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12.「2026江苏淮安外国语学校月考，★☆」如图，在用配方法解一元二次方程$x^2+6x=40$时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是$(x+6)$、宽是$x$、面积是40的矩形割补成一个正方形，则$m$的值是
3
。答案
3
解析 $\because x^2+6x=40,\therefore x^2+6x+9=40+9,\therefore (x+3)^2=49,\therefore m=3$.
解析 $\because x^2+6x=40,\therefore x^2+6x+9=40+9,\therefore (x+3)^2=49,\therefore m=3$.
解析
【分析】
本题考查配方法的几何直观应用，解题思路如下：首先明确配方法的核心规则：对于二次项系数为1的一元二次方程$x^2+bx=c$，配方时需在方程两边加一次项系数一半的平方，将左侧凑为完全平方式。再结合拼图分析：原矩形面积为$x(x+6)=x^2+6x=40$，割补为正方形后，正方形边长为$x+m$，对应完全平方式$(x+m)^2$，对比原式一次项即可求出$m$，也可直接结合配方法的步骤直接推导$m$的值。
【解析】
已知待解方程为$x^2+6x=40$，
根据配方法步骤，二次项系数为1时，方程两边同时加一次项系数6的一半的平方，即$(\frac{6}{2})^2=9$，
可得：$x^2+6x+9=40+9$，
由完全平方公式整理左侧得：$(x+3)^2=49$。
结合拼图可知，割补后正方形的边长为$x+m$，与完全平方式的底数$x+3$对应，因此$m=3$。
【答案】
3
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题借助几何拼图直观呈现配方法的推导过程，既考查配方法的基本操作步骤，也能帮助学生理解完全平方公式的几何意义，属于基础题型，熟练掌握配方法的原理即可快速求解。
【难度系数】
0.85
本题考查配方法的几何直观应用，解题思路如下：首先明确配方法的核心规则：对于二次项系数为1的一元二次方程$x^2+bx=c$，配方时需在方程两边加一次项系数一半的平方，将左侧凑为完全平方式。再结合拼图分析：原矩形面积为$x(x+6)=x^2+6x=40$，割补为正方形后，正方形边长为$x+m$，对应完全平方式$(x+m)^2$，对比原式一次项即可求出$m$，也可直接结合配方法的步骤直接推导$m$的值。
【解析】
已知待解方程为$x^2+6x=40$，
根据配方法步骤，二次项系数为1时，方程两边同时加一次项系数6的一半的平方，即$(\frac{6}{2})^2=9$，
可得：$x^2+6x+9=40+9$，
由完全平方公式整理左侧得：$(x+3)^2=49$。
结合拼图可知，割补后正方形的边长为$x+m$，与完全平方式的底数$x+3$对应，因此$m=3$。
【答案】
3
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题借助几何拼图直观呈现配方法的推导过程，既考查配方法的基本操作步骤，也能帮助学生理解完全平方公式的几何意义，属于基础题型，熟练掌握配方法的原理即可快速求解。
【难度系数】
0.85
13.「2025江苏南京中考，★☆」设方程$x^2 + 2x -9=0$的正根介于整数$m$与$m+1$之间，则$m=$
2
。答案
2
解析 $x^2+2x-9=0$,移项得 $x^2+2x=9$,配方得 $x^2+2x+1=9+1$,即$(x+1)^2=10$,
$\therefore x+1=\pm\sqrt{10}$,解得 $x_1=\sqrt{10}-1,x_2=-\sqrt{10}-1$,
$\because 9＜10＜16,\therefore 3＜\sqrt{10}＜4,\therefore 2＜\sqrt{10}-1＜3$,则 $m=2$.
解析 $x^2+2x-9=0$,移项得 $x^2+2x=9$,配方得 $x^2+2x+1=9+1$,即$(x+1)^2=10$,
$\therefore x+1=\pm\sqrt{10}$,解得 $x_1=\sqrt{10}-1,x_2=-\sqrt{10}-1$,
$\because 9＜10＜16,\therefore 3＜\sqrt{10}＜4,\therefore 2＜\sqrt{10}-1＜3$,则 $m=2$.
