2. 如图9，$\odot O$分别切$△ ABC$的三条边AB、BC、CA于点D、E、F，若AB=6，AC=5，BC=7，求AD、BE、CF的长.

2. 设$AD=x$,$\because \odot O$分别切$△ABC$的三条边AB、BC、CA于点D、E、F,$\therefore$ 根据切线长定理得出$AD=AF,BD=BE,EC=FC$, $\therefore AF=x$. $\because AB=6,AC=5,BC=7$, $\therefore BE=BD=AB-AD=6-x,FC=EC=AC-AF=5-x$,$\therefore BC=BE+EC=6-x+5-x=7$,解得$x=2$,$\therefore AD=2,BE=BD=6-2=4,CF=AC-AF=5-2=3$.

【分析】
遇到三角形内切圆切三边的问题，首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。本题要求AD、BE、CF的长度，我们可以先设其中一个量为未知数，比如设AD=x，再根据切线长定理将BE、CF都用含x的代数式表示，最后结合BC的长度为7建立一元一次方程，解方程即可求出各线段的长度。
【解析】
设$AD=x$，
$\because \odot O$分别切$△ABC$的三条边AB、BC、CA于点D、E、F，
$\therefore$ 根据切线长定理可得：$AD=AF$，$BD=BE$，$EC=FC$，
$\therefore AF=x$。
$\because AB=6$，$AC=5$，
$\therefore BE=BD=AB-AD=6-x$，$FC=EC=AC-AF=5-x$，
又$\because BC=BE+EC=7$，
$\therefore 6-x+5-x=7$，
解得$x=2$，
$\therefore AD=2$，$BE=BD=6-2=4$，$CF=AC-AF=5-2=3$。
【答案】
$AD=2$，$BE=4$，$CF=3$
【知识点】
切线长定理；三角形内切圆性质
【点评】
本题是三角形内切圆相关的基础题型，解题核心是熟练运用切线长定理得到相等的线段，通过设未知数列方程的代数方法即可求解，掌握切线长定理是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8

3. 如图10，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，切点分别为D、E、F，$∠ ABC=60°$，$∠ ACB=70°$。
(1)求$∠ BOC$的度数；
(2)求$∠ EDF$的度数。

(1)$\because \odot O$是$△ABC$的内切圆,切点分别为D、E、F,$\therefore BO,CO$分别是$∠ABC$和$∠ACB$的角平分线,$\therefore ∠OBC=\frac{1}{2}∠ABC=30°,∠OCB=\frac{1}{2}∠ACB=35°,\therefore ∠BOC=180°-30°-35°=115°$.
(2)如图所示,连接$OE,OF$.
$\because ∠ABC=60°,∠ACB=70°,∴∠BAC=180°-60°-70°=50°$.
$\because AB$是$\odot O$的切线,$\therefore ∠OEA=90°$.
同理$∠OFA=90°$.
$\therefore ∠BAC+∠EOF=180°,∴∠EOF=180°-∠BAC=180°-50°=130°,∴∠EDF=\frac{1}{2}∠EOF=65°$.

【分析】
(1) 求∠BOC：首先明确三角形内切圆的圆心是三角形的内心，即内角角平分线的交点，因此BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，先算出两个底角一半的度数，再利用三角形内角和为180°即可求出∠BOC。
(2) 求∠EDF：∠EDF是⊙O中弧EF对应的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对圆周角是圆心角的一半，因此要先求弧EF对应的圆心角∠EOF。连接OE、OF，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得∠OEA、∠OFA均为90°，先通过三角形内角和求出∠BAC的度数，再结合四边形内角和为360°算出∠EOF，即可得到∠EDF的度数。
【解析】
(1) $\because \odot O$是$△ABC$的内切圆，切点分别为D、E、F，
$\therefore BO,CO$分别是$∠ABC$和$∠ACB$的角平分线，
$\therefore ∠OBC=\frac{1}{2}∠ABC=\frac{1}{2}×60°=30°$，$∠OCB=\frac{1}{2}∠ACB=\frac{1}{2}×70°=35°$，
由三角形内角和定理可得：
$∠ BOC=180°-∠ OBC-∠ OCB=180°-30°-35°=115°$。
(2) 如图所示，连接$OE,OF$。
$\because ∠ABC=60°,∠ACB=70°$，
$\therefore ∠BAC=180°-60°-70°=50°$，
$\because AB$是$\odot O$的切线，E为切点，$\therefore OE⊥ AB$，即$∠OEA=90°$，
同理$AC$是$\odot O$的切线，F为切点，$\therefore OF⊥ AC$，即$∠OFA=90°$，
在四边形AEOF中，内角和为$360°$，因此：
$∠ BAC+∠ OEA+∠ EOF+∠ OFA=360°$，
代入得$50°+90°+∠ EOF+90°=360°$，解得$∠ EOF=130°$，
由圆周角定理可得：
$∠ EDF=\frac{1}{2}∠EOF=\frac{1}{2}×130°=65°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠BOC=115°}$
(2) $\boldsymbol{∠EDF=65°}$

