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2. 如果关于$x$的一元二次方程$x^2 + px + q = 0$能用公式法求解，那么必须满足的条件是（
A.$p^2 -4q ≥0$
B.$p^2 -4q ≤0$
C.$p^2 -4q ＞0$
D.$p^2 -4q ＜0$
A
）A.$p^2 -4q ≥0$
B.$p^2 -4q ≤0$
C.$p^2 -4q ＞0$
D.$p^2 -4q ＜0$
答案
2. A
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆公式法解一元二次方程的相关逻辑：一元二次方程的求根公式是通过配方法推导而来的，配方后需要对含未知数的平方项开平方得到实数解，因此根号内的式子（即根的判别式）必须是非负的。本题给出的方程已经明确是一元二次方程，无需考虑二次项系数为0的情况，只需代入对应系数算出判别式，令其大于等于0即可得到答案。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），实数范围内能用公式法求解的前提是根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$。
本题中方程为$x^2 + px + q = 0$，对应系数$a=1$，$b=p$，$c=q$，代入判别式得：
$\Delta = p^2 - 4×1× q = p^2 - 4q$
因此需满足$p^2 - 4q ≥ 0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
根的判别式，公式法解一元二次方程
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对公式法求解一元二次方程前提条件的掌握，熟记根的判别式的取值意义即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆公式法解一元二次方程的相关逻辑：一元二次方程的求根公式是通过配方法推导而来的，配方后需要对含未知数的平方项开平方得到实数解，因此根号内的式子（即根的判别式）必须是非负的。本题给出的方程已经明确是一元二次方程，无需考虑二次项系数为0的情况，只需代入对应系数算出判别式，令其大于等于0即可得到答案。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），实数范围内能用公式法求解的前提是根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$。
本题中方程为$x^2 + px + q = 0$，对应系数$a=1$，$b=p$，$c=q$，代入判别式得：
$\Delta = p^2 - 4×1× q = p^2 - 4q$
因此需满足$p^2 - 4q ≥ 0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
根的判别式，公式法解一元二次方程
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对公式法求解一元二次方程前提条件的掌握，熟记根的判别式的取值意义即可快速作答。
【难度系数】
0.9
3. 解关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，其中有一个根为$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2+4}}{2}$，则$c$的值为（
A.$1$
B.$-1$
C.$0$
D.$2$
B
）A.$1$
B.$-1$
C.$0$
D.$2$
答案
3. B
解析
【分析】
解题时首先回忆一元二次方程的求根公式，将题目给出的根的形式与标准求根公式对比，先通过分母相等确定二次项系数a的值，再通过根号内的被开方数相等建立关于c的方程，求解即可得到c的值。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
已知该方程的根为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2+4}}{2}$，将两个式子对应对比：
1. 对比分母可得：$2a=2$，解得$a=1$；
2. 对比根号内的被开方数可得：$b^2-4ac = b^2+4$，将$a=1$代入式子：
$b^2 - 4×1× c = b^2 +4$
两边同时减去$b^2$得：$-4c=4$，解得$c=-1$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 系数对应法
【点评】
本题核心是考查对一元二次方程求根公式结构的熟悉程度，只需将已知根的形式与标准求根公式逐部分对应即可求解，属于基础题型，解题的关键是牢记求根公式各部分对应的系数关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆一元二次方程的求根公式，将题目给出的根的形式与标准求根公式对比，先通过分母相等确定二次项系数a的值，再通过根号内的被开方数相等建立关于c的方程，求解即可得到c的值。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
已知该方程的根为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2+4}}{2}$，将两个式子对应对比：
1. 对比分母可得：$2a=2$，解得$a=1$；
2. 对比根号内的被开方数可得：$b^2-4ac = b^2+4$，将$a=1$代入式子：
$b^2 - 4×1× c = b^2 +4$