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按三步逻辑思考：首先，用配方法求解给定的一元二次方程，得到根的表达式；其次，筛选出方程的正根，排除负根；最后，对正根中的无理数部分进行大小估算，确定正根所在的相邻整数区间，即可得到m的值，采用配方法解方程也贴合本节知识要求。
【解析】
解：对一元二次方程$x^2 + 2x -9=0$移项，得：
$x^2 + 2x =9$
配方，两边同时加1，得：
$x^2 + 2x +1 =9+1$，即$(x+1)^2=10$
开平方得：$x+1=\pm\sqrt{10}$
解得：$x_1=\sqrt{10}-1$，$x_2=-\sqrt{10}-1$
其中负根$x_2=-\sqrt{10}-1＜0$，不符合要求舍去，得正根为$x=\sqrt{10}-1$
由$9＜10＜16$，可得$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$
不等式两边同时减1，得$2＜\sqrt{10}-1＜3$
即正根介于整数2和3之间，因此$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
配方法解一元二次方程、无理数大小估算、不等式的性质
【点评】
本题结合一元二次方程求解与无理数估算两个考点，既考察配方法解方程的基础运算能力，也考察对无理数范围的估算能力，解题核心是准确求出正根表达式后完成合理估值。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以按三步逻辑思考：首先，用配方法求解给定的一元二次方程，得到根的表达式；其次，筛选出方程的正根，排除负根；最后，对正根中的无理数部分进行大小估算，确定正根所在的相邻整数区间，即可得到m的值，采用配方法解方程也贴合本节知识要求。
【解析】
解：对一元二次方程$x^2 + 2x -9=0$移项，得：
$x^2 + 2x =9$
配方，两边同时加1，得：
$x^2 + 2x +1 =9+1$，即$(x+1)^2=10$
开平方得：$x+1=\pm\sqrt{10}$
解得：$x_1=\sqrt{10}-1$，$x_2=-\sqrt{10}-1$
其中负根$x_2=-\sqrt{10}-1＜0$，不符合要求舍去，得正根为$x=\sqrt{10}-1$
由$9＜10＜16$，可得$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$
不等式两边同时减1，得$2＜\sqrt{10}-1＜3$
即正根介于整数2和3之间，因此$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
配方法解一元二次方程、无理数大小估算、不等式的性质
【点评】
本题结合一元二次方程求解与无理数估算两个考点，既考察配方法解方程的基础运算能力，也考察对无理数范围的估算能力，解题核心是准确求出正根表达式后完成合理估值。
【难度系数】
0.8
14.「2026江苏宜兴期中，★77」在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为$a☆b=a^2+b^2$，$a★b=\frac{ab}{2}$，则方程$2☆x=x★10$的解为
$x_1=1,x_2=4$
。答案
$x_1=1,x_2=4$
解析 由题意,得 $2☆x=2^2+x^2$,$x★10=\dfrac{10x}{2}$,
$\because 2☆x=x★10$,
$\therefore 2^2+x^2=\dfrac{10x}{2}$,整理,得 $x^2-5x+4=0$,移项,得 $x^2-5x=-4$,配方,得 $x^2-5x+(\dfrac{5}{2})^2=-4+(\dfrac{5}{2})^2$,即$(x-\dfrac{5}{2})^2=\dfrac{9}{4}$,两边开平方,得 $x-\dfrac{5}{2}=\pm\dfrac{3}{2}$,
$\therefore x_1=1,x_2=4$.
解析 由题意,得 $2☆x=2^2+x^2$,$x★10=\dfrac{10x}{2}$,
$\because 2☆x=x★10$,
$\therefore 2^2+x^2=\dfrac{10x}{2}$,整理,得 $x^2-5x+4=0$,移项,得 $x^2-5x=-4$,配方,得 $x^2-5x+(\dfrac{5}{2})^2=-4+(\dfrac{5}{2})^2$,即$(x-\dfrac{5}{2})^2=\dfrac{9}{4}$,两边开平方,得 $x-\dfrac{5}{2}=\pm\dfrac{3}{2}$,
$\therefore x_1=1,x_2=4$.
