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1. 二次函数的表达式的求法
(1)二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 通过配方可化成 $ y = a(x - h)^2 + k $，图象的顶点坐标是
(2)已知二次函数图象上三个点的坐标(也就是函数的三组对应值)，将它们代入函数表达式，列出一个关于待定系数 $ a, b, c $ 的
2. 不共线的三点确定一个二次函数
数学上可以证明：二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象上任意三个不同的点都不在一条直线上。若给定
课堂探究
典例研习，掌握关键能力
(1)二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 通过配方可化成 $ y = a(x - h)^2 + k $，图象的顶点坐标是
(h,k)
。如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式。(2)已知二次函数图象上三个点的坐标(也就是函数的三组对应值)，将它们代入函数表达式，列出一个关于待定系数 $ a, b, c $ 的
三元一次
方程组，求出 $ a, b, c $ 的值，就可以确定二次函数的表达式。2. 不共线的三点确定一个二次函数
数学上可以证明：二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象上任意三个不同的点都不在一条直线上。若给定
不共线
三点的坐标(且它们的横坐标两两不等)，则可以确定唯一的一个二次函数，它的图象经过这三点。课堂探究
典例研习，掌握关键能力
答案
1.(1) (h,k) (2) 三元一次 2. 不共线
解析
【分析】
本题是二次函数表达式求法相关的基础概念题，解题时只需回忆对应知识点即可：
1. 第(1)问考查二次函数顶点式的性质，配方得到的顶点式中直接对应顶点坐标；
2. 第(2)问考查待定系数法求二次函数的原理，三个点代入后得到的方程未知数数量和次数对应方程组的类型；
3. 第2题考查确定二次函数的前提条件，共线三点只能确定一次函数，因此需要满足三点不共线的要求。
【解析】
1. (1) 对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$，当$x=h$时，$y$取到最值$k$，因此图象的顶点坐标为$(h,k)$。
(2) 把三个点的坐标代入$y=ax^2+bx+c$后，可得到3个关于$a,b,c$的方程，$a,b,c$均为一次项，因此构成三元一次方程组，解方程组即可求出三个系数的值。
2. 若三点共线，则这三点仅能确定一次函数，无法确定二次函数，因此只有给定不共线、且横坐标两两不等的三点，才能确定唯一的二次函数。
【答案】
1.(1) $(h,k)$ (2) 三元一次 2. 不共线
【知识点】
二次函数顶点式，待定系数法求解析式，确定二次函数的条件
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查二次函数解析式相关的基础性质，是后续求解各类二次函数解析式问题的基础，需牢固记忆相关概念。
【难度系数】
0.9
本题是二次函数表达式求法相关的基础概念题，解题时只需回忆对应知识点即可：
1. 第(1)问考查二次函数顶点式的性质，配方得到的顶点式中直接对应顶点坐标；
2. 第(2)问考查待定系数法求二次函数的原理，三个点代入后得到的方程未知数数量和次数对应方程组的类型；
3. 第2题考查确定二次函数的前提条件，共线三点只能确定一次函数，因此需要满足三点不共线的要求。
【解析】
1. (1) 对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$，当$x=h$时，$y$取到最值$k$，因此图象的顶点坐标为$(h,k)$。
(2) 把三个点的坐标代入$y=ax^2+bx+c$后，可得到3个关于$a,b,c$的方程，$a,b,c$均为一次项，因此构成三元一次方程组，解方程组即可求出三个系数的值。
2. 若三点共线，则这三点仅能确定一次函数，无法确定二次函数，因此只有给定不共线、且横坐标两两不等的三点，才能确定唯一的二次函数。
【答案】
1.(1) $(h,k)$ (2) 三元一次 2. 不共线
【知识点】
二次函数顶点式，待定系数法求解析式，确定二次函数的条件
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查二次函数解析式相关的基础性质，是后续求解各类二次函数解析式问题的基础，需牢固记忆相关概念。
【难度系数】
0.9
【例1】(2025石家庄期中)一个二次函数图象的顶点为$(1,-4)$，图象又过点$(2,-3)$，求二次函数的表达式。
答案
解:
∵顶点为$(1,-4)$，
∴设二次函数的表达式为 $y=a(x-1)^2-4$，
把$(2,-3)$代入 $y=a(x-1)^2-4$，得$-3=a-4$，
解得 $a=1$，
∴$y=(x-1)^2-4$。
∵顶点为$(1,-4)$，
