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11.若$(x-2y+1)^2 + (x+2y-3)^2 = 0$，则$x$，$y$的值是（
A.$\begin{cases}x=-1, \\ y=0\end{cases}$
B.$\begin{cases}x=-1, \\ y=2\end{cases}$
C.$\begin{cases}x=1, \\ y=1\end{cases}$
D.$\begin{cases}x=1, \\ y=2\end{cases}$
C
）A.$\begin{cases}x=-1, \\ y=0\end{cases}$
B.$\begin{cases}x=-1, \\ y=2\end{cases}$
C.$\begin{cases}x=1, \\ y=1\end{cases}$
D.$\begin{cases}x=1, \\ y=2\end{cases}$
答案
11.C
解析
【分析】
解题时首先回忆平方的性质：任意实数的平方都是非负数（即大于等于0）。两个非负数相加结果为0，只有一种可能：两个非负数各自都等于0。据此我们可以把原等式转化为二元一次方程组，再解方程组得到x、y的值，最后匹配选项即可。
【解析】
解：
∵任意实数的平方都是非负数，即$a^2≥0$，
∴要使$(x-2y+1)^2 + (x+2y-3)^2 = 0$成立，需同时满足两个平方内的式子为0，可得方程组：
$\begin{cases}x-2y+1=0 \quad ①\\x+2y-3=0 \quad ②\end{cases}$
将①+②消去y，得：$2x-2=0$，解得$x=1$。
把$x=1$代入①式，得：$1-2y+1=0$，整理得$2-2y=0$，解得$y=1$。
因此方程组的解为$\begin{cases}x=1 \\ y=1\end{cases}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
非负数的性质、解二元一次方程组
【点评】
本题核心考点是“多个非负数的和为0时，每个非负数均为0”的性质，只要掌握该性质就能顺利把原式转化为方程组求解，整体计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平方的性质：任意实数的平方都是非负数（即大于等于0）。两个非负数相加结果为0，只有一种可能：两个非负数各自都等于0。据此我们可以把原等式转化为二元一次方程组，再解方程组得到x、y的值，最后匹配选项即可。
【解析】
解：
∵任意实数的平方都是非负数，即$a^2≥0$，
∴要使$(x-2y+1)^2 + (x+2y-3)^2 = 0$成立，需同时满足两个平方内的式子为0，可得方程组：
$\begin{cases}x-2y+1=0 \quad ①\\x+2y-3=0 \quad ②\end{cases}$
将①+②消去y，得：$2x-2=0$，解得$x=1$。
把$x=1$代入①式，得：$1-2y+1=0$，整理得$2-2y=0$，解得$y=1$。
因此方程组的解为$\begin{cases}x=1 \\ y=1\end{cases}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
非负数的性质、解二元一次方程组
【点评】
本题核心考点是“多个非负数的和为0时，每个非负数均为0”的性质，只要掌握该性质就能顺利把原式转化为方程组求解，整体计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
12.由方程组$\begin{cases}x+m=4,\\y-3=m\end{cases}$可得出$x$与$y$之间的关系是（ ）
A.$x+y=1$
B.$x+y=-1$
C.$x+y=7$
D.$x+y=-7$
A.$x+y=1$
B.$x+y=-1$
C.$x+y=7$
D.$x+y=-7$
答案
12.C
解析
【分析】
要得到x与y的关系，核心是消去两个方程中都含有的参数m。我们可以利用代入消元的思路，从第二个方程中直接得到m用y表示的式子，再代入第一个方程替换掉m，就能得到只含x和y的等式，整理后即可选出答案；也可以通过变形两个方程后相加，抵消m得到结果。
【解析】
方法1：代入消元法
由方程$y-3=m$，可得$m=y-3$，将其代入方程$x+m=4$中，得：
$x + (y - 3) = 4$
去括号得：$x + y - 3 = 4$
移项计算得：$x + y = 7$
方法2：加减消元法
将方程组整理为：
$\begin{cases}x + m =4\\y - m =3\end{cases}$
把两个方程左右两边分别相加得：$x + m + y - m = 4 + 3$
抵消m后得：$x + y =7$
因此选C。
【答案】C
【知识点】代入消元法，等式的基本性质
【点评】本题是二元一次方程组消元的基础应用，解题关键是明确目标是消去中间参数m，熟练掌握代入或加减消元的方法即可快速求解，考查基础运算能力。
【难度系数】0.9
