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1.若$x$，$y$为实数，且$\sqrt{2x-1}+\sqrt{1-2x}+y=6$，则$xy$的值为（
A.0
B.2
C.3
D.不能确定
C
）A.0
B.2
C.3
D.不能确定
答案
1.C
解析
【分析】
要计算$xy$的值，需先分别求出$x$、$y$的值。观察已知等式，其中包含两个二次根式，根据二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数，可列出关于$x$的不等式组，确定$x$的取值，再将$x$代入原式即可求出$y$的值，最后计算$xy$的结果即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得：
$\begin{cases}2x-1≥0 \\ 1-2x≥0\end{cases}$
解不等式$2x-1≥0$，得$x≥\frac{1}{2}$；
解不等式$1-2x≥0$，得$x≤\frac{1}{2}$；
因此$x=\frac{1}{2}$。
将$x=\frac{1}{2}$代入$\sqrt{2x-1}+\sqrt{1-2x}+y=6$中，得：
$0+0+y=6$，解得$y=6$。
所以$xy=\frac{1}{2}×6=3$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件，代数式求值
【点评】
本题是二次根式相关求值的典型基础题，解题核心是利用二次根式的被开方数非负的性质，结合两个互为相反数的数同时非负时只能均为0的特点，快速求出未知数$x$的值，进而求解，掌握二次根式的基本性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
要计算$xy$的值，需先分别求出$x$、$y$的值。观察已知等式，其中包含两个二次根式，根据二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数，可列出关于$x$的不等式组，确定$x$的取值，再将$x$代入原式即可求出$y$的值，最后计算$xy$的结果即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得：
$\begin{cases}2x-1≥0 \\ 1-2x≥0\end{cases}$
解不等式$2x-1≥0$，得$x≥\frac{1}{2}$；
解不等式$1-2x≥0$，得$x≤\frac{1}{2}$；
因此$x=\frac{1}{2}$。
将$x=\frac{1}{2}$代入$\sqrt{2x-1}+\sqrt{1-2x}+y=6$中，得：
$0+0+y=6$，解得$y=6$。
所以$xy=\frac{1}{2}×6=3$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件，代数式求值
【点评】
本题是二次根式相关求值的典型基础题，解题核心是利用二次根式的被开方数非负的性质，结合两个互为相反数的数同时非负时只能均为0的特点，快速求出未知数$x$的值，进而求解，掌握二次根式的基本性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
2.已知$|a-1|+\sqrt{b-2}+(c+3)^2=0$，则$(a+c)^b$的值为
4
。答案
2.4
解析
【分析】
解题的核心是利用非负数的性质：我们学过的绝对值、算术平方根、完全平方数都是非负数，若几个非负数的和为0，则每一个非负数都为0。据此我们可以分别列出关于a、b、c的等式，求出三个字母的值，再代入待求的代数式计算即可。
【解析】
解：
∵ |a-1|≥0，$\sqrt{b-2}$≥0，$(c+3)^2$≥0，且三者的和为0
∴ 每个非负项均为0，可得：
$a - 1 = 0$，解得$a=1$
$b - 2 = 0$，解得$b=2$
$c + 3 = 0$，解得$c=-3$
将$a=1$，$b=2$，$c=-3$代入$(a+c)^b$得：
原式$=(1 + (-3))^2 = (-2)^2 = 4$
【答案】
4
【知识点】
非负数的性质，二次根式的非负性，代数式求值
【点评】
本题是代数运算的常考基础题型，解题关键是牢记常见非负数的类型及“多个非负数和为0时每一项均为0”的性质，计算时注意符号运算即可。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用非负数的性质：我们学过的绝对值、算术平方根、完全平方数都是非负数，若几个非负数的和为0，则每一个非负数都为0。据此我们可以分别列出关于a、b、c的等式，求出三个字母的值，再代入待求的代数式计算即可。
