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10.已知方程组$\begin{cases}5x+y=3, \\ax+5y=4\end{cases}$和$\begin{cases}x-2y=5, \\5x+by=1\end{cases}$有相同的解，则$a,b$的值为（ ）
A.$\begin{cases}a=1, \\b=2\end{cases}$
B.$\begin{cases}a=-4, \\b=-6\end{cases}$
C.$\begin{cases}a=-6, \\b=2\end{cases}$
D.$\begin{cases}a=14, \\b=2\end{cases}$
A.$\begin{cases}a=1, \\b=2\end{cases}$
B.$\begin{cases}a=-4, \\b=-6\end{cases}$
C.$\begin{cases}a=-6, \\b=2\end{cases}$
D.$\begin{cases}a=14, \\b=2\end{cases}$
答案
10.D
解析
【分析】
两个方程组有相同的解，说明这个解同时满足四个方程。我们可以先把不含参数a、b的两个方程联立，组成新的二元一次方程组，求出x、y的公共解，再把x、y的值代入含有a、b的方程，就能分别求出a和b的值，进而选出正确选项。
【解析】
因为两个方程组有相同的解，所以先联立不含参数的两个方程：
$\begin{cases}5x+y=3&① \\x-2y=5&② \end{cases}$
给①两边同时乘2，得：$10x+2y=6$ ③
③+②消去y，可得：
$10x+2y+x-2y=6+5$
$11x=11$，解得$x=1$
把$x=1$代入①，得：$5×1+y=3$，解得$y=-2$
因此两个方程组的公共解为$\begin{cases}x=1 \\y=-2 \end{cases}$
将$\begin{cases}x=1 \\y=-2 \end{cases}$代入$ax+5y=4$，得：
$a+5×(-2)=4$
$a-10=4$，解得$a=14$
将$\begin{cases}x=1 \\y=-2 \end{cases}$代入$5x+by=1$，得：
$5+b×(-2)=1$
$-2b=-4$，解得$b=2$
综上$\begin{cases}a=14 \\b=2 \end{cases}$
【答案】
D
【知识点】
同解方程组、二元一次方程组的解法、代入求参数
【点评】
本题的核心是理解“同解”的含义，即公共解满足所有方程，解题时先求解不含参数的方程组得到公共解，再代入含参数的方程求参数值，是二元一次方程组章节的典型常考题，掌握该解题思路即可快速求解。
【难度系数】
0.7
两个方程组有相同的解，说明这个解同时满足四个方程。我们可以先把不含参数a、b的两个方程联立，组成新的二元一次方程组，求出x、y的公共解，再把x、y的值代入含有a、b的方程，就能分别求出a和b的值，进而选出正确选项。
【解析】
因为两个方程组有相同的解，所以先联立不含参数的两个方程：
$\begin{cases}5x+y=3&① \\x-2y=5&② \end{cases}$
给①两边同时乘2，得：$10x+2y=6$ ③
③+②消去y，可得：
$10x+2y+x-2y=6+5$
$11x=11$，解得$x=1$
把$x=1$代入①，得：$5×1+y=3$，解得$y=-2$
因此两个方程组的公共解为$\begin{cases}x=1 \\y=-2 \end{cases}$
将$\begin{cases}x=1 \\y=-2 \end{cases}$代入$ax+5y=4$，得：
$a+5×(-2)=4$
$a-10=4$，解得$a=14$
将$\begin{cases}x=1 \\y=-2 \end{cases}$代入$5x+by=1$，得：
$5+b×(-2)=1$
$-2b=-4$，解得$b=2$
综上$\begin{cases}a=14 \\b=2 \end{cases}$
【答案】
D
【知识点】
同解方程组、二元一次方程组的解法、代入求参数
【点评】
本题的核心是理解“同解”的含义，即公共解满足所有方程，解题时先求解不含参数的方程组得到公共解，再代入含参数的方程求参数值，是二元一次方程组章节的典型常考题，掌握该解题思路即可快速求解。
【难度系数】
0.7
