11 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\sin A=\frac{3}{5}$，它的周长为36，求$△ ABC$的面积。

11 在Rt△ABC中,∠C=90°,因为$\sin A=\frac{3}{5}$,所以$\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$。设BC=3x,则AB=5x,由勾股定理,得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=4x$,所以3x+4x+5x=36,解得x=3,所以AC=4x=12,BC=3x=9,所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AC=\frac{1}{2}×12×9=54$。

【分析】
解题时首先结合直角三角形中锐角正弦的定义，明确∠A的对边与斜边的比例关系，采用设参数的方法将两条边用含相同未知数的代数式表示；再利用勾股定理求出第三条直角边的代数式；接着根据三角形周长为36的条件列方程，求出参数的值；最后代入直角三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
由锐角正弦的定义可知$\sin A=\frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$，
设$BC=3x$，则$AB=5x$，
根据勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(5x)^2-(3x)^2}=4x$，
已知三角形周长为36，因此$BC+AC+AB=3x+4x+5x=36$，
解得$x=3$，
所以$AC=4×3=12$，$BC=3×3=9$，
则$△ ABC$的面积$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AC=\frac{1}{2}×9×12=54$。
【答案】
54
【知识点】
锐角正弦的定义；勾股定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题是直角三角形与锐角三角函数结合的基础题型，解题的核心是利用三角函数的比例关系设参数表示各边长，再结合周长条件求解参数，掌握基本定义和公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7

12 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD ⊥ AB$，垂足为点$D$，且$CD=3$，$AD=4$，求$\cos B$的值。

12 因为CD⊥AB,所以∠ADC=90°。在Rt△ADC中,由勾股定理,得$AC=\sqrt{CD^2+AD^2}=5$,所以$\sin A=\frac{CD}{AC}=\frac{3}{5}$。在Rt△ABC中,∠ACB=90°,所以$\cos B=\frac{BC}{AB}=\sin A=\frac{3}{5}$。

【分析】
要求$\cos B$的值，可先利用直角三角形两锐角互余的性质，得到$∠ B+∠ A=90°$，根据互余两角的三角函数关系可知$\cos B=\sin A$，因此只需先求出$\sin A$的值即可。已知$CD⊥ AB$，且给出$CD$、$AD$的长度，可先在$\mathrm{Rt}△ ADC$中用勾股定理求出$AC$的长度，再结合正弦的定义求出$\sin A$，即可得到$\cos B$的值。
【解析】
解：$\because CD⊥ AB$，$\therefore ∠ ADC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$CD=3$，$AD=4$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{CD^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
$\therefore \sin A=\frac{CD}{AC}=\frac{3}{5}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ A+∠ B=90°$，
$\therefore \cos B=\sin A=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
勾股定理、锐角三角函数定义、互余角的三角函数关系
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础计算题，解题核心是通过互余两角的三角函数关系将待求的$\cos B$转化为更容易计算的$\sin A$，简化计算过程，也可通过证明三角形相似求解，方法灵活，能较好考查学生对直角三角形性质和三角函数的掌握程度。
【难度系数】
0.7

13 已知直线$y=\frac{3}{4}x +6$与x轴、y轴分别交于点A和B，求$\sin∠ BAO$的值。

13 由题意可得A(-8,0),B(0,6),所以OA=8,OB=6。在Rt△OAB中,∠AOB=90°,所以$AB=\sqrt{AO^2+OB^2}=10$,$\sin∠BAO=\frac{BO}{AB}=\frac{3}{5}$。