解析
【分析】
本题属于新定义运算类题目，解题思路清晰：首先要准确理解题干给出的两种新运算规则，将方程中含有新运算的部分转化为我们熟悉的常规代数表达式；再根据等式关系列出一元二次方程，整理为标准形式；最后运用配方法求解一元二次方程，即可得到最终的解。
【解析】
根据题干给出的运算规则：
$2☆x = 2^2 + x^2 = 4 + x^2$，
$x★10 = \frac{x×10}{2} = 5x$，
$\because 2☆x = x★10$，
$\therefore$ 可列方程：$4 + x^2 = 5x$，
整理得：$x^2 -5x +4 =0$，
移项得：$x^2 -5x = -4$，
两边同时加一次项系数一半的平方$(\frac{5}{2})^2$配方，得：
$x^2 -5x + (\frac{5}{2})^2 = -4 + (\frac{5}{2})^2$，
即$(x-\frac{5}{2})^2 = \frac{9}{4}$，
两边开平方得：$x-\frac{5}{2} = \pm\frac{3}{2}$，
解得：$x_1 = \frac{5}{2}+\frac{3}{2}=4$，$x_2=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=1$。
【答案】
$x_1=1,x_2=4$
【知识点】
新定义运算、配方法解一元二次方程
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程的解法，解题关键是正确理解新运算的规则，将陌生运算转化为常规代数运算，再按配方法的规范步骤求解即可，侧重考查学生的知识迁移能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
本题属于新定义运算类题目，解题思路清晰：首先要准确理解题干给出的两种新运算规则，将方程中含有新运算的部分转化为我们熟悉的常规代数表达式；再根据等式关系列出一元二次方程，整理为标准形式；最后运用配方法求解一元二次方程，即可得到最终的解。
【解析】
根据题干给出的运算规则：
$2☆x = 2^2 + x^2 = 4 + x^2$，
$x★10 = \frac{x×10}{2} = 5x$，
$\because 2☆x = x★10$，
$\therefore$ 可列方程：$4 + x^2 = 5x$，
整理得：$x^2 -5x +4 =0$，
移项得：$x^2 -5x = -4$，
两边同时加一次项系数一半的平方$(\frac{5}{2})^2$配方，得：
$x^2 -5x + (\frac{5}{2})^2 = -4 + (\frac{5}{2})^2$，
即$(x-\frac{5}{2})^2 = \frac{9}{4}$，
两边开平方得：$x-\frac{5}{2} = \pm\frac{3}{2}$，
解得：$x_1 = \frac{5}{2}+\frac{3}{2}=4$，$x_2=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=1$。
【答案】
$x_1=1,x_2=4$
【知识点】
新定义运算、配方法解一元二次方程
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程的解法，解题关键是正确理解新运算的规则，将陌生运算转化为常规代数运算，再按配方法的规范步骤求解即可，侧重考查学生的知识迁移能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
15.「★☆」已知关于$x$的一元二次方程$(a-3)x^2 -8x+a^2 -1=0$.
(1)若方程有一个根为0,求实数$a$的值.
(2)当$a=4$时,等腰$△ ABC$的底边长和腰长分别是一元二次方程$(a-3)x^2 -8x+a^2 -1=0$的两个根.请用配方法解方程,并求出$△ ABC$的周长.
(1)若方程有一个根为0,求实数$a$的值.
(2)当$a=4$时,等腰$△ ABC$的底边长和腰长分别是一元二次方程$(a-3)x^2 -8x+a^2 -1=0$的两个根.请用配方法解方程,并求出$△ ABC$的周长.
答案
(1)$\because$ 方程有一个根为0,
$\therefore a^2-1=0,\therefore a=1$或$a=-1$.