要得到x与y的关系，核心是消去两个方程中都含有的参数m。我们可以利用代入消元的思路，从第二个方程中直接得到m用y表示的式子，再代入第一个方程替换掉m，就能得到只含x和y的等式，整理后即可选出答案；也可以通过变形两个方程后相加，抵消m得到结果。
【解析】
方法1：代入消元法
由方程$y-3=m$，可得$m=y-3$，将其代入方程$x+m=4$中，得：
$x + (y - 3) = 4$
去括号得：$x + y - 3 = 4$
移项计算得：$x + y = 7$
方法2：加减消元法
将方程组整理为：
$\begin{cases}x + m =4\\y - m =3\end{cases}$
把两个方程左右两边分别相加得：$x + m + y - m = 4 + 3$
抵消m后得：$x + y =7$
因此选C。
【答案】C
【知识点】代入消元法，等式的基本性质
【点评】本题是二元一次方程组消元的基础应用，解题关键是明确目标是消去中间参数m，熟练掌握代入或加减消元的方法即可快速求解，考查基础运算能力。
【难度系数】0.9
13. 已知方程组$\begin{cases}ax - by = 4, \\ax + by = 0\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=2, \\y=1,\end{cases}$则$2a - 3b=$ ______ 。
答案
13.8
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，根据二元一次方程组的解的定义，方程组的解满足方程组中的每一个方程，因此将已知的解$\begin{cases}x=2, \\y=1\end{cases}$代入原方程组，可得到关于参数$a$、$b$的二元一次方程组；第二步，用加减消元法解新得到的方程组，求出$a$和$b$的值；第三步，将$a$、$b$的值代入代数式$2a-3b$，计算出最终结果即可。
【解析】
把$\begin{cases}x=2, \\y=1\end{cases}$代入原方程组$\begin{cases}ax - by = 4, \\ax + by = 0\end{cases}$，可得：
$\begin{cases}2a - b = 4 \quad \mathrm{①} \\2a + b = 0 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
将①+②，消去$b$：
$2a - b + 2a + b = 4 + 0$
化简得$4a = 4$，解得$a=1$。
把$a=1$代入②式：
$2×1 + b = 0$，解得$b=-2$。
将$a=1$，$b=-2$代入$2a-3b$：
$2×1 - 3×(-2) = 2 + 6 = 8$。
【答案】
8
【知识点】
二元一次方程组的解的概念；加减消元法解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二元一次方程组解的含义的理解，解题关键是将已知解代入原方程组转化为关于参数的新方程组求解，计算时要注意负号的运算，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步，根据二元一次方程组的解的定义，方程组的解满足方程组中的每一个方程，因此将已知的解$\begin{cases}x=2, \\y=1\end{cases}$代入原方程组，可得到关于参数$a$、$b$的二元一次方程组；第二步，用加减消元法解新得到的方程组，求出$a$和$b$的值；第三步，将$a$、$b$的值代入代数式$2a-3b$，计算出最终结果即可。
【解析】
把$\begin{cases}x=2, \\y=1\end{cases}$代入原方程组$\begin{cases}ax - by = 4, \\ax + by = 0\end{cases}$，可得：
$\begin{cases}2a - b = 4 \quad \mathrm{①} \\2a + b = 0 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
将①+②，消去$b$：
$2a - b + 2a + b = 4 + 0$
化简得$4a = 4$，解得$a=1$。
把$a=1$代入②式：
$2×1 + b = 0$，解得$b=-2$。
将$a=1$，$b=-2$代入$2a-3b$：
$2×1 - 3×(-2) = 2 + 6 = 8$。
【答案】
8
【知识点】
二元一次方程组的解的概念；加减消元法解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二元一次方程组解的含义的理解，解题关键是将已知解代入原方程组转化为关于参数的新方程组求解，计算时要注意负号的运算，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
14.用加减法解方程组：
(1)$\begin{cases}2x+y=4,①\\x-y=-1;②\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x+3y=-1,①\\3x-2y=8.②\end{cases}$
