登录
1. 等式$\frac{a}{a+1}=\frac{a(b+1)}{(a+1)(b+1)}$成立的条件是(
A.$a≠0$,且$b≠0$
B.$a≠1$,且$b≠1$
C.$a≠-1$,且$b≠-1$
D.$a,b$为任意数
C
).A.$a≠0$,且$b≠0$
B.$a≠1$,且$b≠1$
C.$a≠-1$,且$b≠-1$
D.$a,b$为任意数
答案
1.C
解析
【分析】
要判断等式成立的条件，需结合分式的基本性质思考：分式的分子与分母同乘一个不等于0的整式，分式的值不变。首先要保证原分式有意义，其次要保证所乘的整式不为0，分别列不等式求解即可得到条件。
【解析】
根据分式的基本性质，等式成立需满足两个条件：
1. 原分式$\frac{a}{a+1}$有意义，因此分母不能为0，即$a+1≠0$，解得$a≠-1$；
2. 分子分母同乘的整式$b+1$不能为0，否则变形后分式无意义，即$b+1≠0$，解得$b≠-1$。
综上，等式成立的条件是$a≠-1$且$b≠-1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式基本性质应用的基础题，解题时需注意不要遗漏“同乘的整式不为0”这一隐藏条件，避免误选。
【难度系数】
0.8
要判断等式成立的条件，需结合分式的基本性质思考：分式的分子与分母同乘一个不等于0的整式，分式的值不变。首先要保证原分式有意义，其次要保证所乘的整式不为0，分别列不等式求解即可得到条件。
【解析】
根据分式的基本性质，等式成立需满足两个条件：
1. 原分式$\frac{a}{a+1}$有意义，因此分母不能为0，即$a+1≠0$，解得$a≠-1$；
2. 分子分母同乘的整式$b+1$不能为0，否则变形后分式无意义，即$b+1≠0$，解得$b≠-1$。
综上，等式成立的条件是$a≠-1$且$b≠-1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式基本性质应用的基础题，解题时需注意不要遗漏“同乘的整式不为0”这一隐藏条件，避免误选。
【难度系数】
0.8
2. 把分式$\frac{x+y}{x}$中的$x$，$y$的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（
A.不变
B.扩大为原来的2倍
C.扩大为原来的4倍
D.缩小为原来的一半
A
）.A.不变
B.扩大为原来的2倍
C.扩大为原来的4倍
D.缩小为原来的一半
答案
2.A
解析
【分析】
解题时首先按照题目要求，将扩大后的x、y代入原分式，再利用分式的基本性质化简新得到的分式，最后把化简结果和原分式对比，即可判断分式值的变化情况。具体步骤为：第一步确定x、y扩大2倍后对应的数值为2x、2y；第二步将2x、2y代入原分式的分子和分母；第三步对新分式约分化简；第四步对比原式得出结论。
【解析】
解：把x、y同时扩大为原来的2倍，将原分式中的x替换为2x，y替换为2y，代入可得：
新分式=$\frac{2x+2y}{2x}$
对分子提取公因式2，得：$\frac{2(x+y)}{2x}$
根据分式的基本性质，分子分母同时除以不为0的2，约分后得：$\frac{x+y}{x}$，和原分式完全相等，因此分式的值不变。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
1.分式的基本性质
2.分式的约分
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用题型，解题关键是将扩大后的变量正确代入原式，注意分子是两个字母的和，要给整体乘扩大的倍数，避免漏乘出错。
【难度系数】
0.9
解题时首先按照题目要求，将扩大后的x、y代入原分式，再利用分式的基本性质化简新得到的分式，最后把化简结果和原分式对比，即可判断分式值的变化情况。具体步骤为：第一步确定x、y扩大2倍后对应的数值为2x、2y；第二步将2x、2y代入原分式的分子和分母；第三步对新分式约分化简；第四步对比原式得出结论。
【解析】
解：把x、y同时扩大为原来的2倍，将原分式中的x替换为2x，y替换为2y，代入可得：
新分式=$\frac{2x+2y}{2x}$
对分子提取公因式2，得：$\frac{2(x+y)}{2x}$
根据分式的基本性质，分子分母同时除以不为0的2，约分后得：$\frac{x+y}{x}$，和原分式完全相等，因此分式的值不变。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