(2)当$a=4$时,方程为 $x^2-8x+15=0$,配方,得$(x-4)^2=1$,直接开平方,得 $x-4=\pm1$,解得 $x_1=3,x_2=5$.
当$△ABC$的底边长为3时,该三角形的三边长为3,5,5,其周长为 $3+5+5=13$;当$△ABC$的底边长为5时,该三角形的三边长为5,3,3,其周长为 $5+3+3=11$.综上所述,$△ABC$的周长为13或11.
$\therefore a^2-1=0,\therefore a=1$或$a=-1$.
(2)当$a=4$时,方程为 $x^2-8x+15=0$,配方,得$(x-4)^2=1$,直接开平方,得 $x-4=\pm1$,解得 $x_1=3,x_2=5$.
当$△ABC$的底边长为3时,该三角形的三边长为3,5,5,其周长为 $3+5+5=13$;当$△ABC$的底边长为5时,该三角形的三边长为5,3,3,其周长为 $5+3+3=11$.综上所述,$△ABC$的周长为13或11.
解析
【分析】
（1）根据方程根的定义，将x=0代入原方程，即可得到关于a的方程，求解即可；同时原方程是一元二次方程，二次项系数不能为0，验证求得的a值是否符合要求即可。
（2）先将a=4代入原方程得到具体的一元二次方程，再按照配方法的步骤求解方程的两个根；之后结合等腰三角形的性质分类讨论，分别将两个根作为底边长、腰长，先验证是否满足三角形三边关系，再计算对应周长即可。
【解析】
(1) 已知方程有一个根为0，将$x=0$代入一元二次方程$(a-3)x^2 -8x+a^2 -1=0$，可得：
$a^2-1=0$
解得$a=1$或$a=-1$，
又因为原方程为一元二次方程，二次项系数$a-3≠0$，即$a≠3$，$a=1$和$a=-1$均满足要求。
(2) 当$a=4$时，代入原方程得：
$(4-3)x^2 -8x + 4^2 -1=0$，整理得$x^2-8x+15=0$
用配方法解方程：
移项得$x^2-8x=-15$，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即$(\frac{-8}{2})^2=16$，得：
$x^2-8x+16=-15+16$，
即$(x-4)^2=1$，
直接开平方得$x-4=\pm1$，
解得$x_1=3$，$x_2=5$。
因为等腰$△ ABC$的底边长和腰长为方程的两个根，分两种情况讨论：
① 当底边长为3，腰长为5时，三边长为3、5、5，满足$3+5＞5$，可构成三角形，周长为$3+5+5=13$；
② 当底边长为5，腰长为3时，三边长为5、3、3，满足$3+3＞5$，可构成三角形，周长为$5+3+3=11$。
【答案】
(1) $a=1$或$a=-1$；
(2) 方程的解为$x_1=3,x_2=5$，$△ ABC$的周长为11或13。
【知识点】
一元二次方程根的定义，配方法解方程，等腰三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，既考查了一元二次方程的相关计算，也结合了等腰三角形的性质，解题时要注意配方法的步骤规范，涉及等腰三角形边长问题时需分类讨论，且每类情况都要验证是否符合三角形三边关系，避免出现错解。
【难度系数】
0.7
（1）根据方程根的定义，将x=0代入原方程，即可得到关于a的方程，求解即可；同时原方程是一元二次方程，二次项系数不能为0，验证求得的a值是否符合要求即可。
（2）先将a=4代入原方程得到具体的一元二次方程，再按照配方法的步骤求解方程的两个根；之后结合等腰三角形的性质分类讨论，分别将两个根作为底边长、腰长，先验证是否满足三角形三边关系，再计算对应周长即可。
【解析】
(1) 已知方程有一个根为0，将$x=0$代入一元二次方程$(a-3)x^2 -8x+a^2 -1=0$，可得：
