5x+4$，
移项得：$x(5x+4)-(5x+4)=0$，
提取公因式得：$(x-1)(5x+4)=0$，
$\therefore x-1=0$或$5x+4=0$，
解得$x_1=1,x_2=-\frac{4}{5}$。
(2) 原方程可化为：$(x+3)(x-3)=4(x-3)$，
移项得：$(x+3)(x-3)-4(x-3)=0$，
提取公因式得：$(x-3)(x+3-4)=0$，
化简得：$(x-3)(x-1)=0$，
$\therefore x-3=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=3,x_2=1$。
【答案】
(1) $x_1=1,x_2=-\frac{4}{5}$；(2) $x_1=3,x_2=1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法、平方差公式
【点评】
本题是因式分解法解方程的基础应用，解题时要注意不能随意给方程两边除以可能为0的整式，避免出现漏根的情况，熟练掌握提公因式、公式法等因式分解的方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
【例2】用因式分解法解下列方程：
(1)$x^2 - 4x -5=0$；
(2)$x^2 +6x -7=0$。
(1)$x^2 - 4x -5=0$；
(2)$x^2 +6x -7=0$。
答案
解:(1)$x^2 -4x -5=0$,
$\because x^2 -4x -5=(x-5)(x+1)$,
$\therefore (x-5)(x+1)=0$,
$\therefore x-5=0$或$x+1=0$,
$\therefore x_1=5,x_2=-1$.
(2)$x^2 +6x -7=0$,
因式分解,得$(x+7)(x-1)=0$,
则$x+7=0$或$x-1=0$,
解得$x_1=-7,x_2=1$.
$\because x^2 -4x -5=(x-5)(x+1)$,
$\therefore (x-5)(x+1)=0$,
$\therefore x-5=0$或$x+1=0$,
$\therefore x_1=5,x_2=-1$.
(2)$x^2 +6x -7=0$,
因式分解,得$(x+7)(x-1)=0$,
则$x+7=0$或$x-1=0$,
解得$x_1=-7,x_2=1$.
解析
【分析】
用因式分解法解一元二次方程的核心思路是将方程左边的二次三项式因式分解为两个一次因式的乘积，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根。对于形如$x^2+bx+c=0$的一元二次方程，用十字相乘法分解时，需要找到两个数$m$、$n$，满足$m× n = c$，$m + n = b$，即可将左边分解为$(x+m)(x+n)$。
(1) 解$x^2-4x-5=0$时，找乘积为$-5$、和为$-4$的两个数，可得$-5$和$1$，即可分解因式；
(2) 解$x^2+6x-7=0$时，找乘积为$-7$、和为$6$的两个数，可得$7$和$-1$，即可分解因式。
【解析】
(1) $x^2 - 4x -5=0$，
对左边因式分解得：$x^2 -4x -5=(x-5)(x+1)$，
因此原方程化为$(x-5)(x+1)=0$，
可得$x-5=0$或$x+1=0$，
解得$x_1=5,x_2=-1$。
(2) $x^2 +6x -7=0$，
对左边因式分解得：$(x+7)(x-1)=0$，
可得$x+7=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=-7,x_2=1$。
【答案】
(1) $x_1=5,x_2=-1$；(2) $x_1=-7,x_2=1$
【知识点】
因式分解法解方程；十字相乘法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查十字相乘法分解二次三项式的应用，解题关键是熟练掌握十字相乘的数的配对技巧，通过因式分解将二次方程降次为一次方程求解，是需要熟练掌握的基础技能。
【难度系数】
0.8
用因式分解法解一元二次方程的核心思路是将方程左边的二次三项式因式分解为两个一次因式的乘积，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根。对于形如$x^2+bx+c=0$的一元二次方程，用十字相乘法分解时，需要找到两个数$m$、$n$，满足$m× n = c$，$m + n = b$，即可将左边分解为$(x+m)(x+n)$。
(1) 解$x^2-4x-5=0$时，找乘积为$-5$、和为$-4$的两个数，可得$-5$和$1$，即可分解因式；
(2) 解$x^2+6x-7=0$时，找乘积为$-7$、和为$6$的两个数，可得$7$和$-1$，即可分解因式。
【解析】
(1) $x^2 - 4x -5=0$，
对左边因式分解得：$x^2 -4x -5=(x-5)(x+1)$，
因此原方程化为$(x-5)(x+1)=0$，
可得$x-5=0$或$x+1=0$，
解得$x_1=5,x_2=-1$。
(2) $x^2 +6x -7=0$，
对左边因式分解得：$(x+7)(x-1)=0$，
可得$x+7=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=-7,x_2=1$。
【答案】
(1) $x_1=5,x_2=-1$；(2) $x_1=-7,x_2=1$
【知识点】
因式分解法解方程；十字相乘法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查十字相乘法分解二次三项式的应用，解题关键是熟练掌握十字相乘的数的配对技巧，通过因式分解将二次方程降次为一次方程求解，是需要熟练掌握的基础技能。
【难度系数】
0.8
【变式】(2026 江门月考)用因式分解法解下列方程：
(1)$x^2 - 3x + 2 = 0$；
(2)$x^2 + x - 30 = 0$。
(1)$x^2 - 3x + 2 = 0$；
(2)$x^2 + x - 30 = 0$。
答案
解:(1)$x^2 -3x +2=0$,
$(x-2)(x-1)=0$,
$x-2=0$或$x-1=0$,
$\therefore x_1=2,x_2=1$.