1.分式的基本性质
2.分式的约分
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用题型，解题关键是将扩大后的变量正确代入原式，注意分子是两个字母的和，要给整体乘扩大的倍数，避免漏乘出错。
【难度系数】
0.9
3. 下列分式从左到右的变形中，一定成立的是(
A.$\frac{a}{b}=\frac{a+m}{b+m}$
B.$\frac{am}{bm}=\frac{a}{b}$
C.$\frac{a}{b}=\frac{am}{bm}$
D.$\frac{a}{b}=\frac{a-m}{b-m}$
B
).A.$\frac{a}{b}=\frac{a+m}{b+m}$
B.$\frac{am}{bm}=\frac{a}{b}$
C.$\frac{a}{b}=\frac{am}{bm}$
D.$\frac{a}{b}=\frac{a-m}{b-m}$
答案
3.B
解析
【分析】
本题考查分式的基本性质的应用，解题思路如下：首先回忆分式基本性质的核心内容：分式的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，变形的前提是保证变形前后的分式都有意义。接下来逐一分析每个选项：首先排除分子分母同加、同减整式的选项（不符合基本性质），再对比B、C选项，重点判断变形时乘除的整式是否不为0，以及分式是否有意义，最终确定正确选项。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，逐一判断：
选项A、D：变形是分子分母同时加或减m，不符合分式基本性质的要求，可举反例验证：如$a=1,b=2,m=1$，A中左边$\frac{1}{2}$，右边$\frac{2}{3}$，两式不相等，故A、D错误；
选项B：式子$\frac{am}{bm}$是分式，隐含分母$bm≠0$，即$b≠0$且$m≠0$，分子分母同时除以不为0的$m$，可得$\frac{am}{bm}=\frac{a}{b}$，变形成立，故B正确；
选项C：原式$\frac{a}{b}$仅隐含$b≠0$，未给出$m≠0$的条件，若$m=0$，则$\frac{am}{bm}$无意义，变形不成立，故C错误。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质、分式有意义的条件
【点评】
本题易错点是忽略分式基本性质中“乘或除的整式不能为0”的限制条件，容易误选C选项，做题时要注意变形前后分式都必须有意义。
【难度系数】
0.7
本题考查分式的基本性质的应用，解题思路如下：首先回忆分式基本性质的核心内容：分式的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，变形的前提是保证变形前后的分式都有意义。接下来逐一分析每个选项：首先排除分子分母同加、同减整式的选项（不符合基本性质），再对比B、C选项，重点判断变形时乘除的整式是否不为0，以及分式是否有意义，最终确定正确选项。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，逐一判断：
选项A、D：变形是分子分母同时加或减m，不符合分式基本性质的要求，可举反例验证：如$a=1,b=2,m=1$，A中左边$\frac{1}{2}$，右边$\frac{2}{3}$，两式不相等，故A、D错误；
选项B：式子$\frac{am}{bm}$是分式，隐含分母$bm≠0$，即$b≠0$且$m≠0$，分子分母同时除以不为0的$m$，可得$\frac{am}{bm}=\frac{a}{b}$，变形成立，故B正确；
选项C：原式$\frac{a}{b}$仅隐含$b≠0$，未给出$m≠0$的条件，若$m=0$，则$\frac{am}{bm}$无意义，变形不成立，故C错误。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质、分式有意义的条件
【点评】
本题易错点是忽略分式基本性质中“乘或除的整式不能为0”的限制条件，容易误选C选项，做题时要注意变形前后分式都必须有意义。
【难度系数】
0.7
4. 填空：
(1) $\frac{3x^2y}{5xy^2}=\frac{( )}{5y}$；
$\frac{y}{3x}=\frac{( )}{15x^2y}(y≠0)$
(1) $\frac{3x^2y}{5xy^2}=\frac{( )}{5y}$；
$\frac{y}{3x}=\frac{( )}{15x^2y}(y≠0)$答案