∴设二次函数的表达式为 $y=a(x-1)^2-4$，
把$(2,-3)$代入 $y=a(x-1)^2-4$，得$-3=a-4$，
解得 $a=1$，
∴$y=(x-1)^2-4$。
解析
【分析】
已知二次函数的顶点坐标，优先选择顶点式设解析式可简化计算。首先回忆二次函数顶点式的形式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其中$(h,k)$是顶点坐标，因此先将顶点坐标代入顶点式，得到仅含参数$a$的解析式，再把另一个已知点的坐标代入解析式，解关于$a$的一元一次方程求出$a$的值，最后代回顶点式即可得到二次函数的表达式。
【解析】
解：
∵二次函数图象的顶点为$(1,-4)$
∴设该二次函数的表达式为 $y=a(x-1)^2-4$（$a≠0$）
把点$(2,-3)$代入 $y=a(x-1)^2-4$，得：
$-3=a×(2-1)^2-4$
即$-3=a-4$
解得 $a=1$
∴二次函数的表达式为$y=(x-1)^2-4$
【答案】
$y=(x-1)^2-4$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点式
【点评】
本题是求二次函数解析式的常规题型，解题核心是根据已知条件灵活选择解析式的形式，已知顶点坐标时选用顶点式能有效减少计算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
已知二次函数的顶点坐标，优先选择顶点式设解析式可简化计算。首先回忆二次函数顶点式的形式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其中$(h,k)$是顶点坐标，因此先将顶点坐标代入顶点式，得到仅含参数$a$的解析式，再把另一个已知点的坐标代入解析式，解关于$a$的一元一次方程求出$a$的值，最后代回顶点式即可得到二次函数的表达式。
【解析】
解：
∵二次函数图象的顶点为$(1,-4)$
∴设该二次函数的表达式为 $y=a(x-1)^2-4$（$a≠0$）
把点$(2,-3)$代入 $y=a(x-1)^2-4$，得：
$-3=a×(2-1)^2-4$
即$-3=a-4$
解得 $a=1$
∴二次函数的表达式为$y=(x-1)^2-4$
【答案】
$y=(x-1)^2-4$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点式
【点评】
本题是求二次函数解析式的常规题型，解题核心是根据已知条件灵活选择解析式的形式，已知顶点坐标时选用顶点式能有效减少计算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
【例2】已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$中，$y$与$x$的部分对应值如下表：
求该二次函数的表达式。
求该二次函数的表达式。答案
解:将$(0,-3)$代入 $y=ax^2+bx+c$ 得 $c=-3$，
∴$y=ax^2+bx-3$，
将点$(2,5),(-1,-4)$代入 $y=ax^2+bx-3$，
得 $\begin{cases}4a+2b-3=5,\\a-b-3=-4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=1,\\b=2,\end{cases}$
∴$y=x^2+2x-3$。
∴$y=ax^2+bx-3$，
将点$(2,5),(-1,-4)$代入 $y=ax^2+bx-3$，
得 $\begin{cases}4a+2b-3=5,\\a-b-3=-4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=1,\\b=2,\end{cases}$
∴$y=x^2+2x-3$。
解析
【分析】
要求二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，需要确定$a、b、c$三个未知系数，因此需要三组$x$与$y$的对应值代入求解。首先观察表格可知，当$x=0$时$y=-3$，代入一般式可直接求出常数项$c$，简化后续计算；得到$c$的值后，再选取另外两组对应值代入，即可得到仅含$a、b$的二元一次方程组，解方程组求出$a、b$的值，即可确定二次函数的表达式。
【解析】
1. 求常数项$c$：将点$(0,-3)$代入$y=ax^2+bx+c$，得$c=-3$，因此二次函数可写为$y=ax^2+bx-3$。
2. 列方程组求解$a、b$：选取点$(2,5)$、$(-1,-4)$代入$y=ax^2+bx-3$，可得方程组：
$\begin{cases}4a+2b-3=5\\a-b-3=-4\end{cases}$
解该方程组，可得$\begin{cases}a=1\\b=2\end{cases}$。
3. 代入系数写解析式：将$a=1、b=2、c=-3$代入一般式，即可得到二次函数的表达式。
【答案】
$y=x^2+2x-3$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二元一次方程组的解法