11. 如果一个单项式与$-3ab$的积为$-\frac{3}{4}a^2bc$，那么这个单项式为（
A.$\frac{1}{4}a^2c$
B.$\frac{1}{4}ac$
C.$\frac{9}{4}a^2c$
D.$\frac{9}{4}ac$
B
）A.$\frac{1}{4}a^2c$
B.$\frac{1}{4}ac$
C.$\frac{9}{4}a^2c$
D.$\frac{9}{4}ac$
答案
11.B
解析
【分析】
已知两个单项式的乘积和其中一个单项式，求另一个单项式，可利用乘除互逆关系求解，即所求单项式=积÷已知单项式。再按照单项式除以单项式的运算法则分步计算即可：先算系数的商，再算同底数幂的商，最后保留仅在被除式中出现的字母。
【解析】
根据题意，所求单项式为：
$(-\frac{3}{4}a^2bc) ÷ (-3ab)$
1. 计算系数部分：负负得正，$(-\frac{3}{4})÷(-3)=\frac{3}{4}×\frac{1}{3}=\frac{1}{4}$
2. 计算同底数幂部分：
$a^2÷ a=a^{2-1}=a$，$b÷ b=b^{1-1}=1$
3. 被除式中单独含有的字母$c$，直接作为商的因式
将各部分结果组合得：$\frac{1}{4}ac$
【答案】
B
【知识点】
单项式除以单项式、同底数幂的除法、乘除互逆关系
【点评】
本题属于整式运算的基础题，核心考查单项式除法的运算法则，解题时需注意系数的符号运算和同底数幂的指数变化规律，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
已知两个单项式的乘积和其中一个单项式，求另一个单项式，可利用乘除互逆关系求解，即所求单项式=积÷已知单项式。再按照单项式除以单项式的运算法则分步计算即可：先算系数的商，再算同底数幂的商，最后保留仅在被除式中出现的字母。
【解析】
根据题意，所求单项式为：
$(-\frac{3}{4}a^2bc) ÷ (-3ab)$
1. 计算系数部分：负负得正，$(-\frac{3}{4})÷(-3)=\frac{3}{4}×\frac{1}{3}=\frac{1}{4}$
2. 计算同底数幂部分：
$a^2÷ a=a^{2-1}=a$，$b÷ b=b^{1-1}=1$
3. 被除式中单独含有的字母$c$，直接作为商的因式
将各部分结果组合得：$\frac{1}{4}ac$
【答案】
B
【知识点】
单项式除以单项式、同底数幂的除法、乘除互逆关系
【点评】
本题属于整式运算的基础题，核心考查单项式除法的运算法则，解题时需注意系数的符号运算和同底数幂的指数变化规律，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
12.有一个两位数，个位上的数比十位上的数大3，且这个两位数介于30和50之间，则这个两位数是
36 或 47
。答案
12.36 或 47
解析
【分析】
解题时先设十位上的数字为未知数，根据“个位上的数比十位上的数大3”表示出个位数字，再结合“两位数介于30和50之间”的范围条件，确定十位数字的取值范围，结合数位上的数字是正整数的隐含要求，筛选出十位数字的可能取值，最后代入计算得到对应的两位数即可。
【解析】
解：设这个两位数十位上的数字为$x$，则个位上的数字为$x+3$。
由这个两位数介于30和50之间，可得不等式：
$30 ＜ 10x + (x+3) ＜ 50$
化简得：$27 ＜ 11x ＜ 47$
解得：$\frac{27}{11} ＜ x ＜ \frac{47}{11}$，即约$2.45 ＜ x ＜ 4.27$
因为$x$是十位上的正整数，所以$x=3$或$x=4$。
① 当$x=3$时，个位数字为$3+3=6$，这个两位数是$10×3+6=36$；
② 当$x=4$时，个位数字为$4+3=7$，这个两位数是$10×4+7=47$。
【答案】
36或47
【知识点】
两位数的表示，一元一次不等式的应用，整数解求解
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是掌握两位数的组成规则，结合取值范围筛选出符合要求的整数解，做题时注意不要遗漏可能的取值。
【难度系数】
0.7
解题时先设十位上的数字为未知数，根据“个位上的数比十位上的数大3”表示出个位数字，再结合“两位数介于30和50之间”的范围条件，确定十位数字的取值范围，结合数位上的数字是正整数的隐含要求，筛选出十位数字的可能取值，最后代入计算得到对应的两位数即可。