两边同时减去$b^2$得：$-4c=4$，解得$c=-1$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 系数对应法
【点评】
本题核心是考查对一元二次方程求根公式结构的熟悉程度，只需将已知根的形式与标准求根公式逐部分对应即可求解，属于基础题型，解题的关键是牢记求根公式各部分对应的系数关系。
【难度系数】
0.7
4. 用公式法解下列方程：
(1)$x^2 - 2x = 4x - 5$；
(2)$x(x + 3) = 12 + 8x$。
(1)$x^2 - 2x = 4x - 5$；
(2)$x(x + 3) = 12 + 8x$。
答案
解:(1)$x^2 - 2x = 4x - 5$，
移项、合并同类项，得$x^2 - 6x + 5 = 0$，
得$a=1,b=-6,c=5$，
$\therefore b^2-4ac=(-6)^2-4×1×5=16＞0$，
$\therefore x_1=\frac{-(-6)+\sqrt{16}}{2×1}=5,x_2=\frac{-(-6)-\sqrt{16}}{2×1}=1$。
(2)$x(x + 3) = 12 + 8x$，
去括号，得$x^2 + 3x = 12 + 8x$，
移项，得$x^2 + 3x - 8x - 12 = 0$，
合并同类项，得$x^2 - 5x - 12 = 0$，
$\therefore b^2-4ac=(-5)^2-4×1×(-12)=73＞0$，
$\therefore x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{73}}{2×1}=\frac{5\pm\sqrt{73}}{2}$，
$\therefore x_1=\frac{5+\sqrt{73}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{73}}{2}$。
移项、合并同类项，得$x^2 - 6x + 5 = 0$，
得$a=1,b=-6,c=5$，
$\therefore b^2-4ac=(-6)^2-4×1×5=16＞0$，
$\therefore x_1=\frac{-(-6)+\sqrt{16}}{2×1}=5,x_2=\frac{-(-6)-\sqrt{16}}{2×1}=1$。
(2)$x(x + 3) = 12 + 8x$，
去括号，得$x^2 + 3x = 12 + 8x$，
移项，得$x^2 + 3x - 8x - 12 = 0$，
合并同类项，得$x^2 - 5x - 12 = 0$，
$\therefore b^2-4ac=(-5)^2-4×1×(-12)=73＞0$，
$\therefore x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{73}}{2×1}=\frac{5\pm\sqrt{73}}{2}$，
$\therefore x_1=\frac{5+\sqrt{73}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{73}}{2}$。
解析
【分析】
公式法解一元二次方程的核心是先将方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，再按固定步骤求解：①确定一般式中$a,b,c$的取值（注意带符号）；②计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断根的存在情况；③若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算方程的根。本题两个小题都需要先通过去括号、移项、合并同类项化为一般式，再按上述步骤计算即可。
【解析】
(1) 对$x^2 - 2x = 4x - 5$移项、合并同类项，得：
$x^2 - 6x + 5 = 0$
可得$a=1,b=-6,c=5$
计算判别式：$b^2-4ac=(-6)^2-4×1×5=16＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式得：
$x_1=\frac{-(-6)+\sqrt{16}}{2×1}=5,x_2=\frac{-(-6)-\sqrt{16}}{2×1}=1$
(2) 对$x(x + 3) = 12 + 8x$去括号，得：
$x^2 + 3x = 12 + 8x$
移项、合并同类项，得：
$x^2 - 5x - 12 = 0$
可得$a=1,b=-5,c=-12$
计算判别式：$b^2-4ac=(-5)^2-4×1×(-12)=73＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式得：
$x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{73}}{2×1}=\frac{5\pm\sqrt{73}}{2}$
即$x_1=\frac{5+\sqrt{73}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{73}}{2}$
【答案】
(1)$x_1=5,x_2=1$；(2)$x_1=\frac{5+\sqrt{73}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{73}}{2}$
【知识点】
公式法解一元二次方程、一元二次方程一般形式、根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查公式法的标准解题步骤，解题时需注意先将方程化为一般形式，确定$a,b,c$时要带对符号，计算判别式避免符号错误，熟练掌握步骤就能快速准确求解。
【难度系数】
0.8