【解析】
解：
∵ |a-1|≥0，$\sqrt{b-2}$≥0，$(c+3)^2$≥0，且三者的和为0
∴ 每个非负项均为0，可得：
$a - 1 = 0$，解得$a=1$
$b - 2 = 0$，解得$b=2$
$c + 3 = 0$，解得$c=-3$
将$a=1$，$b=2$，$c=-3$代入$(a+c)^b$得：
原式$=(1 + (-3))^2 = (-2)^2 = 4$
【答案】
4
【知识点】
非负数的性质，二次根式的非负性，代数式求值
【点评】
本题是代数运算的常考基础题型，解题关键是牢记常见非负数的类型及“多个非负数和为0时每一项均为0”的性质，计算时注意符号运算即可。
【难度系数】
0.8
3.已知$ a $满足$ |99 - a| + \sqrt{a - 100} = a $，则$ a - 99^2 = \_\_\_\_\_\_ $。
答案
3.100
解析
【分析】
解题时首先根据二次根式的被开方数非负，确定a的取值范围，再根据a的范围判断绝对值内代数式的正负，去掉绝对值符号后化简原式，最后变形即可求出目标代数式的值。
【解析】
要使$\sqrt{a - 100}$有意义，则被开方数满足：
$a - 100 ≥ 0$，解得$a ≥ 100$
因此$99 - a ＜ 0$，根据绝对值的性质，$|99 - a| = a - 99$
将其代入原式$|99 - a| + \sqrt{a - 100} = a$得：
$a - 99 + \sqrt{a - 100} = a$
两边同时减去a，整理得：
$\sqrt{a - 100} = 99$
等式两边同时平方得：
$a - 100 = 99^2$
移项可得：$a - 99^2 = 100$
【答案】
100
【知识点】
二次根式有意义的条件，绝对值的性质，二次根式求值
【点评】
本题是二次根式相关求值的典型题型，解题的突破口是先利用二次根式的非负性确定字母的取值范围，再去绝对值化简求解，侧重考查基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据二次根式的被开方数非负，确定a的取值范围，再根据a的范围判断绝对值内代数式的正负，去掉绝对值符号后化简原式，最后变形即可求出目标代数式的值。
【解析】
要使$\sqrt{a - 100}$有意义，则被开方数满足：
$a - 100 ≥ 0$，解得$a ≥ 100$
因此$99 - a ＜ 0$，根据绝对值的性质，$|99 - a| = a - 99$
将其代入原式$|99 - a| + \sqrt{a - 100} = a$得：
$a - 99 + \sqrt{a - 100} = a$
两边同时减去a，整理得：
$\sqrt{a - 100} = 99$
等式两边同时平方得：
$a - 100 = 99^2$
移项可得：$a - 99^2 = 100$
【答案】
100
【知识点】
二次根式有意义的条件，绝对值的性质，二次根式求值
【点评】
本题是二次根式相关求值的典型题型，解题的突破口是先利用二次根式的非负性确定字母的取值范围，再去绝对值化简求解，侧重考查基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
4.先化简，再求值：
(1)$(a - \sqrt{2})(a + \sqrt{2}) + a(a - \frac{1}{a})$，其中 $a = -\sqrt{5}$；
(2)$(x + y)(x - y) + y(x + 2y) - (x - y)^2$，其中 $x = 2 + \sqrt{3}$，$y = 2 - \sqrt{3}$。
(1)$(a - \sqrt{2})(a + \sqrt{2}) + a(a - \frac{1}{a})$，其中 $a = -\sqrt{5}$；
(2)$(x + y)(x - y) + y(x + 2y) - (x - y)^2$，其中 $x = 2 + \sqrt{3}$，$y = 2 - \sqrt{3}$。
答案
4.解:(1)原式=$a^2 -2 +a^2 -1=2a^2 -3$.
当$a=-\sqrt{5}$时,原式=$2×(-\sqrt{5})^2 -3=7$.
(2)原式=$x^2 - y^2 + xy + 2y^2 - (x^2 - 2xy + y^2)$
=$x^2 - y^2 + xy + 2y^2 - x^2 + 2xy - y^2$
=$3xy$.
当$x=2+\sqrt{3},y=2-\sqrt{3}$时,
原式=$3×(2+\sqrt{3})×(2-\sqrt{3})$
=$3×(4-3)=3$.