4.(1)$3x$ (2)$5xy^2$
解析
【分析】
这两道题均考查分式的基本性质的应用，解题思路如下：首先观察等式两边已知的分母，确定从左边到右分母乘或除以了哪个不为0的整式；再根据分式的基本性质，对分子做相同的乘除运算，即可求出括号内应填的式子，注意运算时要保证所乘除的整式不为0，确保分式有意义。
【解析】
(1) 观察左右两边的分母：左边分母为$5xy^2$，右边分母为$5y$，可知左边分母除以$xy$（$x≠0$且$y≠0$，否则原分式无意义）得到右边分母。
根据分式的基本性质：分式的分子、分母同除以一个不为0的整式，分式的值不变，因此分子$3x^2y$也需除以$xy$：
$3x^2y÷ xy=3x$，故括号内填$3x$。
(2) 观察左右两边的分母：左边分母为$3x$，右边分母为$15x^2y$，可知左边分母乘以$5xy$得到右边分母，已知$y≠0$且$x≠0$（$x$为原分式分母），因此$5xy≠0$。
根据分式的基本性质：分式的分子、分母同乘以一个不为0的整式，分式的值不变，因此分子$y$也需乘以$5xy$：
$y×5xy=5xy^2$，故括号内填$5xy^2$。
【答案】
(1)$3x$；(2)$5xy^2$
【知识点】
分式的基本性质、分式的约分、分式的通分
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用题型，解题核心是找准分子或分母的变化规律，做相同的乘除运算即可，掌握该知识点是后续学习分式化简、运算的基础。
【难度系数】
0.85
这两道题均考查分式的基本性质的应用，解题思路如下：首先观察等式两边已知的分母，确定从左边到右分母乘或除以了哪个不为0的整式；再根据分式的基本性质，对分子做相同的乘除运算，即可求出括号内应填的式子，注意运算时要保证所乘除的整式不为0，确保分式有意义。
【解析】
(1) 观察左右两边的分母：左边分母为$5xy^2$，右边分母为$5y$，可知左边分母除以$xy$（$x≠0$且$y≠0$，否则原分式无意义）得到右边分母。
根据分式的基本性质：分式的分子、分母同除以一个不为0的整式，分式的值不变，因此分子$3x^2y$也需除以$xy$：
$3x^2y÷ xy=3x$，故括号内填$3x$。
(2) 观察左右两边的分母：左边分母为$3x$，右边分母为$15x^2y$，可知左边分母乘以$5xy$得到右边分母，已知$y≠0$且$x≠0$（$x$为原分式分母），因此$5xy≠0$。
根据分式的基本性质：分式的分子、分母同乘以一个不为0的整式，分式的值不变，因此分子$y$也需乘以$5xy$：
$y×5xy=5xy^2$，故括号内填$5xy^2$。
【答案】
(1)$3x$；(2)$5xy^2$
【知识点】
分式的基本性质、分式的约分、分式的通分
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用题型，解题核心是找准分子或分母的变化规律，做相同的乘除运算即可，掌握该知识点是后续学习分式化简、运算的基础。
【难度系数】
0.85
5. 不改变分式的值，把下列分式中分子与分母的各项系数化为整数：
(1)$\frac{0.2x - 0.3y}{0.6x + 0.1y}$；
(2)$\frac{\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}y}{\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y}$。
(1)$\frac{0.2x - 0.3y}{0.6x + 0.1y}$；
(2)$\frac{\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}y}{\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y}$。答案
5. 解 （1）$\frac{0.2x - 0.3y}{0.6x + 0.1y} = \frac{(0.2x - 0.3y)×10}{(0.6x + 0.1y)×10} = \frac{2x - 3y}{6x + y}.$
（2）$\frac{\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}y}{\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y} = \frac{(\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}y)×6}{(\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y)×6} = \frac{2x - 3y}{3x + 2y}.$