公式法解一元二次方程的核心是先将方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，再按固定步骤求解：①确定一般式中$a,b,c$的取值（注意带符号）；②计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断根的存在情况；③若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算方程的根。本题两个小题都需要先通过去括号、移项、合并同类项化为一般式，再按上述步骤计算即可。
【解析】
(1) 对$x^2 - 2x = 4x - 5$移项、合并同类项，得：
$x^2 - 6x + 5 = 0$
可得$a=1,b=-6,c=5$
计算判别式：$b^2-4ac=(-6)^2-4×1×5=16＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式得：
$x_1=\frac{-(-6)+\sqrt{16}}{2×1}=5,x_2=\frac{-(-6)-\sqrt{16}}{2×1}=1$
(2) 对$x(x + 3) = 12 + 8x$去括号，得：
$x^2 + 3x = 12 + 8x$
移项、合并同类项，得：
$x^2 - 5x - 12 = 0$
可得$a=1,b=-5,c=-12$
计算判别式：$b^2-4ac=(-5)^2-4×1×(-12)=73＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式得：
$x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{73}}{2×1}=\frac{5\pm\sqrt{73}}{2}$
即$x_1=\frac{5+\sqrt{73}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{73}}{2}$
【答案】
(1)$x_1=5,x_2=1$；(2)$x_1=\frac{5+\sqrt{73}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{73}}{2}$
【知识点】
公式法解一元二次方程、一元二次方程一般形式、根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查公式法的标准解题步骤，解题时需注意先将方程化为一般形式，确定$a,b,c$时要带对符号，计算判别式避免符号错误，熟练掌握步骤就能快速准确求解。
【难度系数】
0.8
5. 解方程$x^2=3x+2$时，有一位同学解答如下：
这里$a=1,b=3,c=2$，因而$b^2-4ac=3^2-4×1×2=1＞0$，所以$x=\frac{-3±\sqrt{1}}{2}=\frac{-3±1}{2}$。
因此，原方程的根为$x_1=-1,x_2=-2$。
请你分析以上解答有无错误.如有错误，请指出错误的地方，并写出正确的解答过程。
这里$a=1,b=3,c=2$，因而$b^2-4ac=3^2-4×1×2=1＞0$，所以$x=\frac{-3±\sqrt{1}}{2}=\frac{-3±1}{2}$。
因此，原方程的根为$x_1=-1,x_2=-2$。
请你分析以上解答有无错误.如有错误，请指出错误的地方，并写出正确的解答过程。
答案
解:有错误.错误的地方:没有先将方程化为一般形式再确定$a,b,c$的值.
正确的解答过程如下:
将方程$x^2=3x+2$化为一般形式是$x^2 - 3x - 2 = 0$，
$\therefore a=1,b=-3,c=-2$，
因而$b^2-4ac=(-3)^2-4×1×(-2)=17＞0$，
$\therefore x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}$。
$\therefore$原方程的根为$x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$。
正确的解答过程如下:
将方程$x^2=3x+2$化为一般形式是$x^2 - 3x - 2 = 0$，
$\therefore a=1,b=-3,c=-2$，
因而$b^2-4ac=(-3)^2-4×1×(-2)=17＞0$，
$\therefore x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}$。
$\therefore$原方程的根为$x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$。
解析
【分析】
使用公式法解一元二次方程的前提是先将方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，才能准确确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值。解题时首先判断原解答的问题：原解答未对原方程移项整理，直接将等号右侧的3、2当作$b$、$c$，符号判定错误；随后按正确步骤求解：先化一般式，再确定各项系数，计算根的判别式，最后代入求根公式得到正确结果即可。
【解析】
解：原解答有错误。
错误的地方：没有先将方程化为一元二次方程的一般形式，就直接确定$a,b,c$的值，导致$b、c$的符号出现错误。
正确解答过程如下：
将方程$x^2=3x+2$移项化为一般形式：$x^2 - 3x - 2 = 0$，
$\therefore a=1,b=-3,c=-2$，
计算根的判别式：$b^2-4ac=(-3)^2-4×1×(-2)=9+8=17＞0$，
代入求根公式得：$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}$，
因此原方程的根为$x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$。
