三、解答题
1. 如图4，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=8\ \mathrm{cm}$，$D$为$AB$的中点，$DE⊥ AC$于$E$，$∠ A=30°$，求$BC$，$CD$和$DE$的长。

1. BC=4 cm,CD=4 cm,DE=2 cm

【分析】
解题时先梳理已知条件：$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，斜边$AB=8\mathrm{cm}$，$D$是$AB$中点，$DE⊥ AC$。思路分三步：①求$BC$：利用直角三角形中30°锐角所对直角边等于斜边一半的性质，直接由$AB$长度计算；②求$CD$：利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，$D$是$AB$中点，$CD$为斜边中线，直接求解；③求$DE$：可通过判定$DE$是$△ ABC$的中位线，利用中位线等于对应底边一半的性质计算，也可在$\mathrm{Rt}△ ADE$中用30°角的直角三角形性质求解。
【解析】
解：
1. 求$BC$的长度：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，根据直角三角形30°角的性质：30°角所对直角边等于斜边的一半，可得：
$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
2. 求$CD$的长度：
$\because D$是$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边$AB$的中点，根据直角三角形斜边中线定理：斜边中线等于斜边的一半，可得：
$CD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
3. 求$DE$的长度：
$\because DE⊥ AC$，$∠ ACB=90°$，$\therefore DE// BC$，
又$\because D$是$AB$中点，$\therefore E$是$AC$中点，即$DE$是$△ ABC$的中位线，根据三角形中位线定理：中位线长度等于对应底边的一半，可得：
$DE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$BC=4\ \mathrm{cm}$，$CD=4\ \mathrm{cm}$，$DE=2\ \mathrm{cm}$
【知识点】
直角三角形30°角性质；直角三角形斜边中线定理；三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础应用题型，主要考察直角三角形相关性质的直接运用，解题核心是准确匹配性质对应的边、角关系，计算量小，熟练掌握相关性质即可快速得分。
【难度系数】
0.8

2. 如图5，$△ ABC$为等腰直角三角形，$AB=AC$，$∠ BAC=90°$，点$D$在线段$AB$上，连接$CD$，$∠ ADC=60°$，$AD=2$，过点$C$作$CE⊥ CD$，且$CE=CD$，连接$DE$，交$BC$于点$F$. 求$△ CDE$的面积.

在Rt△ADC中,∠ADC=60°

∴ ∠ACD=30°,AD=2

∴ CD=CE=2 AD=4

∵ CE⊥CD

∴ ∠ECD=90°

∴ $S_{△ CDE}=\frac{1}{2}·CD·CE=\frac{1}{2}×4×4=8$

【分析】
要求△CDE的面积，首先观察△CDE的特征：由CE⊥CD可知△CDE是直角三角形，且已知CE=CD，因此只需先求出CD的长度即可代入面积公式计算。CD位于Rt△ADC中，已知∠BAC=90°、∠ADC=60°，可先推出∠ACD=30°，再利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半的性质，结合AD=2求出CD的长度，最后计算面积即可。
【解析】
在Rt△ADC中，∠BAC=90°，∠ADC=60°
∴ ∠ACD=180°-90°-60°=30°
∵ AD=2
∴ CD=2AD=4
又
∵ CE=CD
∴ CE=4
∵ CE⊥CD
∴ ∠ECD=90°
∴ $S_{△ CDE}=\frac{1}{2}·CD·CE=\frac{1}{2}×4×4=8$
【答案】
8
【知识点】
直角三角形30°角性质，三角形面积计算，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题侧重基础知识点的应用，解题的关键是找准所求三角形与已知条件的关联，先利用含30°角的直角三角形的性质求出公共边CD的长度，再代入面积公式计算，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8