当$a=-\sqrt{5}$时,原式=$2×(-\sqrt{5})^2 -3=7$.
(2)原式=$x^2 - y^2 + xy + 2y^2 - (x^2 - 2xy + y^2)$
=$x^2 - y^2 + xy + 2y^2 - x^2 + 2xy - y^2$
=$3xy$.
当$x=2+\sqrt{3},y=2-\sqrt{3}$时,
原式=$3×(2+\sqrt{3})×(2-\sqrt{3})$
=$3×(4-3)=3$.
解析
【分析】
这两道题均为先化简再求值题型，解题思路是先利用整式乘法公式和单项式乘多项式法则展开原式，合并同类项得到最简形式后，再代入对应字母的值计算，可大幅降低直接代入的计算量，减少出错概率。
第(1)题：先识别$(a - \sqrt{2})(a + \sqrt{2})$符合平方差公式结构，用公式展开后再计算单项式乘多项式的部分，合并同类项得到最简式后代入求值。
第(2)题：依次用平方差公式、单项式乘多项式法则、完全平方公式展开各项，去括号时注意符号变化，合并同类项后，代入x、y值时可再次利用平方差公式简化计算。
【解析】
(1) 展开化简：
原式$=a^2 - (\sqrt{2})^2 + a^2 - a·\frac{1}{a}$
$=a^2 -2 +a^2 -1$
$=2a^2 -3$
代入$a=-\sqrt{5}$计算：
原式$=2×(-\sqrt{5})^2 -3=2×5 -3=7$
(2) 展开化简：
原式$=x^2 - y^2 + xy + 2y^2 - (x^2 - 2xy + y^2)$
$=x^2 - y^2 + xy + 2y^2 -x^2 +2xy - y^2$
$=3xy$
代入$x=2+\sqrt{3},y=2-\sqrt{3}$计算：
原式$=3×(2+\sqrt{3})×(2-\sqrt{3})$
$=3×(4-3)=3$
【答案】
(1) $\boxed{7}$；(2) $\boxed{3}$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式化简求值
【点评】
本题重点考查整式乘法运算与二次根式求值的结合，核心是遵循先化简后代入的解题原则，能有效降低计算难度，解题时需注意去括号的符号变化，以及乘法公式的正确套用，避免因公式记错或符号疏漏丢分。
【难度系数】
0.7
这两道题均为先化简再求值题型，解题思路是先利用整式乘法公式和单项式乘多项式法则展开原式，合并同类项得到最简形式后，再代入对应字母的值计算，可大幅降低直接代入的计算量，减少出错概率。
第(1)题：先识别$(a - \sqrt{2})(a + \sqrt{2})$符合平方差公式结构，用公式展开后再计算单项式乘多项式的部分，合并同类项得到最简式后代入求值。
第(2)题：依次用平方差公式、单项式乘多项式法则、完全平方公式展开各项，去括号时注意符号变化，合并同类项后，代入x、y值时可再次利用平方差公式简化计算。
【解析】
(1) 展开化简：
原式$=a^2 - (\sqrt{2})^2 + a^2 - a·\frac{1}{a}$
$=a^2 -2 +a^2 -1$
$=2a^2 -3$
代入$a=-\sqrt{5}$计算：
原式$=2×(-\sqrt{5})^2 -3=2×5 -3=7$
(2) 展开化简：
原式$=x^2 - y^2 + xy + 2y^2 - (x^2 - 2xy + y^2)$
$=x^2 - y^2 + xy + 2y^2 -x^2 +2xy - y^2$
$=3xy$
代入$x=2+\sqrt{3},y=2-\sqrt{3}$计算：
原式$=3×(2+\sqrt{3})×(2-\sqrt{3})$
$=3×(4-3)=3$
【答案】
(1) $\boxed{7}$；(2) $\boxed{3}$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式化简求值
【点评】
本题重点考查整式乘法运算与二次根式求值的结合，核心是遵循先化简后代入的解题原则，能有效降低计算难度，解题时需注意去括号的符号变化，以及乘法公式的正确套用，避免因公式记错或符号疏漏丢分。
【难度系数】
0.7
5.已知$a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$，求$\frac{a^2 -1}{a+1} - \frac{\sqrt{a^2 -2a +1}}{a^2 -a}$的值.