$a^2-1=0$
解得$a=1$或$a=-1$，
又因为原方程为一元二次方程，二次项系数$a-3≠0$，即$a≠3$，$a=1$和$a=-1$均满足要求。
(2) 当$a=4$时，代入原方程得：
$(4-3)x^2 -8x + 4^2 -1=0$，整理得$x^2-8x+15=0$
用配方法解方程：
移项得$x^2-8x=-15$，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即$(\frac{-8}{2})^2=16$，得：
$x^2-8x+16=-15+16$，
即$(x-4)^2=1$，
直接开平方得$x-4=\pm1$，
解得$x_1=3$，$x_2=5$。
因为等腰$△ ABC$的底边长和腰长为方程的两个根，分两种情况讨论：
① 当底边长为3，腰长为5时，三边长为3、5、5，满足$3+5＞5$，可构成三角形，周长为$3+5+5=13$；
② 当底边长为5，腰长为3时，三边长为5、3、3，满足$3+3＞5$，可构成三角形，周长为$5+3+3=11$。
【答案】
(1) $a=1$或$a=-1$；
(2) 方程的解为$x_1=3,x_2=5$，$△ ABC$的周长为11或13。
【知识点】
一元二次方程根的定义，配方法解方程，等腰三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，既考查了一元二次方程的相关计算，也结合了等腰三角形的性质，解题时要注意配方法的步骤规范，涉及等腰三角形边长问题时需分类讨论，且每类情况都要验证是否符合三角形三边关系，避免出现错解。
【难度系数】
0.7
16. 核心素养 推理能力 「2026江苏泰州靖江七校联考」欧几里得的《几何原本》中记载了形如$x^2 - 2bx + 4c^2 = 0(b＞2c＞0)$的方程根的图形解法:如图
，画$Rt△ ABC$，使$∠ ACB=90°,AC=2c,AB=b$，以B为圆心，BC长为半径画圆，交射线AB于点D，E，则该方程较大的根是
(
A.CE的长度
B.CD的长度
C.DE的长度
D.AE的长度
，画$Rt△ ABC$，使$∠ ACB=90°,AC=2c,AB=b$，以B为圆心，BC长为半径画圆，交射线AB于点D，E，则该方程较大的根是(
D
)A.CE的长度
B.CD的长度
C.DE的长度
D.AE的长度
答案
$\because x^2-2bx+4c^2=0,\therefore x^2-2bx=-4c^2$,则$x^2-2bx+b^2=b^2-4c^2$,$\therefore (x-b)^2=b^2-4c^2$,$\therefore x-b=\pm\sqrt{b^2-4c^2}$,
$\therefore x_1=b+\sqrt{b^2-4c^2},x_2=b-\sqrt{b^2-4c^2}$, 在 $Rt△ABC$ 中, $∠ACB=90°$,$AC=2c$,$AB=b$,$\therefore BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{b^2-4c^2}$,
$\therefore$ 方程较大的根为 $AB+BC=AB+BE=AE$ 的长度,故选D.
$\therefore x_1=b+\sqrt{b^2-4c^2},x_2=b-\sqrt{b^2-4c^2}$, 在 $Rt△ABC$ 中, $∠ACB=90°$,$AC=2c$,$AB=b$,$\therefore BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{b^2-4c^2}$,
$\therefore$ 方程较大的根为 $AB+BC=AB+BE=AE$ 的长度,故选D.
