小华根据学习“二次根式”及“乘法公式”积累的经验，探究发现以下结果：
∵当$a＞0$时，$a+\frac{1}{a}=(\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}·\frac{1}{\sqrt{a}} + (\frac{1}{\sqrt{a}})^2 + 2\sqrt{a}·\frac{1}{\sqrt{a}} = (\sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}})^2 + 2 ≥ 2$
∴当且仅当$\sqrt{a}=\frac{1}{\sqrt{a}}$即$a=1$时，$a+\frac{1}{a}$取得最小值，最小值为2.
请利用上述知识解决以下问题：
(1)已知$x＞0$，则当$x=$时，函数$y=x+\frac{3}{x}$取到最小值，最小值为；
(2)用篱笆围一个面积为100 m²的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？

1. $\sqrt{3},2\sqrt{3}$
2. 长为10 m,宽为10 m时所用篱笆最短,最短为40 m

【分析】
本题属于材料阅读型问题，解题核心是理解题干给出的正实数配方求最值的逻辑：对大于0的数a，将形如$a+\frac{k}{a}$的式子配成完全平方加常数的形式，利用平方的非负性得到最小值，等号成立的条件是完全平方的两个底数相等。解题步骤：(1)将函数$y=x+\frac{3}{x}$仿照题干方法配方，找到等号成立时$x$的取值和对应最小值；(2)先设矩形的长为正实数$x$，用面积表示出宽，再写出篱笆周长的表达式，套用上述最值方法求解即可。
【解析】
(1) 已知$x＞0$，对$y=x+\frac{3}{x}$配方：
$\begin{aligned}y&=x+\frac{3}{x}\\&=(\sqrt{x})^2 - 2·\sqrt{x}·\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x}} + (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x}})^2 + 2·\sqrt{x}·\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x}}\\&=(\sqrt{x} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x}})^2 + 2\sqrt{3}\end{aligned}$
∵ 平方具有非负性，即$(\sqrt{x} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x}})^2≥0$
∴ $y≥2\sqrt{3}$，当且仅当$\sqrt{x}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x}}$时等号成立
解得$x=\sqrt{3}$，即$x=\sqrt{3}$时，$y$取最小值$2\sqrt{3}$。
(2) 设矩形花园的长为$x\ \mathrm{m}(x＞0)$，由面积为$100\ \mathrm{m}^2$，得宽为$\frac{100}{x}\ \mathrm{m}$。
篱笆总长度为矩形周长$L=2(x+\frac{100}{x})$，对$x+\frac{100}{x}$配方：
$\begin{aligned}x+\frac{100}{x}&=(\sqrt{x})^2 - 2·\sqrt{x}·\frac{10}{\sqrt{x}} + (\frac{10}{\sqrt{x}})^2 + 2·\sqrt{x}·\frac{10}{\sqrt{x}}\\&=(\sqrt{x} - \frac{10}{\sqrt{x}})^2 + 20\end{aligned}$
∵ $(\sqrt{x} - \frac{10}{\sqrt{x}})^2≥0$
∴ $x+\frac{100}{x}≥20$，当且仅当$\sqrt{x}=\frac{10}{\sqrt{x}}$即$x=10$时等号成立。
此时宽为$\frac{100}{10}=10\ \mathrm{m}$，最短周长$L=2×20=40\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\sqrt{3}$，$2\sqrt{3}$；
(2) 长为10 m，宽为10 m时所用篱笆最短，最短篱笆长度为40 m。
【知识点】
完全平方公式，二次根式的性质，最值求解
【点评】
本题要求学生先理解题干给出的推导方法，再将方法迁移应用到新的代数式和实际问题中，既考查对配方技巧的掌握，也考查数学建模和知识迁移的能力。
【难度系数】
0.7