答案
5.解:原式=$\frac{(a + 1)(a - 1)}{a + 1} - \frac{\sqrt{(a - 1)^2}}{a(a - 1)}$
=$a - 1 - \frac{|a - 1|}{a(a - 1)}$.
因为$a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$,
所以$a-1=1-\sqrt{3}＜0$.
所以原式=$a-1+\frac{1}{a}=1-\sqrt{3}+\frac{1}{\frac{1}{2+\sqrt{3}}}=3$.
=$a - 1 - \frac{|a - 1|}{a(a - 1)}$.
因为$a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$,
所以$a-1=1-\sqrt{3}＜0$.
所以原式=$a-1+\frac{1}{a}=1-\sqrt{3}+\frac{1}{\frac{1}{2+\sqrt{3}}}=3$.
解析
【分析】
求解此类代数式求值问题，优先选择先化简所求代数式、再代入数值计算的思路，降低运算量。第一步先对两个分式分别变形：第一个分式的分子是平方差形式，分解因式后可与分母约分；第二个分式的被开方数是完全平方式，开根号后需写成绝对值形式，分母也可因式分解。接下来先对a做分母有理化得到最简形式，再判断a-1的正负，即可去掉绝对值符号，最后代入化简后的式子计算即可。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}\frac{a^2 -1}{a+1} - \frac{\sqrt{a^2 -2a +1}}{a^2 -a}&=\frac{(a + 1)(a - 1)}{a + 1} - \frac{\sqrt{(a - 1)^2}}{a(a - 1)}\\&=a - 1 - \frac{|a - 1|}{a(a - 1)}\end{aligned}$
再化简a的值：
$a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$
可得$a-1=1-\sqrt{3}＜0$，因此$|a-1|=1-a$，代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=a-1 - \frac{1-a}{a(a-1)}\\&=a-1 + \frac{1}{a}\end{aligned}$
将a的值代入计算：
$原式=(2-\sqrt{3})-1 + (2+\sqrt{3})=3$
【答案】
$\boxed{3}$
【知识点】
二次根式的性质，分式化简求值，分母有理化
【点评】
本题是二次根式与分式结合的典型求值题，解题关键是先化简代数式再代入数值，需注意二次根式开平方的结果为非负数，要先判断底数的正负再去绝对值，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
求解此类代数式求值问题，优先选择先化简所求代数式、再代入数值计算的思路，降低运算量。第一步先对两个分式分别变形：第一个分式的分子是平方差形式，分解因式后可与分母约分；第二个分式的被开方数是完全平方式，开根号后需写成绝对值形式，分母也可因式分解。接下来先对a做分母有理化得到最简形式，再判断a-1的正负，即可去掉绝对值符号，最后代入化简后的式子计算即可。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}\frac{a^2 -1}{a+1} - \frac{\sqrt{a^2 -2a +1}}{a^2 -a}&=\frac{(a + 1)(a - 1)}{a + 1} - \frac{\sqrt{(a - 1)^2}}{a(a - 1)}\\&=a - 1 - \frac{|a - 1|}{a(a - 1)}\end{aligned}$
再化简a的值：
$a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$
可得$a-1=1-\sqrt{3}＜0$，因此$|a-1|=1-a$，代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=a-1 - \frac{1-a}{a(a-1)}\\&=a-1 + \frac{1}{a}\end{aligned}$
将a的值代入计算：
$原式=(2-\sqrt{3})-1 + (2+\sqrt{3})=3$
【答案】
$\boxed{3}$
【知识点】
二次根式的性质，分式化简求值，分母有理化
【点评】
本题是二次根式与分式结合的典型求值题，解题关键是先化简代数式再代入数值，需注意二次根式开平方的结果为非负数，要先判断底数的正负再去绝对值，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
