二、填空题
1. 如图3，点O是$△ ABC$的内心，连接OA，OC，若$△ OCA$的高$OD=3$，则点O到边AB的距离为。

1. 3

【分析】
解题时首先回忆三角形内心的相关性质：三角形的内心是三个内角角平分线的交点，它到三角形三条边的距离都相等。题目中给出△OCA的高OD=3，OD实质是点O到AC边的距离，要求点O到AB边的距离，直接利用内心到三边距离相等的性质即可求解。
【解析】
解：
∵点O是△ABC的内心
∴点O到△ABC三边的距离相等
∵OD是△OCA的高，OD=3
∴点O到AC边的距离为3
∴点O到AB边的距离等于点O到AC边的距离，即为3。
【答案】
3
【知识点】
三角形内心的性质，角平分线的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，解题关键是牢记三角形内心到三角形三边距离相等的性质，不需要复杂计算，直接应用性质即可得到结果。
【难度系数】
0.9

2. 如图4，$\odot O$为$△ ABC$的内切圆，$AC=9$，$AB=8$，$BC=10$，点$D$，$E$分别为$BC$，$AC$上的点，且$DE$为$\odot O$的切线，切点为$Q$，则$△ CDE$的周长为。

2. 11

【分析】
解题时优先考虑切线长定理：第一步，明确三角形内切圆切三边的切线长相等，且DE作为⊙O的切线，对应切线长也相等；第二步，设出各段切线长，结合△ABC的三边长求出从点C引出的两条切线长之和；第三步，将△CDE的周长通过切线长相等做等量替换，转化为从C点引出的两条切线长的和，即可算出结果。
【解析】
设⊙O与AB边切于点P，与BC边切于点M，与AC边切于点N。
根据切线长定理可得：$AP=AN$，$BP=BM$，$CM=CN$，$EQ=EN$，$DQ=DM$。
设$AP=AN=x$，$BP=BM=y$，$CM=CN=z$，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x+y=AB=8 \\y+z=BC=10 \\x+z=AC=9\end{cases}$
将三个方程左右两边分别相加，得$2(x+y+z)=27$，即$x+y+z=13.5$。
因此$z=13.5-(x+y)=13.5-8=5.5$，即$CM=CN=5.5$。
计算△CDE的周长：
$\begin{aligned}C_{△ CDE}&=CD+CE+DE\\&=CD+CE+DQ+EQ\\&=CD+DM+CE+EN\\&=CM+CN\\&=5.5+5.5=11\end{aligned}$
【答案】
11
【知识点】
切线长定理；三角形内切圆性质；周长等量转化
【点评】
本题重点考查切线长定理的应用，核心解题技巧是利用切线长相等对所求三角形的周长做等价转化，简化计算过程，是内切圆相关的典型基础题型。
【难度系数】
0.7

3. 如图5，$\odot O$内切于四边形$ABCD$，连接$OA$，$OB$，$OC$，$OD$. 若$∠ AOB=110°$，则$∠ COD$的度数是.