3. 二次函数的一般式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，重点考查待定系数法的应用，利用$x=0$的特殊点先求解常数项$c$，可有效减少计算量，是二次函数模块需要熟练掌握的基础技能。
【难度系数】
0.8
要求二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，需要确定$a、b、c$三个未知系数，因此需要三组$x$与$y$的对应值代入求解。首先观察表格可知，当$x=0$时$y=-3$，代入一般式可直接求出常数项$c$，简化后续计算；得到$c$的值后，再选取另外两组对应值代入，即可得到仅含$a、b$的二元一次方程组，解方程组求出$a、b$的值，即可确定二次函数的表达式。
【解析】
1. 求常数项$c$：将点$(0,-3)$代入$y=ax^2+bx+c$，得$c=-3$，因此二次函数可写为$y=ax^2+bx-3$。
2. 列方程组求解$a、b$：选取点$(2,5)$、$(-1,-4)$代入$y=ax^2+bx-3$，可得方程组：
$\begin{cases}4a+2b-3=5\\a-b-3=-4\end{cases}$
解该方程组，可得$\begin{cases}a=1\\b=2\end{cases}$。
3. 代入系数写解析式：将$a=1、b=2、c=-3$代入一般式，即可得到二次函数的表达式。
【答案】
$y=x^2+2x-3$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二元一次方程组的解法
3. 二次函数的一般式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，重点考查待定系数法的应用，利用$x=0$的特殊点先求解常数项$c$，可有效减少计算量，是二次函数模块需要熟练掌握的基础技能。
【难度系数】
0.8
【例3】已知三个点的坐标，是否存在一个二次函数，它的图象经过这三个点？
(1)$A(1,1),B(2,5),C(-2,-11)$；
(2)$A(1,1),B(2,5),C(-2,13)$。
(1)$A(1,1),B(2,5),C(-2,-11)$；
(2)$A(1,1),B(2,5),C(-2,13)$。
答案
解:(1)设二次函数的表达式为 $y=ax^2+bx+c$，
则 $\begin{cases}a+b+c=1,\\4a+2b+c=5,\\4a-2b+c=-11,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=0,\\b=4,\\c=-3,\end{cases}$
∴不存在二次函数经过此三点。
(2)设二次函数的表达式为 $y=ax^2+bx+c$，
则 $\begin{cases}a+b+c=1,\\4a+2b+c=5,\\4a-2b+c=13,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=2,\\b=-2,\\c=1,\end{cases}$
∴该二次函数的表达式为 $y=2x^2-2x+1$。
∴存在一个二次函数经过这三个点。
则 $\begin{cases}a+b+c=1,\\4a+2b+c=5,\\4a-2b+c=-11,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=0,\\b=4,\\c=-3,\end{cases}$
∴不存在二次函数经过此三点。
(2)设二次函数的表达式为 $y=ax^2+bx+c$，
则 $\begin{cases}a+b+c=1,\\4a+2b+c=5,\\4a-2b+c=13,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=2,\\b=-2,\\c=1,\end{cases}$
∴该二次函数的表达式为 $y=2x^2-2x+1$。
∴存在一个二次函数经过这三个点。
解析
【分析】
要判断是否存在过三个点的二次函数，可采用待定系数法：先设二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），将三个点的坐标分别代入解析式，得到关于$a、b、c$的三元一次方程组。若解出的$a≠0$，则符合二次函数定义，存在符合条件的二次函数；若解出$a=0$，则不符合二次函数的定义，不存在这样的二次函数，接下来分两小问分别计算即可。
【解析】
(1) 设二次函数的表达式为 $y=ax^2+bx+c$，将$A(1,1),B(2,5),C(-2,-11)$分别代入得：
$\begin{cases}a+b+c=1,\\4a+2b+c=5,\\4a-2b+c=-11,\end{cases}$
解方程组：用第二个方程减第三个方程得$4b=16$，解得$b=4$；将$b=4$代入第一个和第二个方程，得$\begin{cases}a+c=-3\\4a+c=-3\end{cases}$，两式相减得$3a=0$，解得$a=0$，再代入得$c=-3$。
由于二次函数要求二次项系数$a≠0$，因此不存在二次函数经过此三点。
(2) 设二次函数的表达式为 $y=ax^2+bx+c$，将$A(1,1),B(2,5),C(-2,13)$分别代入得：