【答案】
原解答有错误，错误为未先将方程化为一般形式就确定$a,b,c$的值，导致系数符号出错；正确的根为$x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$。
【知识点】
一元二次方程的一般形式，公式法解一元二次方程，根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程求根公式的规范使用，易错点是使用求根公式前忽略将方程化为一般形式，导致系数符号判断错误，解题时要严格遵循求解步骤，先整理方程再确定各项系数。
【难度系数】
0.7
使用公式法解一元二次方程的前提是先将方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，才能准确确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值。解题时首先判断原解答的问题：原解答未对原方程移项整理，直接将等号右侧的3、2当作$b$、$c$，符号判定错误；随后按正确步骤求解：先化一般式，再确定各项系数，计算根的判别式，最后代入求根公式得到正确结果即可。
【解析】
解：原解答有错误。
错误的地方：没有先将方程化为一元二次方程的一般形式，就直接确定$a,b,c$的值，导致$b、c$的符号出现错误。
正确解答过程如下：
将方程$x^2=3x+2$移项化为一般形式：$x^2 - 3x - 2 = 0$，
$\therefore a=1,b=-3,c=-2$，
计算根的判别式：$b^2-4ac=(-3)^2-4×1×(-2)=9+8=17＞0$，
代入求根公式得：$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}$，
因此原方程的根为$x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$。
【答案】
原解答有错误，错误为未先将方程化为一般形式就确定$a,b,c$的值，导致系数符号出错；正确的根为$x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$。
【知识点】
一元二次方程的一般形式，公式法解一元二次方程，根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程求根公式的规范使用，易错点是使用求根公式前忽略将方程化为一般形式，导致系数符号判断错误，解题时要严格遵循求解步骤，先整理方程再确定各项系数。
【难度系数】
0.7
6.如图，点A在数轴的负半轴上，点B在数轴的正半轴上，且点A对应的数是$2x+1$，点B对应的数是$x^2+x$，已知$AB=5$，则点A对应的数是
$-3$
。答案
6. -3
解析
【分析】
解题首先要明确数轴上两点间的距离等于右侧点对应的数减去左侧点对应的数。本题中点B在点A右侧，因此AB的长度为点B对应的数减去点A对应的数，据此列出一元二次方程，求解方程后，再结合点A在负半轴、点B在正半轴的条件对根进行检验，舍去不符合要求的根，最后代入求出点A对应的数即可。
【解析】
解：
∵点A在数轴左侧，点B在数轴右侧
∴$AB = $点B对应的数$ - $点A对应的数
由题意列方程：
$(x^2+x)-(2x+1)=5$
整理得：
$x^2 - x - 6 = 0$
因式分解得：
$(x-3)(x+2)=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=-2$
检验根的合理性：
①当$x=3$时，点A对应的数为$2×3+1=7＞0$，不符合点A在负半轴的条件，舍去；
②当$x=-2$时，点A对应的数为$2×(-2)+1=-3＜0$，点B对应的数为$(-2)^2+(-2)=2＞0$，符合题意，且$AB=2-(-3)=5$，满足已知条件。
故点A对应的数为-3。
【答案】
-3
【知识点】
数轴两点距离计算；解一元二次方程；根的合理性检验
【点评】
本题是数轴与方程结合的基础应用题，解题关键是正确根据数轴距离公式列方程，特别要注意结合数轴上点的位置特征对求出的未知数的值进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确数轴上两点间的距离等于右侧点对应的数减去左侧点对应的数。本题中点B在点A右侧，因此AB的长度为点B对应的数减去点A对应的数，据此列出一元二次方程，求解方程后，再结合点A在负半轴、点B在正半轴的条件对根进行检验，舍去不符合要求的根，最后代入求出点A对应的数即可。
【解析】
解：
∵点A在数轴左侧，点B在数轴右侧
∴$AB = $点B对应的数$ - $点A对应的数
由题意列方程：
$(x^2+x)-(2x+1)=5$
整理得：
$x^2 - x - 6 = 0$
因式分解得：
$(x-3)(x+2)=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=-2$
检验根的合理性：
①当$x=3$时，点A对应的数为$2×3+1=7＞0$，不符合点A在负半轴的条件，舍去；
②当$x=-2$时，点A对应的数为$2×(-2)+1=-3＜0$，点B对应的数为$(-2)^2+(-2)=2＞0$，符合题意，且$AB=2-(-3)=5$，满足已知条件。
故点A对应的数为-3。
【答案】
-3
【知识点】
数轴两点距离计算；解一元二次方程；根的合理性检验
【点评】
本题是数轴与方程结合的基础应用题，解题关键是正确根据数轴距离公式列方程，特别要注意结合数轴上点的位置特征对求出的未知数的值进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
7. (2026 眉山期中)已知 $a,b$ 满足 $(a-2)^2 + |b+5|=0$，且 $c=(π -3.14)^0$.