（2）$\frac{\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}y}{\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y} = \frac{(\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}y)×6}{(\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y)×6} = \frac{2x - 3y}{3x + 2y}.$
解析
【分析】
要在不改变分式值的前提下将分子、分母的各项系数化为整数，核心依据是分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
对于第(1)题，分子、分母的系数都是一位小数，只要给分子、分母同时乘10，就能将所有小数系数转化为整数；
对于第(2)题，分子、分母的系数都是分数，先找到所有分数分母的最小公倍数（2和3的最小公倍数是6），给分子、分母同时乘6就可以消去分数分母，将系数转化为整数，注意乘的时候要覆盖每一项，不能漏乘。
【解析】
(1) 根据分式的基本性质，给分子、分母同时乘10：
$\frac{0.2x - 0.3y}{0.6x + 0.1y} = \frac{(0.2x - 0.3y)×10}{(0.6x + 0.1y)×10} = \frac{2x - 3y}{6x + y}$
(2) 根据分式的基本性质，给分子、分母同时乘所有分数分母的最小公倍数6：
$\frac{\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}y}{\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y} = \frac{(\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}y)×6}{(\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y)×6} = \frac{2x - 3y}{3x + 2y}$
【答案】
(1)$\frac{2x - 3y}{6x + y}$；(2)$\frac{2x - 3y}{3x + 2y}$
【知识点】
分式的基本性质、最小公倍数应用
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用类题目，解题关键是根据系数的类型（小数或分数）确定分子、分母同乘的非零数，运算时要注意同乘时需覆盖分子、分母的每一项，避免漏乘导致结果错误。
【难度系数】
0.8
要在不改变分式值的前提下将分子、分母的各项系数化为整数，核心依据是分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
对于第(1)题，分子、分母的系数都是一位小数，只要给分子、分母同时乘10，就能将所有小数系数转化为整数；
对于第(2)题，分子、分母的系数都是分数，先找到所有分数分母的最小公倍数（2和3的最小公倍数是6），给分子、分母同时乘6就可以消去分数分母，将系数转化为整数，注意乘的时候要覆盖每一项，不能漏乘。
【解析】
(1) 根据分式的基本性质，给分子、分母同时乘10：
$\frac{0.2x - 0.3y}{0.6x + 0.1y} = \frac{(0.2x - 0.3y)×10}{(0.6x + 0.1y)×10} = \frac{2x - 3y}{6x + y}$
(2) 根据分式的基本性质，给分子、分母同时乘所有分数分母的最小公倍数6：
$\frac{\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}y}{\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y} = \frac{(\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}y)×6}{(\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y)×6} = \frac{2x - 3y}{3x + 2y}$