3. 70°

【分析】
解题时首先明确题干核心条件：⊙O是四边形ABCD的内切圆，因此O是四边形的内心，OA、OB、OC、OD分别平分四边形的四个内角。要计算∠COD的度数，可按以下思路推导：①先在△AOB中利用三角形内角和求出∠OAB+∠OBA的度数，结合角平分线性质得到∠BAD+∠ABC的度数；②再利用四边形内角和为360°，求出∠BCD+∠CDA的度数；③结合角平分线性质得到△COD中两个底角的和，最后再次利用三角形内角和即可求出∠COD，也可直接利用圆外切四边形“相对的两个圆心角之和为180°”的结论快速计算。
【解析】
∵⊙O内切于四边形ABCD，
∴OA平分∠BAD，OB平分∠ABC，OC平分∠BCD，OD平分∠CDA，
∴$∠ OAB=\frac{1}{2}∠ BAD$，$∠ OBA=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCD=\frac{1}{2}∠ BCD$，$∠ ODC=\frac{1}{2}∠ CDA$。
在$△ AOB$中，$∠ AOB=110°$，
由三角形内角和为$180°$得：
$∠ OAB+∠ OBA=180°-∠ AOB=180°-110°=70°$，
∴$\frac{1}{2}(∠ BAD+∠ ABC)=70°$，即$∠ BAD+∠ ABC=140°$。
∵四边形内角和为$360°$，
∴$∠ BCD+∠ CDA=360°-(∠ BAD+∠ ABC)=360°-140°=220°$，
∴$∠ OCD+∠ ODC=\frac{1}{2}(∠ BCD+∠ CDA)=\frac{1}{2}×220°=110°$。
在$△ COD$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ COD=180°-(∠ OCD+∠ ODC)=180°-110°=70°$。
【答案】
$70°$
【知识点】
圆外切四边形性质；角平分线定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是掌握内切圆圆心（内心）是多边形各内角角平分线交点的性质，结合多边形内角和公式即可逐步推导求解，熟记圆外切四边形中相对的两组圆心角分别互补的结论可提升解题效率。
【难度系数】
0.7

4. 如图6,点A的坐标为$(-3,2)$,$\odot A$的半径为1,P为坐标轴上一动点,PQ切$\odot A$于点Q,在所有P点中,使得PQ长最小时,点P的坐标为.

4. (-3,0)

【分析】
解题时先利用切线的性质确定△AQP为直角三角形，再结合勾股定理推导PQ长度和AP长度的关系：因为半径AQ是定值，所以PQ的最小值等价于AP的最小值。接下来将问题转化为找坐标轴上到点A距离最小的点，根据垂线段最短的性质，过点A向坐标轴作垂线，比较两个垂足对应的AP长度，即可确定符合要求的P点坐标。
【解析】
连接AQ、AP。
∵PQ是⊙A的切线，Q为切点，
∴AQ⊥PQ，即△AQP是直角三角形，∠AQP=90°。
在Rt△AQP中，由勾股定理可得：
$PQ=\sqrt{AP^2 - AQ^2}$
∵⊙A的半径$AQ=1$是固定值，
∴要使PQ长度最小，只需AP长度最小。
根据“垂线段最短”，点到直线的最短距离为垂线段长度：
已知点A坐标为$(-3,2)$，
过A作x轴的垂线，垂足为$P_1(-3,0)$，此时$AP_1=2$；
过A作y轴的垂线，垂足为$P_2(0,2)$，此时$AP_2=3$。
∵$2＜3$，
∴当P点坐标为$(-3,0)$时，AP最短，对应PQ长度最小。
【答案】
$(-3,0)$
【知识点】
切线的性质，勾股定理，垂线段最短
【点评】
本题是典型的几何最值问题，核心考查转化思想，将切线长的最值转化为点到直线的距离最值，只要熟练掌握切线性质和垂线段最短的规律就能顺利求解。
【难度系数】
0.7

5*. 如图7,△ABC中,∠BAC=90°,M是BC的中点,△ABM的内切圆与AB,BM分别相切于点D,E,连接DE.若DE//AM,则∠C的大小为.

5. 30°(提示:分别证DB=BE,DE=BE)