(1)求 $a,b,c$ 的值；
(2)解方程:$ax^2 +bx +c=0$.
(1)求 $a,b,c$ 的值；
(2)解方程:$ax^2 +bx +c=0$.
答案
7. 解:(1)$\because (a-2)^2 + |b+5|=0$，
又$\because (a-2)^2\ge0,|b+5|\ge0,\therefore (a-2)^2=|b+5|=0$，
$\therefore a=2,b=-5$，
$c=(π - 3.14)^0=1$。
(2)由(1)可知，$a=2,b=-5,c=1$，
代入得，$2x^2 - 5x + 1 = 0$，
$b^2-4ac=(-5)^2-4×2×1=17＞0$，
$\therefore x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$。
又$\because (a-2)^2\ge0,|b+5|\ge0,\therefore (a-2)^2=|b+5|=0$，
$\therefore a=2,b=-5$，
$c=(π - 3.14)^0=1$。
(2)由(1)可知，$a=2,b=-5,c=1$，
代入得，$2x^2 - 5x + 1 = 0$，
$b^2-4ac=(-5)^2-4×2×1=17＞0$，
$\therefore x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$。
解析
【分析】
第(1)问解题时，先利用非负数的性质：平方数和绝对值的结果均为非负数，若两个非负数的和为0，则两个非负数各自为0，据此可求出a、b的值；再根据零指数幂的运算规则：非零数的0次幂等于1，判断底数π-3.14不为0，即可求出c的值。第(2)问先将第(1)问得到的a、b、c代入方程得到标准一元二次方程，先计算判别式判断根的情况，再用求根公式求解即可。
【解析】
(1) $\because (a-2)^2 + |b+5|=0$，
又$\because (a-2)^2\ge0,|b+5|\ge0$，两个非负数的和为0，则两个非负数均为0，
$\therefore (a-2)^2=|b+5|=0$，
解得$a=2,b=-5$，
$\because π\approx3.14159＞3.14$，$\therefore π-3.14≠0$，
$\therefore c=(π - 3.14)^0=1$。
(2) 由(1)可知$a=2,b=-5,c=1$，代入方程得：
$2x^2 - 5x + 1 = 0$，
计算判别式：$b^2-4ac=(-5)^2-4×2×1=17＞0$，方程有两个不相等的实数根，
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，代入得：
$x=\frac{5\pm\sqrt{17}}{4}$
即$x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$。
【答案】
(1) $a=2$，$b=-5$，$c=1$；
(2) $x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$
【知识点】
非负数的性质；零指数幂运算；公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础综合题，将代数基础性质和方程求解结合考查，解题核心是熟练掌握相关性质和公式，计算时注意符号的准确性，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.75
第(1)问解题时，先利用非负数的性质：平方数和绝对值的结果均为非负数，若两个非负数的和为0，则两个非负数各自为0，据此可求出a、b的值；再根据零指数幂的运算规则：非零数的0次幂等于1，判断底数π-3.14不为0，即可求出c的值。第(2)问先将第(1)问得到的a、b、c代入方程得到标准一元二次方程，先计算判别式判断根的情况，再用求根公式求解即可。
【解析】
(1) $\because (a-2)^2 + |b+5|=0$，
又$\because (a-2)^2\ge0,|b+5|\ge0$，两个非负数的和为0，则两个非负数均为0，
$\therefore (a-2)^2=|b+5|=0$，
解得$a=2,b=-5$，
$\because π\approx3.14159＞3.14$，$\therefore π-3.14≠0$，