(1)$\begin{cases}2x+y=4,①\\x-y=-1;②\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x+3y=-1,①\\3x-2y=8.②\end{cases}$
答案
14.(1)$\begin{cases}x=1, \\ y=2\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x=2, \\ y=-1\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x=2, \\ y=-1\end{cases}$
解析
【分析】
用加减法解二元一次方程组的核心是通过等式的性质，将两个方程中同一个未知数的系数转化为相等或互为相反数，再通过相加或相减消去该未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程求解，最后将求得的未知数回代到原方程，求出另一个未知数的值。
(1)观察方程组发现y的系数分别为1和-1，互为相反数，可直接将两个方程相加消去y，先求x的值，再代入求y；
(2)观察方程组，x和y的系数既不相等也不互为相反数，先找y的系数3和2的最小公倍数6，给①乘2、②乘3，此时y的系数变为6和-6，相加即可消去y，先求x再回代求y。
【解析】
(1) 将①+②，得：
$2x + y + x - y = 4 + (-1)$
合并同类项得：$3x = 3$
解得：$x = 1$
把$x=1$代入②，得：$1 - y = -1$
解得：$y = 2$
(2) 给①×2，得：$2x + 6y = -2$ ③
给②×3，得：$9x - 6y = 24$ ④
将③+④，得：$2x + 6y + 9x - 6y = -2 + 24$
合并同类项得：$11x = 22$
解得：$x = 2$
把$x=2$代入①，得：$2 + 3y = -1$
解得：$y = -1$
【答案】
(1)$\begin{cases}x=1, \\ y=2\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x=2, \\ y=-1\end{cases}$
【知识点】
加减消元法，一元一次方程解法，二元一次方程组的解
【点评】
本题是加减消元法解二元一次方程组的基础题型，解题关键是观察未知数的系数特征，选择合适的消元方向，对于不能直接消元的方程组，要先通过等式变形统一某一未知数的系数再消元，熟练掌握消元技巧能有效提升解方程组的准确率和效率。
【难度系数】
0.8
用加减法解二元一次方程组的核心是通过等式的性质，将两个方程中同一个未知数的系数转化为相等或互为相反数，再通过相加或相减消去该未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程求解，最后将求得的未知数回代到原方程，求出另一个未知数的值。
(1)观察方程组发现y的系数分别为1和-1，互为相反数，可直接将两个方程相加消去y，先求x的值，再代入求y；
(2)观察方程组，x和y的系数既不相等也不互为相反数，先找y的系数3和2的最小公倍数6，给①乘2、②乘3，此时y的系数变为6和-6，相加即可消去y，先求x再回代求y。
【解析】
(1) 将①+②，得：
$2x + y + x - y = 4 + (-1)$
合并同类项得：$3x = 3$
解得：$x = 1$
把$x=1$代入②，得：$1 - y = -1$
解得：$y = 2$
(2) 给①×2，得：$2x + 6y = -2$ ③
给②×3，得：$9x - 6y = 24$ ④
将③+④，得：$2x + 6y + 9x - 6y = -2 + 24$
合并同类项得：$11x = 22$
解得：$x = 2$
把$x=2$代入①，得：$2 + 3y = -1$
解得：$y = -1$
【答案】
(1)$\begin{cases}x=1, \\ y=2\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x=2, \\ y=-1\end{cases}$
【知识点】
加减消元法，一元一次方程解法，二元一次方程组的解
【点评】
本题是加减消元法解二元一次方程组的基础题型，解题关键是观察未知数的系数特征，选择合适的消元方向，对于不能直接消元的方程组，要先通过等式变形统一某一未知数的系数再消元，熟练掌握消元技巧能有效提升解方程组的准确率和效率。
【难度系数】
0.8
15.已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax - by = 4, \\ax + by = 6\end{cases}$与方程组$\begin{cases}3x - y = 5, \\4x - 7y = 1\end{cases}$的解相同，求$a,b$的值。
答案
15.$a=\dfrac{5}{2},b=1$
解析
【分析】
已知两个方程组的解相同，说明x、y的取值同时满足四个方程。我们可以先求解不含参数a、b的第二个方程组，得到x、y的具体值，再将x、y代入含有a、b的第一个方程组，得到关于a、b的二元一次方程组，求解该方程组即可得到a、b的值。
