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1.已知$-5a+3$的立方根是$-3$，$3a+b-1$的算术平方根是$4$，$c$是正数且算术平方根等于本身.求:(1)$a,b,c$的值；(2)$4a-2b-c$的平方根.
答案
(1) 由题意得：$-5a + 3=-27,3a + b - 1=16,$
$\therefore a=6,b=-1.$
$\because c$ 是正数且算术平方根等于本身,$\therefore c=1.$
(2) 由(1)得 $a=6,b=-1,c=1,$
$\therefore 4a - 2b - c=4×6 - 2×(-1)-1=25,$
$\therefore 4a - 2b - c$ 的平方根为 $\pm5.$
$\therefore a=6,b=-1.$
$\because c$ 是正数且算术平方根等于本身,$\therefore c=1.$
(2) 由(1)得 $a=6,b=-1,c=1,$
$\therefore 4a - 2b - c=4×6 - 2×(-1)-1=25,$
$\therefore 4a - 2b - c$ 的平方根为 $\pm5.$
▶例2 计算:(1)$\sqrt{18} ÷ \sqrt{9} - \sqrt{\frac{1}{4}} × 2\sqrt{2} + \sqrt{32}$；(2)$(\sqrt{2} - 1)^2 - (\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})$。
思路提示 (1)利用二次根式乘除法则和性质化简；(2)利用完全平方公式和平方差公式。
尝试解答
思路提示 (1)利用二次根式乘除法则和性质化简；(2)利用完全平方公式和平方差公式。
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答案
(1) $4\sqrt{2}$
(2) $1-2\sqrt{2}$
(2) $1-2\sqrt{2}$
2.计算:(1)$\sqrt{48} ÷ \sqrt{3} - \sqrt{\dfrac{3}{2}} × \sqrt{12}$；(2)$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) + (2\sqrt{2}-1)^2$。
答案
(1) 原式 $=\sqrt{48÷3}-\sqrt{\dfrac{3}{2}×12}=\sqrt{16}-\sqrt{18}=4-3\sqrt{2}$
(2) 原式 $=4-3+8+1-4\sqrt{2}=10-4\sqrt{2}$
(2) 原式 $=4-3+8+1-4\sqrt{2}=10-4\sqrt{2}$
例3 阅读材料，回答问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式.例如：因为$\sqrt{a} × \sqrt{a}=a,(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=1$,所以$\sqrt{a}$与$\sqrt{a},\sqrt{2}+1$与$\sqrt{2}-1$互为有理化因式.在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号.
(1)写出$\sqrt{3}-2$的一个有理化因式：______；化简：$\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}-2}=\_\_\_\_\_\_$；
(2)化简：$\frac{1}{\sqrt{3}+1}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{2025}+\sqrt{2023}}$；
(3)拓展应用：已知$a=\sqrt{2023}-\sqrt{2022},b=\sqrt{2024}-\sqrt{2023},c=\sqrt{2025}-\sqrt{2024}$,试比较$a,b,c$的大小，并说明理由.
思路提示 利用二次根式有理化因式化去分母根号.
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两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式.例如：因为$\sqrt{a} × \sqrt{a}=a,(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=1$,所以$\sqrt{a}$与$\sqrt{a},\sqrt{2}+1$与$\sqrt{2}-1$互为有理化因式.在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号.
(1)写出$\sqrt{3}-2$的一个有理化因式：______；化简：$\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}-2}=\_\_\_\_\_\_$；
(2)化简：$\frac{1}{\sqrt{3}+1}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{2025}+\sqrt{2023}}$；
(3)拓展应用：已知$a=\sqrt{2023}-\sqrt{2022},b=\sqrt{2024}-\sqrt{2023},c=\sqrt{2025}-\sqrt{2024}$,试比较$a,b,c$的大小，并说明理由.
思路提示 利用二次根式有理化因式化去分母根号.
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答案
(1) $\sqrt{3}+2$ $-7-4\sqrt{3}$
(2) 原式 $=\dfrac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}+\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}+\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})}+\dots+\dfrac{\sqrt{2\ 025}-\sqrt{2\ 023}}{(\sqrt{2\ 025}+\sqrt{2\ 023})(\sqrt{2\ 025}-\sqrt{2\ 023})}$
$=\dfrac{1}{2}×(\sqrt{3}-1+\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{7}-\sqrt{5}+\dots+\sqrt{2\ 025}-\sqrt{2\ 023})$
$=\dfrac{\sqrt{2\ 025}-1}{2}=22.$
(3) $a＞b＞c$,理由如下：
$\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{\sqrt{2\ 023}-\sqrt{2\ 022}}=\dfrac{\sqrt{2\ 023}+\sqrt{2\ 022}}{(\sqrt{2\ 023}-\sqrt{2\ 022})(\sqrt{2\ 023}+\sqrt{2\ 022})}=\sqrt{2\ 023}+\sqrt{2\ 022},$
$\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{\sqrt{2\ 024}-\sqrt{2\ 023}}=\dfrac{\sqrt{2\ 024}+\sqrt{2\ 023}}{(\sqrt{2\ 024}-\sqrt{2\ 023})(\sqrt{2\ 024}+\sqrt{2\ 023})}=\sqrt{2\ 024}+\sqrt{2\ 023},$
$\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{\sqrt{2\ 025}-\sqrt{2\ 024}}=\dfrac{\sqrt{2\ 025}+\sqrt{2\ 024}}{(\sqrt{2\ 025}-\sqrt{2\ 024})(\sqrt{2\ 025}+\sqrt{2\ 024})}=\sqrt{2\ 025}+\sqrt{2\ 024}.$
$\because \dfrac{1}{a}＜\dfrac{1}{b}＜\dfrac{1}{c},\therefore a＞b＞c.$
(2) 原式 $=\dfrac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}+\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}+\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})}+\dots+\dfrac{\sqrt{2\ 025}-\sqrt{2\ 023}}{(\sqrt{2\ 025}+\sqrt{2\ 023})(\sqrt{2\ 025}-\sqrt{2\ 023})}$
$=\dfrac{1}{2}×(\sqrt{3}-1+\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{7}-\sqrt{5}+\dots+\sqrt{2\ 025}-\sqrt{2\ 023})$
$=\dfrac{\sqrt{2\ 025}-1}{2}=22.$
(3) $a＞b＞c$,理由如下：
$\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{\sqrt{2\ 023}-\sqrt{2\ 022}}=\dfrac{\sqrt{2\ 023}+\sqrt{2\ 022}}{(\sqrt{2\ 023}-\sqrt{2\ 022})(\sqrt{2\ 023}+\sqrt{2\ 022})}=\sqrt{2\ 023}+\sqrt{2\ 022},$
$\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{\sqrt{2\ 024}-\sqrt{2\ 023}}=\dfrac{\sqrt{2\ 024}+\sqrt{2\ 023}}{(\sqrt{2\ 024}-\sqrt{2\ 023})(\sqrt{2\ 024}+\sqrt{2\ 023})}=\sqrt{2\ 024}+\sqrt{2\ 023},$
$\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{\sqrt{2\ 025}-\sqrt{2\ 024}}=\dfrac{\sqrt{2\ 025}+\sqrt{2\ 024}}{(\sqrt{2\ 025}-\sqrt{2\ 024})(\sqrt{2\ 025}+\sqrt{2\ 024})}=\sqrt{2\ 025}+\sqrt{2\ 024}.$
$\because \dfrac{1}{a}＜\dfrac{1}{b}＜\dfrac{1}{c},\therefore a＞b＞c.$