【答案】
(1)$\frac{2x - 3y}{6x + y}$；(2)$\frac{2x - 3y}{3x + 2y}$
【知识点】
分式的基本性质、最小公倍数应用
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用类题目，解题关键是根据系数的类型（小数或分数）确定分子、分母同乘的非零数，运算时要注意同乘时需覆盖分子、分母的每一项，避免漏乘导致结果错误。
【难度系数】
0.8
6. 在括号里填上使等式成立的式子：
$\frac{2x + \frac{1}{3}y}{\frac{5}{6}x - y} = \frac{(\quad)}{5x - 6y}.$
括号内的式子为
$\frac{2x + \frac{1}{3}y}{\frac{5}{6}x - y} = \frac{(\quad)}{5x - 6y}.$
括号内的式子为
12x + 2y
。答案
6. $12x + 2y$ 解析 $\frac{2x + \frac{1}{3}y}{\frac{5}{6}x - y} = \frac{6(2x + \frac{1}{3}y)}{6(\frac{5}{6}x - y)} = \frac{12x + 2y}{5x - 6y}.$
解析
【分析】
本题考查分式的变形，解题依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。首先观察等式左右两边的分母：原分母为$\frac{5}{6}x - y$，变形后的分母为$5x-6y$，计算可得$\frac{5}{6}x - y$乘6即可得到$5x-6y$，因此要使分式值不变，分子也需要同乘6，再计算乘后的结果即可得到括号内的式子。
【解析】
根据分式的基本性质，先观察分母的变化：
$(\frac{5}{6}x - y) × 6 = 5x - 6y$，因此分子分母同时乘6：
$\frac{2x + \frac{1}{3}y}{\frac{5}{6}x - y} = \frac{(2x + \frac{1}{3}y) × 6}{(\frac{5}{6}x - y) × 6} = \frac{12x + 2y}{5x - 6y}$
即可得到括号内的式子。
【答案】
$12x + 2y$
【知识点】
分式的基本性质，整式的乘法运算
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用题型，解题的关键是先观察分母的变形规律，确定分子分母同乘的非零数，再准确计算分子的运算结果即可，计算时要注意不要漏乘分子的每一项。
【难度系数】
0.8
本题考查分式的变形，解题依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。首先观察等式左右两边的分母：原分母为$\frac{5}{6}x - y$，变形后的分母为$5x-6y$，计算可得$\frac{5}{6}x - y$乘6即可得到$5x-6y$，因此要使分式值不变，分子也需要同乘6，再计算乘后的结果即可得到括号内的式子。
【解析】
根据分式的基本性质，先观察分母的变化：
$(\frac{5}{6}x - y) × 6 = 5x - 6y$，因此分子分母同时乘6：
$\frac{2x + \frac{1}{3}y}{\frac{5}{6}x - y} = \frac{(2x + \frac{1}{3}y) × 6}{(\frac{5}{6}x - y) × 6} = \frac{12x + 2y}{5x - 6y}$
即可得到括号内的式子。
【答案】
$12x + 2y$
【知识点】
分式的基本性质，整式的乘法运算
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用题型，解题的关键是先观察分母的变形规律，确定分子分母同乘的非零数，再准确计算分子的运算结果即可，计算时要注意不要漏乘分子的每一项。
【难度系数】
0.8
7. 不改变分式的值，把下列分式中分子与分母的最高次项的系数化为正数：
(1) $\frac{2 - a - a^2}{-a^3 + 3a - 1}$；
(2) $\frac{1 - x - x^2}{1 + x^2 + x^3}$；
(3) $-\frac{1 - a^3}{a^2 - a + 1}$。
(1) $\frac{2 - a - a^2}{-a^3 + 3a - 1}$；