【解析】
1. 先求解不含参数的方程组$\begin{cases}3x - y = 5 \quad ① \\4x - 7y = 1 \quad ②\end{cases}$
由①式变形得：$y = 3x - 5 \quad ③$
将③代入②式得：$4x - 7(3x - 5) = 1$
展开计算：$4x - 21x + 35 = 1$
合并同类项得：$-17x = -34$
解得：$x = 2$
将$x=2$代入③式得：$y = 3×2 - 5 = 1$
即第二个方程组的解为$\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$
2. 因为两个方程组解相同，将$\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$代入第一个方程组$\begin{cases}ax - by = 4 \\ax + by = 6\end{cases}$，可得：
$\begin{cases}2a - b = 4 \quad ④ \\2a + b = 6 \quad ⑤\end{cases}$
将④+⑤消去b：$4a = 10$，解得$a = \dfrac{5}{2}$
将$a=\dfrac{5}{2}$代入④式：$2×\dfrac{5}{2} - b = 4$，即$5 - b = 4$，解得$b=1$
【答案】
$a=\dfrac{5}{2},b=1$
【知识点】
同解方程组的性质，解二元一次方程组
【点评】
本题是二元一次方程组的经典常考题型，核心是抓住“解相同”的特征，先求解无参数的方程组得到未知数的取值，再代入含参数的方程组即可求出参数值，解题过程需要熟练运用代入消元法和加减消元法。
【难度系数】
0.7
已知两个方程组的解相同，说明x、y的取值同时满足四个方程。我们可以先求解不含参数a、b的第二个方程组，得到x、y的具体值，再将x、y代入含有a、b的第一个方程组，得到关于a、b的二元一次方程组，求解该方程组即可得到a、b的值。
【解析】
1. 先求解不含参数的方程组$\begin{cases}3x - y = 5 \quad ① \\4x - 7y = 1 \quad ②\end{cases}$
由①式变形得：$y = 3x - 5 \quad ③$
将③代入②式得：$4x - 7(3x - 5) = 1$
展开计算：$4x - 21x + 35 = 1$
合并同类项得：$-17x = -34$
解得：$x = 2$
将$x=2$代入③式得：$y = 3×2 - 5 = 1$
即第二个方程组的解为$\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$
2. 因为两个方程组解相同，将$\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$代入第一个方程组$\begin{cases}ax - by = 4 \\ax + by = 6\end{cases}$，可得：
$\begin{cases}2a - b = 4 \quad ④ \\2a + b = 6 \quad ⑤\end{cases}$
将④+⑤消去b：$4a = 10$，解得$a = \dfrac{5}{2}$
将$a=\dfrac{5}{2}$代入④式：$2×\dfrac{5}{2} - b = 4$，即$5 - b = 4$，解得$b=1$
【答案】
$a=\dfrac{5}{2},b=1$
【知识点】
同解方程组的性质，解二元一次方程组
【点评】
本题是二元一次方程组的经典常考题型，核心是抓住“解相同”的特征，先求解无参数的方程组得到未知数的取值，再代入含参数的方程组即可求出参数值，解题过程需要熟练运用代入消元法和加减消元法。
【难度系数】
0.7
16.下面是小林同学解方程组$\begin{cases}2x+y=5, \\x-3y=6\end{cases}$的过程,请认真阅读并完成相应任务.
解:$\begin{cases}2x+y=5,① \\x-3y=6.②\end{cases}$
由①,得$y=5-2x$.③ 第一步
把③代入②,得$x-3(5-2x)=6$.第二步
整理,得$x-15-6x=6$.第三步
解得$-5x=21$,即$x=-\dfrac{21}{5}$.第四步
把$x=-\dfrac{21}{5}$代入③,得$y=\dfrac{67}{5}$.
则方程组的解为$\begin{cases}x=-\dfrac{21}{5}, \\y=\dfrac{67}{5}.\end{cases}$第五步
(1)以上求解过程中,小林用了法(填“代入”或“加减”);第步开始出现错误,这一步错误的原因是什么?
(2)该方程组的正确解是什么?
解:$\begin{cases}2x+y=5,① \\x-3y=6.②\end{cases}$
由①,得$y=5-2x$.③ 第一步
把③代入②,得$x-3(5-2x)=6$.第二步
整理,得$x-15-6x=6$.第三步
解得$-5x=21$,即$x=-\dfrac{21}{5}$.第四步
把$x=-\dfrac{21}{5}$代入③,得$y=\dfrac{67}{5}$.