【分析】
要计算$\sin∠BAO$的值，需先明确锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。首先我们可以找到包含$∠BAO$的直角三角形：已知直线与x轴、y轴分别交于A、B，易得$△ AOB$是直角三角形（$∠ AOB=90°$）。解题按三步进行：第一步，根据坐标轴上点的坐标特征，代入直线解析式求出A、B两点的坐标，得到直角边OA、OB的长度；第二步，利用勾股定理计算斜边AB的长度；第三步，根据正弦定义代入对边和斜边的长度，求出$\sin∠BAO$的值。
【解析】
当直线$y=\frac{3}{4}x +6$与x轴交于点A时，$y=0$，代入解析式得：
$0=\frac{3}{4}x +6$，解得$x=-8$，即$A(-8,0)$，因此$OA=8$；
当直线与y轴交于点B时，$x=0$，代入解析式得$y=6$，即$B(0,6)$，因此$OB=6$。
在$Rt△ OAB$中，$∠ AOB=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AO^2+OB^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$。
根据锐角正弦的定义，$\sin∠BAO=\frac{∠BAO的对边}{斜边}=\frac{BO}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
一次函数交点坐标求解，勾股定理，锐角正弦的定义
【点评】
本题是一次函数与锐角三角函数结合的基础题型，解题的关键是准确求出直线与坐标轴的交点坐标，结合直角三角形的性质和三角函数的定义计算，是各类考试中常见的基础考点。
【难度系数】
0.8

14 如图,在$△ ABC$中,$AB=8$,$BC=10$,$\cos C=\dfrac{3}{4}$,$∠ ABC=2∠ C$,$BD$平分$∠ ABC$交$AC$边于点$D$,点$E$是$BC$边上的一个动点(不与$B$、$C$重合),$F$是$AC$边上一点,且$∠ AEF=∠ ABC$,$AE$与$BD$相交于点$G$。
(1)设$BE=x$,$CF=y$,求$y$与$x$之间的函数表达式,并写出$x$的取值范围。
(2)当$△ AEF$是以$AE$为腰的等腰三角形时,求$BE$的长。

14 (1) 如图①,作FC的垂直平分线交BC于点M,交FC于点N,连接MF,则有NC=FN=$\frac{1}{2}FC=\frac{y}{2}$。在Rt△MNC中,$\cos C=\frac{NC}{MC}=\frac{3}{4}$,则$MC=\frac{2y}{3}$。因为MN垂直平分FC,所以MF=MC=$\frac{2y}{3}$,所以∠MFC=∠C,所以∠FME=∠MFC+∠C=2∠C。因为∠ABC=2∠C,所以∠ABC=∠FME。因为∠ABE=∠FME=∠AEF,所以∠BAE=∠FEM,所以△ABE∽△EMF,所以$\frac{AB}{EM}=\frac{BE}{MF}$,所以$AB·MF=BE·EM$。因为BE=x,BC=10,$MC=\frac{2y}{3}$,所以$EM=10-x-\frac{2y}{3}$。又因为AB=8,所以$8×\frac{2y}{3}=x(10-x-\frac{2y}{3})$,所以$y=\frac{30x-3x^2}{2x+16}(0＜x＜10)$。
(2) ① EA=EF,如图②。因为△ABE∽△EMF(已证),所以$\frac{BE}{MF}=\frac{AE}{EF}$。因为EA=EF,所以BE=MF。因为BE=x,$MF=\frac{2y}{3}$,所以$x=\frac{2y}{3}$,所以$y=\frac{3}{2}x$,所以$\frac{30x-3x^2}{2x+16}=\frac{3}{2}x$,整理得$x^2-x=0$,解得$x_1=0$(舍),$x_2=1$。
② AE=AF,过点F作FH⊥BC,垂足为点H,如图③。因为AE=AF,所以∠AEF=∠AFE。因为∠AEF=∠ABC=2∠C,所以∠AFE=2∠C。因为∠AFE=∠FEC+∠C,所以∠FEC=∠C,所以FE=FC。因为FH⊥EC,所以$EH=CH=\frac{1}{2}EC$。因为EC=10-x,所以$HC=\frac{10-x}{2}$。在Rt△FHC中,$\cos C=\frac{HC}{FC}=\frac{3}{4}$,所以4HC=3FC,所以$4×\frac{10-x}{2}=3y$,所以$y=\frac{20-2x}{3}$,所以$\frac{30x-3x^2}{2x+16}=\frac{20-2x}{3}$,整理得$5x^2-82x+320=0$,解得$x_1=6.4$,$x_2=10$(舍)。
综上所述,当△AEF是以AE为腰的等腰三角形时,BE的长为1或6.4。