【知识点】
三角形内心的性质；切线的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于三角形内切圆的基础题型，综合考查了角平分线性质、三角形和四边形内角和、圆周角定理等知识点，解题的核心是熟练掌握内切圆相关的性质，理清圆周角和对应圆心角的关系，整体解题逻辑清晰，容易上手。
【难度系数】
0.8

一、选择题
1. 已知正三角形外接圆半径为$\sqrt{3}$,这个正三角形的边长是()

A.2
B.3
C.4
D.5

1. B

【分析】
要解决已知正三角形外接圆半径求边长的问题，首先回忆正多边形与外接圆的性质：正三角形的外接圆圆心（外心）到各顶点的距离等于外接圆半径，正$n$边形的中心角为$\frac{360°}{n}$。我们可以通过作辅助线构造直角三角形，结合垂径定理和锐角三角函数，建立外接圆半径和边长的关系求解：第一步先求正三角形的中心角，第二步过圆心作边的垂线，利用垂径定理得到边长的一半是直角三角形的直角边，第三步用三角函数求出半边长，再乘2得到完整边长。
【解析】
设正三角形为$ABC$，其外接圆圆心为$O$，外接圆半径$OA=OB=\sqrt{3}$。
1. 计算中心角：正三角形的中心角$∠ AOB=\frac{360°}{3}=120°$。
2. 作辅助线构造直角三角形：过点$O$作$OD⊥ AB$于点$D$，根据垂径定理可得$AD=BD=\frac{1}{2}AB$，且$OD$平分$∠ AOB$，即$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由锐角三角函数的定义：$\sin∠ AOD=\frac{AD}{OA}$，代入数值计算得：
$AD=OA·\sin60°=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}$
4. 求边长：$AB=2AD=2×\frac{3}{2}=3$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆；垂径定理；解直角三角形
【点评】
本题属于基础常考题，核心是将正多边形的边长与外接圆半径的关系转化为直角三角形的边角关系求解，解题关键是正确作出辅助线，熟记正多边形中心角的计算方法和垂径定理的应用。
【难度系数】
0.7

2. 圆内接正五边形ABCDE中,对角线AC和BD相交于点P,则∠APB的度数是()

A.$36°$
B.$60°$
C.$72°$
D.$108°$

2. C

【分析】
要求∠APB的度数，我们可以按以下思路推导：首先利用正多边形内角和公式求出正五边形的每个内角度数，再结合正五边形各边相等的性质得到相关等腰三角形，计算出等腰三角形的底角度数，最后利用三角形外角的性质即可求出∠APB的度数。
【解析】
1. 计算正五边形的每个内角度数：
正n边形内角和公式为$(n-2)×180°$，因此正五边形的内角和为$(5-2)×180°=540°$，每个内角的度数为$540°÷5=108°$，即$∠ ABC=∠ BCD=108°$。
2. 计算等腰三角形的底角度数：
因为正五边形各边相等，所以$AB=BC=CD$，$△ ABC$和$△ BCD$均为等腰三角形。
在$△ ABC$中：$∠ BCA=\frac{180°-∠ ABC}{2}=\frac{180°-108°}{2}=36°$
在$△ BCD$中：$∠ CBD=\frac{180°-∠ BCD}{2}=\frac{180°-108°}{2}=36°$
3. 求∠APB的度数：
∠APB是$△ BPC$的外角，根据三角形外角性质：外角等于与它不相邻的两个内角之和，因此$∠ APB=∠ BCA+∠ CBD=36°+36°=72°$。
【答案】
C
【知识点】
正多边形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角性质
【点评】
本题是正多边形与三角形性质结合的基础考题，解题核心是熟练掌握正多边形内角计算方法，再结合等腰三角形和三角形外角的性质逐步推导即可，解题时也可通过圆周角定理结合弧的度数求解。
【难度系数】
0.7

3. 如图1,正六边形ABCDEF内接于$\odot O$,则$∠ ADB$的度数是()

A.$60°$
B.$45°$
C.$30°$
D.$22.5°$

3. C

【分析】
解决本题的思路如下：第一步，结合正六边形内接于圆的性质，正六边形各边相等，因此各边所对的劣弧度数相等，可先计算出单段劣弧的度数；第二步，明确所求角$∠ ADB$是圆周角，找到它所对的弧；第三步，利用圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because$正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$，
$\therefore$正六边形的各边所对的劣弧度数相等，
$\therefore$劣弧$AB$的度数为$\frac{360°}{6}=60°$，
$\because ∠ ADB$是劣弧$AB$所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于弧度数的一半，
$\therefore ∠ ADB=\frac{1}{2}×60°=30°$。
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆的性质；圆周角定理
【点评】
本题是基础题型，解题的核心是熟练掌握正多边形内接于圆时各边对应弧的度数计算，以及圆周角定理的应用，能够快速定位所求角对应的弧即可求解。
【难度系数】
0.7