【分析】
解题时从已知条件逐步推导：1. 直角三角形斜边中点对应斜边中线性质，可得AM=BM，推出△ABM为等腰三角形，∠BAM=∠B；2. 内切圆的切线对应切线长定理，可得BD=BE，推出△BDE为等腰三角形，∠BDE=∠BED；3. 结合DE//AM的平行关系，通过同位角相等完成角的等量代换，推导出△ABM为等边三角形，得到∠B的度数，最后在Rt△ABC中计算∠C的大小。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$AM=BM=MC$，
∴ $∠ BAM=∠ B$。
∵ △ABM的内切圆分别与AB、BM相切于点D、E，
根据切线长定理，得$BD=BE$，
∴ △BDE为等腰三角形，$∠ BDE=∠ BED$。
∵ $DE// AM$，
∴ $∠ BDE=∠ BAM$，$∠ BED=∠ BMA$（两直线平行，同位角相等），
结合$∠ BAM=∠ B$，$∠ BDE=∠ BED$，等量代换得：$∠ B=∠ BMA$。
在△ABM中，$∠ BAM=∠ B$，$∠ BMA=∠ B$，
∴ $∠ BAM=∠ B=∠ BMA$，即△ABM为等边三角形，
∴ $∠ B=60°$。
在Rt△ABC中，$∠ BAC=90°$，
∴ $∠ C=90°-∠ B=90°-60°=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
切线长定理，直角三角形斜边中线性质，平行线的性质
【点评】
本题综合考查了三角形内切圆相关性质、特殊三角形的性质与判定，解题的关键是灵活运用切线长定理和平行线的性质梳理角的等量关系，进而推导等边三角形求解角度，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

三、解答题
1. 如图8,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ BAC$、$∠ ABC$的平分线交于点$D$,$DE⊥ BC$于点$E$,$DF⊥ AC$于点$F$.
(1)求证:四边形$CFDE$是正方形;
(2)若$AC=6$,$BC=8$,求$△ ABC$的内切圆的周长(结果保留$π$).

1. (1)证明:如图,过点D作$DN⊥AB$于点N.
$\because ∠C=90°,DE⊥BC,DF⊥AC,$
$\therefore ∠C=∠DEC=∠DFC=90°,$
$\therefore$ 四边形$CFDE$是矩形.
$\because ∠BAC、∠ABC$的平分线交于点$D,DE⊥BC,DF⊥AC,DN⊥AB,$
$\therefore DE=DN,DN=DF,\therefore DF=DE. \therefore$ 四边形$CFDE$是正方形.
(2)在Rt△ABC中,$AC=6,BC=8$,根据勾股定理,得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=10$. 设$△ABC$的内切圆的半径为$r$,$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}r·(AC+BC+AB)$,则$6×8=r·(6+8+10)$,解得$r=2$. $\therefore △ABC$的内切圆的周长为:$2π×2=4π$.

【分析】
(1) 要证明四边形$CFDE$是正方形，首先根据已知的三个直角可先判定四边形为矩形，再利用角平分线的性质证明矩形的一组邻边相等，即可证得是正方形。
(2) 求内切圆周长首先需要求内切圆半径：先用勾股定理算出$Rt△ ABC$的斜边长度，再利用“三角形面积等于内切圆半径乘三角形周长的一半”这一面积法建立等式求出半径，最后代入圆的周长公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：如图，过点$D$作$DN⊥AB$于点$N$.
$\because ∠C=90°,DE⊥BC,DF⊥AC,$
$\therefore ∠C=∠DEC=∠DFC=90°,$
$\therefore$ 四边形$CFDE$是矩形.
$\because ∠BAC、∠ABC$的平分线交于点$D,DE⊥BC,DF⊥AC,DN⊥AB,$
$\therefore DE=DN,DN=DF,\therefore DF=DE. \therefore$ 四边形$CFDE$是正方形.
(2) 在$Rt△ ABC$中，$AC=6,BC=8$，根据勾股定理，得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$. 设$△ABC$的内切圆的半径为$r$，由$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}r·(AC+BC+AB)$，代入数据得$6×8=r·(6+8+10)$，解得$r=2$.
$\therefore △ABC$的内切圆的周长为$2πr=2π×2=4π$.
【答案】
(1) 四边形$CFDE$是正方形，证明如上；
(2) $△ABC$的内切圆的周长为$\boldsymbol{4π}$.
【知识点】
角平分线的性质；正方形的判定；勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，将特殊四边形判定、角平分线性质、直角三角形内切圆计算结合考查，解题关键是熟练掌握相关定理，灵活运用面积法求解内切圆半径，对巩固几何知识点的综合应用有较好的训练效果。
【难度系数】
0.7