$\therefore c=(π - 3.14)^0=1$。
(2) 由(1)可知$a=2,b=-5,c=1$，代入方程得：
$2x^2 - 5x + 1 = 0$，
计算判别式：$b^2-4ac=(-5)^2-4×2×1=17＞0$，方程有两个不相等的实数根，
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，代入得：
$x=\frac{5\pm\sqrt{17}}{4}$
即$x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$。
【答案】
(1) $a=2$，$b=-5$，$c=1$；
(2) $x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$
【知识点】
非负数的性质；零指数幂运算；公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础综合题，将代数基础性质和方程求解结合考查，解题核心是熟练掌握相关性质和公式，计算时注意符号的准确性，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.75
8. 我们规定一种新运算“★”，其意义为$a★b = a^2 - ab$. 若$(x-2)★(1-x)=28$，则$x$的值为（
A.$-26$
B.$-4$或$11$
C.$2$或$-\dfrac{11}{2}$
D.$-2$或$\dfrac{11}{2}$
D
）A.$-26$
B.$-4$或$11$
C.$2$或$-\dfrac{11}{2}$
D.$-2$或$\dfrac{11}{2}$
答案
8. D
解析
【分析】
遇到新定义运算类题目，首先要准确理解新运算的规则，本题中$a★b = a^2 - ab，第一步先将$(x-2)$对应规则里的a，$(1-x)$对应规则里的b，代入规则得到整式方程，再通过整式运算整理为一元二次方程的标准形式，最后求解一元二次方程即可得到x的值。【解析】根据新运算“★”的定义可得：$(x-2)★(1-x)=(x-2)^2-(x-2)(1-x)=28$展开计算：先算完全平方和多项式乘多项式：$(x^2-4x+4 - (x - x^2 -2 +2x)=28
去括号，注意括号前是负号，括号内各项要变号：
$x^2-4x+4 +x^2 -3x +2=28$
合并同类项：
$2x^2-7x+6=28$
移项整理为一元二次方程标准形式：
$2x^2-7x-22=0$
因式分解得：
$(2x-11)(x+2)=0$
则$2x-11=0$或$x+2=0$
解得$x=\frac{11}{2}$或$x=-2$
【答案】
D
【知识点】
新定义运算,整式混合运算,一元二次方程的解法
【点评】
本题核心是正确理解新运算规则，将新运算转化为熟悉的整式运算，解题时要注意去括号的符号变化，求解一元二次方程时选择合适的方法可提高解题效率，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
遇到新定义运算类题目，首先要准确理解新运算的规则，本题中$a★b = a^2 - ab，第一步先将$(x-2)$对应规则里的a，$(1-x)$对应规则里的b，代入规则得到整式方程，再通过整式运算整理为一元二次方程的标准形式，最后求解一元二次方程即可得到x的值。【解析】根据新运算“★”的定义可得：$(x-2)★(1-x)=(x-2)^2-(x-2)(1-x)=28$展开计算：先算完全平方和多项式乘多项式：$(x^2-4x+4 - (x - x^2 -2 +2x)=28
去括号，注意括号前是负号，括号内各项要变号：
$x^2-4x+4 +x^2 -3x +2=28$
合并同类项：
$2x^2-7x+6=28$
移项整理为一元二次方程标准形式：
$2x^2-7x-22=0$
因式分解得：
$(2x-11)(x+2)=0$
则$2x-11=0$或$x+2=0$
解得$x=\frac{11}{2}$或$x=-2$
【答案】
D
【知识点】
新定义运算,整式混合运算,一元二次方程的解法
【点评】
本题核心是正确理解新运算规则，将新运算转化为熟悉的整式运算，解题时要注意去括号的符号变化，求解一元二次方程时选择合适的方法可提高解题效率，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