$\begin{cases}a+b+c=1,\\4a+2b+c=5,\\4a-2b+c=13,\end{cases}$
解方程组：用第二个方程减第三个方程得$4b=-8$，解得$b=-2$；将$b=-2$代入第一个和第二个方程，得$\begin{cases}a+c=3\\4a+c=9\end{cases}$，两式相减得$3a=6$，解得$a=2$，再代入得$c=1$。
此时$a=2≠0$，符合二次函数的定义，因此存在这样的二次函数，表达式为$y=2x^2-2x+1$。
【答案】
(1) 不存在；
(2) 存在，该二次函数的表达式为$y=2x^2-2x+1$。
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 待定系数法
3. 三元一次方程组的解法
【点评】
本题重点考查待定系数法的应用和二次函数的定义，解题时需注意二次函数二次项系数不为0的隐含条件，避免求出$a=0$时仍错误判定存在二次函数，这是本题的主要易错点。
【难度系数】
0.7
要判断是否存在过三个点的二次函数，可采用待定系数法：先设二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），将三个点的坐标分别代入解析式，得到关于$a、b、c$的三元一次方程组。若解出的$a≠0$，则符合二次函数定义，存在符合条件的二次函数；若解出$a=0$，则不符合二次函数的定义，不存在这样的二次函数，接下来分两小问分别计算即可。
【解析】
(1) 设二次函数的表达式为 $y=ax^2+bx+c$，将$A(1,1),B(2,5),C(-2,-11)$分别代入得：
$\begin{cases}a+b+c=1,\\4a+2b+c=5,\\4a-2b+c=-11,\end{cases}$
解方程组：用第二个方程减第三个方程得$4b=16$，解得$b=4$；将$b=4$代入第一个和第二个方程，得$\begin{cases}a+c=-3\\4a+c=-3\end{cases}$，两式相减得$3a=0$，解得$a=0$，再代入得$c=-3$。
由于二次函数要求二次项系数$a≠0$，因此不存在二次函数经过此三点。
(2) 设二次函数的表达式为 $y=ax^2+bx+c$，将$A(1,1),B(2,5),C(-2,13)$分别代入得：
$\begin{cases}a+b+c=1,\\4a+2b+c=5,\\4a-2b+c=13,\end{cases}$
解方程组：用第二个方程减第三个方程得$4b=-8$，解得$b=-2$；将$b=-2$代入第一个和第二个方程，得$\begin{cases}a+c=3\\4a+c=9\end{cases}$，两式相减得$3a=6$，解得$a=2$，再代入得$c=1$。
此时$a=2≠0$，符合二次函数的定义，因此存在这样的二次函数，表达式为$y=2x^2-2x+1$。
【答案】
(1) 不存在；
(2) 存在，该二次函数的表达式为$y=2x^2-2x+1$。
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 待定系数法
3. 三元一次方程组的解法
【点评】
本题重点考查待定系数法的应用和二次函数的定义，解题时需注意二次函数二次项系数不为0的隐含条件，避免求出$a=0$时仍错误判定存在二次函数，这是本题的主要易错点。
【难度系数】
0.7
1.若抛物线$y=x^2 -2x +c$经过点$(1,-3)$，则c的值为 （
A.－1
B.2
C.－3
D.－2
D
）A.－1
B.2
C.－3
D.－2
答案
1. D
解析
【分析】
本题可根据二次函数图象上的点与函数解析式的关系求解：若一个点在函数图象上，则该点的横、纵坐标满足函数的解析式，因此只需将已知点的坐标代入抛物线解析式，得到关于c的一元一次方程，解方程即可求出c的值。
【解析】
∵抛物线$y=x^2 -2x +c$经过点$(1,-3)$
∴将$x=1$，$y=-3$代入解析式可得：
$-3=1^2 - 2×1 + c$
计算等号右侧：$1^2-2×1=1-2=-1$，因此方程化简为：
$-3=-1 + c$
移项求解得：$c=-3 + 1=-2$
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查点为函数图象上的点的坐标符合对应的函数解析式，熟练掌握代入法求解未知参数的方法即可快速解答。
【难度系数】
0.9
本题可根据二次函数图象上的点与函数解析式的关系求解：若一个点在函数图象上，则该点的横、纵坐标满足函数的解析式，因此只需将已知点的坐标代入抛物线解析式，得到关于c的一元一次方程，解方程即可求出c的值。
【解析】
∵抛物线$y=x^2 -2x +c$经过点$(1,-3)$
∴将$x=1$，$y=-3$代入解析式可得：
$-3=1^2 - 2×1 + c$
计算等号右侧：$1^2-2×1=1-2=-1$，因此方程化简为：
$-3=-1 + c$
移项求解得：$c=-3 + 1=-2$
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查点为函数图象上的点的坐标符合对应的函数解析式，熟练掌握代入法求解未知参数的方法即可快速解答。
【难度系数】
0.9