(2) $\frac{1 - x - x^2}{1 + x^2 + x^3}$；
(3) $-\frac{1 - a^3}{a^2 - a + 1}$。
答案
7. 解 (1)$\frac{2 - a - a^2}{-a^3 + 3a - 1} = \frac{-a^2 - a + 2}{-a^3 + 3a - 1} = \frac{-(a^2 + a - 2)}{-(a^3 - 3a + 1)} = \frac{a^2 + a - 2}{a^3 - 3a + 1}.$
(2) $\frac{1 - x - x^2}{1 + x^2 + x^3} = \frac{-x^2 - x + 1}{x^3 + x^2 + 1} = \frac{-(x^2 + x - 1)}{x^3 + x^2 + 1} = -\frac{x^2 + x - 1}{x^3 + x^2 + 1}.$
(3) $-\frac{1 - a^3}{a^2 - a + 1} = -\frac{-a^3 + 1}{a^2 - a + 1} = -\frac{-(a^3 - 1)}{a^2 - a + 1} = \frac{a^3 - 1}{a^2 - a + 1}.$
(2) $\frac{1 - x - x^2}{1 + x^2 + x^3} = \frac{-x^2 - x + 1}{x^3 + x^2 + 1} = \frac{-(x^2 + x - 1)}{x^3 + x^2 + 1} = -\frac{x^2 + x - 1}{x^3 + x^2 + 1}.$
(3) $-\frac{1 - a^3}{a^2 - a + 1} = -\frac{-a^3 + 1}{a^2 - a + 1} = -\frac{-(a^3 - 1)}{a^2 - a + 1} = \frac{a^3 - 1}{a^2 - a + 1}.$
解析
【分析】
解决这类问题的核心依据是分式的基本性质和分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。解题按以下步骤思考：
1. 先将分子、分母分别按同一字母的降幂排列，找到分子、分母的最高次项，判断其系数的正负；
2. 若最高次项系数为负，将负号提取到括号外，注意括号内每一项都要变号；
3. 根据符号法则调整负号位置，保证分子、分母最高次项系数为正，同时不改变分式的值。
【解析】
(1) 先将分子分母按$a$的降幂排列，再分别提取负号抵消：
$\frac{2 - a - a^2}{-a^3 + 3a - 1} = \frac{-a^2 - a + 2}{-a^3 + 3a - 1} = \frac{-(a^2 + a - 2)}{-(a^3 - 3a + 1)} = \frac{a^2 + a - 2}{a^3 - 3a + 1}$
(2) 先将分子分母按$x$的降幂排列，分母最高次系数已为正，仅给分子提取负号移到分式前：
$\frac{1 - x - x^2}{1 + x^2 + x^3} = \frac{-x^2 - x + 1}{x^3 + x^2 + 1} = \frac{-(x^2 + x - 1)}{x^3 + x^2 + 1} = -\frac{x^2 + x - 1}{x^3 + x^2 + 1}$
(3) 先将分子按$a$的降幂排列提取负号，再和分式本身的负号抵消：
$-\frac{1 - a^3}{a^2 - a + 1} = -\frac{-a^3 + 1}{a^2 - a + 1} = -\frac{-(a^3 - 1)}{a^2 - a + 1} = \frac{a^3 - 1}{a^2 - a + 1}$
【答案】
(1) $\frac{a^2 + a - 2}{a^3 - 3a + 1}$
(2) $-\frac{x^2 + x - 1}{x^3 + x^2 + 1}$
(3) $\frac{a^3 - 1}{a^2 - a + 1}$
【知识点】
分式的基本性质，分式的符号法则，多项式的降幂排列
【点评】
本题属于分式变形的基础题型，重点考察符号处理能力，解题时要注意提取负号时多项式每一项都要变号，同时牢记分式三个符号中改变任意两个值不变的规则，避免符号混乱出错。
【难度系数】
0.8
解决这类问题的核心依据是分式的基本性质和分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。解题按以下步骤思考：
1. 先将分子、分母分别按同一字母的降幂排列，找到分子、分母的最高次项，判断其系数的正负；