【解析】
解：设这个两位数十位上的数字为$x$，则个位上的数字为$x+3$。
由这个两位数介于30和50之间，可得不等式：
$30 ＜ 10x + (x+3) ＜ 50$
化简得：$27 ＜ 11x ＜ 47$
解得：$\frac{27}{11} ＜ x ＜ \frac{47}{11}$，即约$2.45 ＜ x ＜ 4.27$
因为$x$是十位上的正整数，所以$x=3$或$x=4$。
① 当$x=3$时，个位数字为$3+3=6$，这个两位数是$10×3+6=36$；
② 当$x=4$时，个位数字为$4+3=7$，这个两位数是$10×4+7=47$。
【答案】
36或47
【知识点】
两位数的表示，一元一次不等式的应用，整数解求解
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是掌握两位数的组成规则，结合取值范围筛选出符合要求的整数解，做题时注意不要遗漏可能的取值。
【难度系数】
0.7
13. 如图2，$∠ DAE = ∠ EAF$，$∠ BAD = ∠ CAF$，则下列结论：① AD平分$∠ BAF$；②AF平分$∠ DAC$；③AE平分$∠ DAF$；④AF平分$∠ EAC$；⑤AE平分$∠ BAC$. 其中正确的结论有
③⑤
.（只填序号）答案
13.③⑤
解析
【分析】
要判断各结论是否正确，需依据角平分线的定义：若一条射线将一个角分成两个大小相等的角，该射线就是这个角的角平分线。解题时先梳理已知的等角关系，再结合角的和差运算推导新的等角关系，逐一验证每个结论是否符合角平分线的判定要求即可。
【解析】
1. 验证结论③：已知$∠ DAE = ∠ EAF$，根据角平分线的定义，可得$AE$平分$∠ DAF$，故③正确。
2. 验证结论⑤：已知$∠ BAD = ∠ CAF$，又因为$∠ DAE = ∠ EAF$，将两个等式左右分别相加，得$∠ BAD + ∠ DAE = ∠ CAF + ∠ EAF$，即$∠ BAE = ∠ CAE$，根据角平分线的定义，可得$AE$平分$∠ BAC$，故⑤正确。
3. 验证其余结论：
①要$AD$平分$∠ BAF$，需满足$∠ BAD = ∠ DAF$，题中无相关等量关系，无法推导，故①错误；
②要$AF$平分$∠ DAC$，需满足$∠ DAF = ∠ CAF$，题中仅知$∠ BAD = ∠ CAF$，无法推导$∠ DAF = ∠ CAF$，故②错误；
④要$AF$平分$∠ EAC$，需满足$∠ EAF = ∠ CAF$，题中无相关等量关系，无法推导，故④错误。
综上，正确的结论是③⑤。
【答案】
③⑤
【知识点】
角平分线的定义；角的和差运算
【点评】
本题属于基础类几何题，核心考查角平分线的判定，解题的关键是灵活运用已知的等角关系，结合角的和差运算推导新的等角，再逐一验证结论即可。
【难度系数】
0.7
要判断各结论是否正确，需依据角平分线的定义：若一条射线将一个角分成两个大小相等的角，该射线就是这个角的角平分线。解题时先梳理已知的等角关系，再结合角的和差运算推导新的等角关系，逐一验证每个结论是否符合角平分线的判定要求即可。
【解析】
1. 验证结论③：已知$∠ DAE = ∠ EAF$，根据角平分线的定义，可得$AE$平分$∠ DAF$，故③正确。
2. 验证结论⑤：已知$∠ BAD = ∠ CAF$，又因为$∠ DAE = ∠ EAF$，将两个等式左右分别相加，得$∠ BAD + ∠ DAE = ∠ CAF + ∠ EAF$，即$∠ BAE = ∠ CAE$，根据角平分线的定义，可得$AE$平分$∠ BAC$，故⑤正确。
3. 验证其余结论：
①要$AD$平分$∠ BAF$，需满足$∠ BAD = ∠ DAF$，题中无相关等量关系，无法推导，故①错误；
②要$AF$平分$∠ DAC$，需满足$∠ DAF = ∠ CAF$，题中仅知$∠ BAD = ∠ CAF$，无法推导$∠ DAF = ∠ CAF$，故②错误；
④要$AF$平分$∠ EAC$，需满足$∠ EAF = ∠ CAF$，题中无相关等量关系，无法推导，故④错误。
综上，正确的结论是③⑤。
【答案】
③⑤
【知识点】
角平分线的定义；角的和差运算
【点评】
本题属于基础类几何题，核心考查角平分线的判定，解题的关键是灵活运用已知的等角关系，结合角的和差运算推导新的等角，再逐一验证结论即可。
【难度系数】
0.7
14.在图3中利用无刻度直尺按照要求完成作图并回答问题.