【分析】
(1) 要求y与x的函数关系式，已知∠ABC=2∠C，∠AEF=∠ABC，可通过构造等腰三角形将2∠C转化为外角，得到相等的角，进而证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例建立等量关系，整理即可得到函数表达式，根据E不与B、C重合确定x的取值范围。
(2) △AEF以AE为腰的等腰三角形分两种情况：①EA=EF，结合(1)中的相似三角形对应边比例关系，得到BE与MF的等量关系，代入函数式解方程；②AE=AF，利用等腰三角形角的关系推导得到FE=FC，结合cosC的定义建立y与x的等量关系，代入函数式解方程，最后舍去不符合取值范围的解即可。
【解析】
(1) 如图①，作FC的垂直平分线交BC于点M，交FC于点N，连接MF，则$NC=FN=\frac{1}{2}FC=\frac{y}{2}$。
在Rt△MNC中，$\cos C=\frac{NC}{MC}=\frac{3}{4}$，代入$NC=\frac{y}{2}$，解得$MC=\frac{2y}{3}$。
∵MN垂直平分FC，
∴$MF=MC=\frac{2y}{3}$，
∴∠MFC=∠C，
∴∠FME=∠MFC+∠C=2∠C。
∵∠ABC=2∠C，
∴∠ABC=∠FME。
又
∵∠AEF=∠ABC，
∴∠ABE=∠FME=∠AEF，
∵∠AEC=∠ABE+∠BAE=∠AEF+∠FEM，
∴∠BAE=∠FEM，
∴△ABE∽△EMF，
∴$\frac{AB}{EM}=\frac{BE}{MF}$，即$AB·MF=BE·EM$。
∵BE=x，BC=10，$MC=\frac{2y}{3}$，
∴$EM=BC-BE-MC=10-x-\frac{2y}{3}$，又AB=8，
代入得$8×\frac{2y}{3}=x(10-x-\frac{2y}{3})$，整理得$y=\frac{30x-3x^2}{2x+16}$，
∵E不与B、C重合，
∴x的取值范围是$0＜x＜10$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当EA=EF时，如图②：
由(1)知△ABE∽△EMF，
∴$\frac{BE}{MF}=\frac{AE}{EF}$，
∵EA=EF，
∴BE=MF，
∵BE=x，$MF=\frac{2y}{3}$，
∴$x=\frac{2y}{3}$，即$y=\frac{3}{2}x$，
代入$y=\frac{30x-3x^2}{2x+16}$得$\frac{30x-3x^2}{2x+16}=\frac{3}{2}x$，
整理得$x^2-x=0$，解得$x_1=0$（不符合$0＜x＜10$，舍去），$x_2=1$。
② 当AE=AF时，过点F作FH⊥BC，垂足为点H，如图③：
∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∵∠AEF=∠ABC=2∠C，
∴∠AFE=2∠C，
又
∵∠AFE=∠FEC+∠C，
∴∠FEC=∠C，
∴FE=FC，
∵FH⊥EC，
∴$EH=CH=\frac{1}{2}EC$，
∵EC=10-x，
∴$HC=\frac{10-x}{2}$，
在Rt△FHC中，$\cos C=\frac{HC}{FC}=\frac{3}{4}$，
∴$4HC=3FC$，
代入得$4×\frac{10-x}{2}=3y$，整理得$y=\frac{20-2x}{3}$，
代入$y=\frac{30x-3x^2}{2x+16}$得$\frac{30x-3x^2}{2x+16}=\frac{20-2x}{3}$，
整理得$5x^2-82x+320=0$，解得$x_1=6.4$，$x_2=10$（不符合$0＜x＜10$，舍去）。
综上，当△AEF是以AE为腰的等腰三角形时，BE的长为1或6.4。
【答案】
(1) $y=\frac{30x-3x^2}{2x+16}(0＜x＜10)$；
(2) BE的长为1或6.4。

【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义
【点评】
本题综合了几何图形的角关系转化、相似三角形的应用、等腰三角形的分类讨论以及锐角三角函数的计算，解题的关键是合理构造辅助线转化角的关系，同时注意等腰三角形分类讨论时不要漏解，对综合运用几何知识建立方程求解的能力有一定要求。
【难度系数】
0.3