2. 若最高次项系数为负，将负号提取到括号外，注意括号内每一项都要变号；
3. 根据符号法则调整负号位置，保证分子、分母最高次项系数为正，同时不改变分式的值。
【解析】
(1) 先将分子分母按$a$的降幂排列，再分别提取负号抵消：
$\frac{2 - a - a^2}{-a^3 + 3a - 1} = \frac{-a^2 - a + 2}{-a^3 + 3a - 1} = \frac{-(a^2 + a - 2)}{-(a^3 - 3a + 1)} = \frac{a^2 + a - 2}{a^3 - 3a + 1}$
(2) 先将分子分母按$x$的降幂排列，分母最高次系数已为正，仅给分子提取负号移到分式前：
$\frac{1 - x - x^2}{1 + x^2 + x^3} = \frac{-x^2 - x + 1}{x^3 + x^2 + 1} = \frac{-(x^2 + x - 1)}{x^3 + x^2 + 1} = -\frac{x^2 + x - 1}{x^3 + x^2 + 1}$
(3) 先将分子按$a$的降幂排列提取负号，再和分式本身的负号抵消：
$-\frac{1 - a^3}{a^2 - a + 1} = -\frac{-a^3 + 1}{a^2 - a + 1} = -\frac{-(a^3 - 1)}{a^2 - a + 1} = \frac{a^3 - 1}{a^2 - a + 1}$
【答案】
(1) $\frac{a^2 + a - 2}{a^3 - 3a + 1}$
(2) $-\frac{x^2 + x - 1}{x^3 + x^2 + 1}$
(3) $\frac{a^3 - 1}{a^2 - a + 1}$
【知识点】
分式的基本性质，分式的符号法则，多项式的降幂排列
【点评】
本题属于分式变形的基础题型，重点考察符号处理能力，解题时要注意提取负号时多项式每一项都要变号，同时牢记分式三个符号中改变任意两个值不变的规则，避免符号混乱出错。
【难度系数】
0.8
8. (1)填空：
$\frac{1}{2} = \frac{1+(\quad)}{2+4} = \frac{1+(\quad)}{2+6} = \frac{1+(\quad)}{2+8} = \frac{1+(\quad)}{2+10};$
$\frac{4}{7} = \frac{4+(\quad)}{7+14} = \frac{4+(\quad)}{7+21} = \frac{4+(\quad)}{7+28} = \frac{4+20}{7+(\quad)}.$
(2)从上面的两个等式中找规律：$\frac{a}{b} = \frac{a+(\quad)}{b+(\quad)}(n≠ -1).$
$\frac{1}{2} = \frac{1+(\quad)}{2+4} = \frac{1+(\quad)}{2+6} = \frac{1+(\quad)}{2+8} = \frac{1+(\quad)}{2+10};$
$\frac{4}{7} = \frac{4+(\quad)}{7+14} = \frac{4+(\quad)}{7+21} = \frac{4+(\quad)}{7+28} = \frac{4+20}{7+(\quad)}.$
(2)从上面的两个等式中找规律：$\frac{a}{b} = \frac{a+(\quad)}{b+(\quad)}(n≠ -1).$
答案
8. 解 （1）$\frac{1}{2} = \frac{1+(2)}{2+4} = \frac{1+(3)}{2+6} = \frac{1+(4)}{2+8} = \frac{1+(5)}{2+10}.$
$\frac{4}{7} = \frac{4+(8)}{7+14} = \frac{4+(12)}{7+21} = \frac{4+(16)}{7+28} = \frac{4+20}{7+(35)}.$
(2)$na\ \ nb$
$\frac{4}{7} = \frac{4+(8)}{7+14} = \frac{4+(12)}{7+21} = \frac{4+(16)}{7+28} = \frac{4+20}{7+(35)}.$
(2)$na\ \ nb$
解析
【分析】
解题时要依据分式的基本性质思考：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。对于第一问的每个等式，先计算变化后的分母是原分母的几倍，再将原分子也乘相同的倍数，用得到的新分子减去原分子，就是分子需要加的数；如果已知分子增加的量，就先算新分子是原分子的几倍，再求新分母，减去原分母得到分母需要加的数。第二问先观察第一问中分子、分母增加的量和原分子、原分母的关系，归纳出通用规律即可。