(2)$x^2 +x -30=0$,
$(x-5)(x+6)=0$,
$x-5=0$或$x+6=0$,
$\therefore x_1=5,x_2=-6$.
$(x-2)(x-1)=0$,
$x-2=0$或$x-1=0$,
$\therefore x_1=2,x_2=1$.
(2)$x^2 +x -30=0$,
$(x-5)(x+6)=0$,
$x-5=0$或$x+6=0$,
$\therefore x_1=5,x_2=-6$.
解析
【分析】
用因式分解法解一元二次方程的核心思路是：先将方程左边的二次三项式因式分解为两个一次因式的乘积，保证右边为0，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。
对于形如$x^2+bx+c=0$的一元二次方程，用十字相乘法因式分解时，需要找到两个数，满足两数乘积等于常数项$c$，两数之和等于一次项系数$b$。
(1)题中方程$x^2-3x+2=0$，常数项是2，一次项系数是-3，找到-1和-2，满足$(-1)×(-2)=2$，$-1+(-2)=-3$，即可分解因式；
(2)题中方程$x^2+x-30=0$，常数项是-30，一次项系数是1，找到6和-5，满足$6×(-5)=-30$，$6+(-5)=1$，即可分解因式。
【解析】
(1) 对$x^2 - 3x + 2 = 0$因式分解，得
$(x-1)(x-2)=0$
则$x-1=0$或$x-2=0$
$\therefore x_1=1$，$x_2=2$
(2) 对$x^2 + x - 30 = 0$因式分解，得
$(x+6)(x-5)=0$
则$x+6=0$或$x-5=0$
$\therefore x_1=-6$，$x_2=5$
【答案】
(1)$x_1=1,x_2=2$；(2)$x_1=5,x_2=-6$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；十字相乘法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查十字相乘法分解二次三项式的应用，熟练掌握十字相乘“拆常数项，凑一次项”的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
用因式分解法解一元二次方程的核心思路是：先将方程左边的二次三项式因式分解为两个一次因式的乘积，保证右边为0，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。
对于形如$x^2+bx+c=0$的一元二次方程，用十字相乘法因式分解时，需要找到两个数，满足两数乘积等于常数项$c$，两数之和等于一次项系数$b$。
(1)题中方程$x^2-3x+2=0$，常数项是2，一次项系数是-3，找到-1和-2，满足$(-1)×(-2)=2$，$-1+(-2)=-3$，即可分解因式；
(2)题中方程$x^2+x-30=0$，常数项是-30，一次项系数是1，找到6和-5，满足$6×(-5)=-30$，$6+(-5)=1$，即可分解因式。
【解析】
(1) 对$x^2 - 3x + 2 = 0$因式分解，得
$(x-1)(x-2)=0$
则$x-1=0$或$x-2=0$
$\therefore x_1=1$，$x_2=2$
(2) 对$x^2 + x - 30 = 0$因式分解，得
$(x+6)(x-5)=0$
则$x+6=0$或$x-5=0$
$\therefore x_1=-6$，$x_2=5$
【答案】
(1)$x_1=1,x_2=2$；(2)$x_1=5,x_2=-6$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；十字相乘法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查十字相乘法分解二次三项式的应用，熟练掌握十字相乘“拆常数项，凑一次项”的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