则方程组的解为$\begin{cases}x=-\dfrac{21}{5}, \\y=\dfrac{67}{5}.\end{cases}$第五步
(1)以上求解过程中,小林用了法(填“代入”或“加减”);第步开始出现错误,这一步错误的原因是什么?
(2)该方程组的正确解是什么?
答案
16.(1)代入 三 不符合去括号法则.
(2)$\begin{cases}x=3, \\ y=-1\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x=3, \\ y=-1\end{cases}$
解析
【分析】
(1)判断消元方法：解题过程中将方程①变形为用含x的代数式表示y，再代入方程②消去y，属于代入消元法。逐步骤核查计算：第二步代入后式子为$x-3(5-2x)=6$，根据去括号法则，括号前是负号时，括号内每一项都要变号，$-3×(-2x)$应为$+6x$，但小林第三步计算时写成了$-6x$，因此第三步开始出错，错误原因是不符合去括号法则。
(2)修正第三步的计算错误，按照代入消元法的正确步骤重新计算，即可求出方程组的正确解。
【解析】
(1)观察解题过程，小林将一个方程变形后代入另一个方程消元，使用的是代入法。
检查计算步骤：第二步$x-3(5-2x)=6$去括号时，$-3$乘括号内的$-2x$应得$+6x$，但小林第三步整理为$x-15-6x=6$，符号出错，因此第三步开始出现错误，错误原因是去括号时未遵循去括号法则，括号前为负号时，括号内第二项未变号。
(2)重新解方程组：
$\begin{cases}2x+y=5,① \\x-3y=6.②\end{cases}$
由①得：$y=5-2x$ ③
把③代入②得：$x-3(5-2x)=6$
去括号得：$x-15+6x=6$
移项、合并同类项得：$7x=21$
解得：$x=3$
把$x=3$代入③得：$y=5-2×3=-1$
【答案】
(1)代入；三；不符合去括号法则
(2)$\begin{cases}x=3, \\ y=-1\end{cases}$
【知识点】
代入消元法；去括号法则；二元一次方程组的解
【点评】
本题考查二元一次方程组的解法，重点是代入消元法的步骤和去括号的符号规则，易错点是去括号时忽略符号变化，同学们计算时要注意每一步的运算规则，避免低级错误。
【难度系数】
0.8
(1)判断消元方法：解题过程中将方程①变形为用含x的代数式表示y，再代入方程②消去y，属于代入消元法。逐步骤核查计算：第二步代入后式子为$x-3(5-2x)=6$，根据去括号法则，括号前是负号时，括号内每一项都要变号，$-3×(-2x)$应为$+6x$，但小林第三步计算时写成了$-6x$，因此第三步开始出错，错误原因是不符合去括号法则。
(2)修正第三步的计算错误，按照代入消元法的正确步骤重新计算，即可求出方程组的正确解。
【解析】
(1)观察解题过程，小林将一个方程变形后代入另一个方程消元，使用的是代入法。
检查计算步骤：第二步$x-3(5-2x)=6$去括号时，$-3$乘括号内的$-2x$应得$+6x$，但小林第三步整理为$x-15-6x=6$，符号出错，因此第三步开始出现错误，错误原因是去括号时未遵循去括号法则，括号前为负号时，括号内第二项未变号。
(2)重新解方程组：
$\begin{cases}2x+y=5,① \\x-3y=6.②\end{cases}$
由①得：$y=5-2x$ ③
把③代入②得：$x-3(5-2x)=6$
去括号得：$x-15+6x=6$
移项、合并同类项得：$7x=21$
解得：$x=3$
把$x=3$代入③得：$y=5-2×3=-1$
【答案】
(1)代入；三；不符合去括号法则
(2)$\begin{cases}x=3, \\ y=-1\end{cases}$
【知识点】
代入消元法；去括号法则；二元一次方程组的解
【点评】
本题考查二元一次方程组的解法，重点是代入消元法的步骤和去括号的符号规则，易错点是去括号时忽略符号变化，同学们计算时要注意每一步的运算规则，避免低级错误。
【难度系数】
0.8