【解析】
(1) 处理$\frac{1}{2}$相关填空：
① 分母变为$2+4=6$，$6÷2=3$，分母乘3，分子也要乘3得$1×3=3$，分子需加$3-1=2$；
② 分母变为$2+6=8$，$8÷2=4$，分子乘4得$1×4=4$，需加$4-1=3$；
③ 分母变为$2+8=10$，$10÷2=5$，分子乘5得$1×5=5$，需加$5-1=4$；
④ 分母变为$2+10=12$，$12÷2=6$，分子乘6得$1×6=6$，需加$6-1=5$。
处理$\frac{4}{7}$相关填空：
① 分母变为$7+14=21$，$21÷7=3$，分子乘3得$4×3=12$，需加$12-4=8$；
② 分母变为$7+21=28$，$28÷7=4$，分子乘4得$4×4=16$，需加$16-4=12$；
③ 分母变为$7+28=35$，$35÷7=5$，分子乘5得$4×5=20$，需加$20-4=16$；
④ 分子变为$4+20=24$，$24÷4=6$，分母乘6得$7×6=42$，需加$42-7=35$。
(2) 观察结果可得：第一组分母加的数为$2×2、2×3···$，对应分子加的数为$1×2、1×3···$；第二组分母加的数为$7×2、7×3···$，对应分子加的数为$4×2、4×3···$。由此归纳规律：若$\frac{a}{b}$的分母加$nb$，要使分式值不变，分子需加$na$，即$\frac{a}{b}=\frac{a+na}{b+nb}(n\ne-1)$。
【答案】
(1) 2，3，4，5；8，12，16，35
(2) $na$，$nb$
【知识点】
分式的基本性质，规律归纳探究
【点评】
本题立足分式核心性质，通过具体算式到通用规律的推导，考查对分式基本性质的灵活运用能力，以及从特殊到一般的归纳推理能力，属于基础拓展题型，掌握核心性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时要依据分式的基本性质思考：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。对于第一问的每个等式，先计算变化后的分母是原分母的几倍，再将原分子也乘相同的倍数，用得到的新分子减去原分子，就是分子需要加的数；如果已知分子增加的量，就先算新分子是原分子的几倍，再求新分母，减去原分母得到分母需要加的数。第二问先观察第一问中分子、分母增加的量和原分子、原分母的关系，归纳出通用规律即可。
【解析】
(1) 处理$\frac{1}{2}$相关填空：
① 分母变为$2+4=6$，$6÷2=3$，分母乘3，分子也要乘3得$1×3=3$，分子需加$3-1=2$；
② 分母变为$2+6=8$，$8÷2=4$，分子乘4得$1×4=4$，需加$4-1=3$；
③ 分母变为$2+8=10$，$10÷2=5$，分子乘5得$1×5=5$，需加$5-1=4$；
④ 分母变为$2+10=12$，$12÷2=6$，分子乘6得$1×6=6$，需加$6-1=5$。
处理$\frac{4}{7}$相关填空：
① 分母变为$7+14=21$，$21÷7=3$，分子乘3得$4×3=12$，需加$12-4=8$；
② 分母变为$7+21=28$，$28÷7=4$，分子乘4得$4×4=16$，需加$16-4=12$；
③ 分母变为$7+28=35$，$35÷7=5$，分子乘5得$4×5=20$，需加$20-4=16$；
④ 分子变为$4+20=24$，$24÷4=6$，分母乘6得$7×6=42$，需加$42-7=35$。
(2) 观察结果可得：第一组分母加的数为$2×2、2×3···$，对应分子加的数为$1×2、1×3···$；第二组分母加的数为$7×2、7×3···$，对应分子加的数为$4×2、4×3···$。由此归纳规律：若$\frac{a}{b}$的分母加$nb$，要使分式值不变，分子需加$na$，即$\frac{a}{b}=\frac{a+na}{b+nb}(n\ne-1)$。
【答案】
(1) 2，3，4，5；8，12，16，35
(2) $na$，$nb$
【知识点】
分式的基本性质，规律归纳探究
【点评】
本题立足分式核心性质，通过具体算式到通用规律的推导，考查对分式基本性质的灵活运用能力，以及从特殊到一般的归纳推理能力，属于基础拓展题型，掌握核心性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