(1)过点A作射线OB的垂线,垂足为点C;
(2)过点A作射线OA的垂线,交射线OB于点D;
(3)比较AC和OD的大小,并说明理由.
(1)过点A作射线OB的垂线,垂足为点C;
(2)过点A作射线OA的垂线,交射线OB于点D;
(3)比较AC和OD的大小,并说明理由.
答案
14.(1)略 (2)略 (3)$AC＜OD$,理由略.
解析
【分析】
（1）作OB的垂线时，先观察到射线OB为水平方向，水平直线的垂线为竖直方向，因此过点A作竖直向下的直线，与OB的交点即为垂足C；
（2）作OA的垂线时，先观察OA的网格走向，根据网格中垂线的格点特征，确定垂直于OA的直线走向，过点A沿该走向作直线，与OB的交点即为点D；
（3）比较线段大小时，回忆垂线段最短的性质：AC是点A到OB的垂线段，可得AC＜OA；OA是点O到AD的垂线段，可得OA＜OD，递推即可得到AC和OD的大小关系。
【解析】
（1）过点A作竖直向下的直线，交射线OB于点C，AC即为所求垂线；
（2）结合网格格点特征，过点A作直线垂直于OA，交射线OB于点D，AD即为所求垂线；
（3）根据垂线段最短的性质：
① 点A到直线OB的所有连线中，垂线段AC最短，因此$AC ＜ OA$；
② 点O到直线AD的所有连线中，垂线段OA最短，因此$OA ＜ OD$；
结合两个不等式可得$AC ＜ OA ＜ OD$，即$AC ＜ OD$。
【答案】
(1) 略
(2) 略
(3) $AC＜OD$，理由略
【知识点】
垂线的作法；垂线段的性质；线段大小比较
【点评】
本题结合网格考查垂线的作图和线段大小的比较，需要学生利用网格特征快速确定垂线方向，同时熟练运用垂线段最短的性质推导线段的大小关系，兼顾了动手操作能力和逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.7
（1）作OB的垂线时，先观察到射线OB为水平方向，水平直线的垂线为竖直方向，因此过点A作竖直向下的直线，与OB的交点即为垂足C；
（2）作OA的垂线时，先观察OA的网格走向，根据网格中垂线的格点特征，确定垂直于OA的直线走向，过点A沿该走向作直线，与OB的交点即为点D；
（3）比较线段大小时，回忆垂线段最短的性质：AC是点A到OB的垂线段，可得AC＜OA；OA是点O到AD的垂线段，可得OA＜OD，递推即可得到AC和OD的大小关系。
【解析】
（1）过点A作竖直向下的直线，交射线OB于点C，AC即为所求垂线；
（2）结合网格格点特征，过点A作直线垂直于OA，交射线OB于点D，AD即为所求垂线；
（3）根据垂线段最短的性质：
① 点A到直线OB的所有连线中，垂线段AC最短，因此$AC ＜ OA$；
② 点O到直线AD的所有连线中，垂线段OA最短，因此$OA ＜ OD$；
结合两个不等式可得$AC ＜ OA ＜ OD$，即$AC ＜ OD$。
【答案】
(1) 略
(2) 略
(3) $AC＜OD$，理由略
【知识点】
垂线的作法；垂线段的性质；线段大小比较
【点评】
本题结合网格考查垂线的作图和线段大小的比较，需要学生利用网格特征快速确定垂线方向，同时熟练运用垂线段最短的性质推导线段的大小关系，兼顾了动手操作能力和逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.7
15.某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种课外书.购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需175元.
(1)求甲、乙两种书的单价；
(2)学校决定购买甲、乙两种书共60本，且两种书的总费用不超过2500元，那么该校最多可以购买多少本乙种书？
(1)求甲、乙两种书的单价；
(2)学校决定购买甲、乙两种书共60本，且两种书的总费用不超过2500元，那么该校最多可以购买多少本乙种书？
答案
15.(1)甲种书每本25元,乙种书每本50元.
(2)40本
(2)40本
解析
【分析】
(1) 本题有甲、乙两种书的单价两个未知量，题目给出了两组购买费用的等量关系，我们可以通过设两个未知数，列二元一次方程组求解。先设甲单价为x元、乙单价为y元，对应“2本甲+1本乙共100元”“3本甲+2本乙共175元”两个条件列方程，组成方程组计算即可得到两种书的单价。
(2) 求最多可购买乙种书的数量属于最值问题，我们可以设购买乙种书a本，则甲种书数量为(60-a)本，根据“总费用不超过2500元”的限制列一元一次不等式，求解后取最大正整数解即可，因为书的数量必须为正整数。
【解析】
(1) 设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x + y = 100&① \\3x + 2y = 175&②\end{cases}$
将①×2得：$4x + 2y = 200$ ③
用③-②得：$(4x + 2y)-(3x + 2y)=200-175$，解得$x=25$
把$x=25$代入①得：$2×25 + y=100$，解得$y=50$
(2) 设购买乙种书a本，则购买甲种书$(60-a)$本，根据总费用不超过2500元列不等式：
$25(60-a)+50a ≤2500$
展开得：$1500 -25a +50a ≤2500$
合并同类项得：$1500 +25a ≤2500$
移项计算得：$25a ≤1000$，解得$a ≤40$
因为a为书的购买数量，是正整数，所以a的最大值为40。
【答案】
(1)甲种书每本25元,乙种书每本50元；(2)40本
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题是典型的采购类实际应用题，解题核心是准确提取题干中的等量关系和不等关系，分别列方程组、不等式求解，同时要注意实际问题中未知数的取值要符合现实意义。
【难度系数】
0.7
(1) 本题有甲、乙两种书的单价两个未知量，题目给出了两组购买费用的等量关系，我们可以通过设两个未知数，列二元一次方程组求解。先设甲单价为x元、乙单价为y元，对应“2本甲+1本乙共100元”“3本甲+2本乙共175元”两个条件列方程，组成方程组计算即可得到两种书的单价。
(2) 求最多可购买乙种书的数量属于最值问题，我们可以设购买乙种书a本，则甲种书数量为(60-a)本，根据“总费用不超过2500元”的限制列一元一次不等式，求解后取最大正整数解即可，因为书的数量必须为正整数。
【解析】
(1) 设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x + y = 100&① \\3x + 2y = 175&②\end{cases}$
将①×2得：$4x + 2y = 200$ ③
用③-②得：$(4x + 2y)-(3x + 2y)=200-175$，解得$x=25$
把$x=25$代入①得：$2×25 + y=100$，解得$y=50$
(2) 设购买乙种书a本，则购买甲种书$(60-a)$本，根据总费用不超过2500元列不等式：
$25(60-a)+50a ≤2500$
展开得：$1500 -25a +50a ≤2500$
合并同类项得：$1500 +25a ≤2500$
移项计算得：$25a ≤1000$，解得$a ≤40$
因为a为书的购买数量，是正整数，所以a的最大值为40。
【答案】
(1)甲种书每本25元,乙种书每本50元；(2)40本
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题是典型的采购类实际应用题，解题核心是准确提取题干中的等量关系和不等关系，分别列方程组、不等式求解，同时要注意实际问题中未知数的取值要符合现实意义。
【难度系数】
0.7