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按照“先求方程根的表达式，再结合几何性质对应线段”的思路思考：第一步，先利用配方法求解给定的一元二次方程，得到两个根的表达式，确定较大根的形式；第二步，结合直角三角形的勾股定理，求出BC的长度，观察它和根的表达式中根号部分的关系；第三步，利用圆的半径相等的性质，将较大根的表达式转化为图中对应的线段即可。
【解析】
首先用配方法解一元二次方程$x^2 - 2bx + 4c^2 = 0$：
移项得：$x^2 - 2bx = -4c^2$，
方程两边同时加$b^2$配方得：$x^2 - 2bx + b^2 = b^2 - 4c^2$，即$(x - b)^2 = b^2 - 4c^2$，
开方得：$x - b = \pm\sqrt{b^2 - 4c^2}$，
因此方程的两个根为$x_1 = b + \sqrt{b^2 - 4c^2}$，$x_2 = b - \sqrt{b^2 - 4c^2}$，较大的根为$x_1 = b + \sqrt{b^2 - 4c^2}$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=2c$，$AB=b$，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{b^2 - (2c)^2} = \sqrt{b^2 - 4c^2}$。
因为圆以B为圆心，BC为半径，所以半径$BE = BC = \sqrt{b^2 - 4c^2}$，
因此$AE = AB + BE = b + \sqrt{b^2 - 4c^2}$，正好对应方程的较大根。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是代数与几何结合的典型题型，考查了数形结合的核心思想，需要熟练掌握配方法解方程的步骤、勾股定理的应用以及圆的半径相等的性质，就能快速建立方程根与线段长度的对应关系。
【难度系数】
0.65
要解决这道题，我们可以按照“先求方程根的表达式，再结合几何性质对应线段”的思路思考：第一步，先利用配方法求解给定的一元二次方程，得到两个根的表达式，确定较大根的形式；第二步，结合直角三角形的勾股定理，求出BC的长度，观察它和根的表达式中根号部分的关系；第三步，利用圆的半径相等的性质，将较大根的表达式转化为图中对应的线段即可。
【解析】
首先用配方法解一元二次方程$x^2 - 2bx + 4c^2 = 0$：
移项得：$x^2 - 2bx = -4c^2$，
方程两边同时加$b^2$配方得：$x^2 - 2bx + b^2 = b^2 - 4c^2$，即$(x - b)^2 = b^2 - 4c^2$，
开方得：$x - b = \pm\sqrt{b^2 - 4c^2}$，
因此方程的两个根为$x_1 = b + \sqrt{b^2 - 4c^2}$，$x_2 = b - \sqrt{b^2 - 4c^2}$，较大的根为$x_1 = b + \sqrt{b^2 - 4c^2}$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=2c$，$AB=b$，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{b^2 - (2c)^2} = \sqrt{b^2 - 4c^2}$。
因为圆以B为圆心，BC为半径，所以半径$BE = BC = \sqrt{b^2 - 4c^2}$，
因此$AE = AB + BE = b + \sqrt{b^2 - 4c^2}$，正好对应方程的较大根。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是代数与几何结合的典型题型，考查了数形结合的核心思想，需要熟练掌握配方法解方程的步骤、勾股定理的应用以及圆的半径相等的性质，就能快速建立方程根与线段长度的对应关系。
【难度系数】
0.65
1.已知$P=\frac{7}{15}m -1$，$Q=m^2 - \frac{8}{15}m$（$m$为任意实数），比较大小：$P\_\_\_\_\_\_Q$.（填“＞”“＜”或“=”）
答案
1.答案 ＜
解析 $Q - P = m^2 - \frac{8}{15}m - (\frac{7}{15}m-1) = m^2 - m + 1 = (m-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4},\because (m-\frac{1}{2})^2 ≥ 0,\therefore (m-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4} ≥ \frac{3}{4} ＞ 0,\therefore P＜Q.$
解析 $Q - P = m^2 - \frac{8}{15}m - (\frac{7}{15}m-1) = m^2 - m + 1 = (m-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4},\because (m-\frac{1}{2})^2 ≥ 0,\therefore (m-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4} ≥ \frac{3}{4} ＞ 0,\therefore P＜Q.$
解析
【分析】
比较两个代数式的大小，通常采用作差法：计算两个代数式的差，根据差的正负判断大小关系。本题先计算Q-P，对结果去括号、合并同类项得到二次三项式，再通过配方法将其变形为“完全平方式+正数”的形式，最后利用完全平方的非负性判断差的符号，即可得出P和Q的大小。
【解析】
计算$Q-P$：
$\begin{aligned}Q-P&=(m^2 - \frac{8}{15}m) - (\frac{7}{15}m -1)\\&=m^2 - \frac{8}{15}m - \frac{7}{15}m + 1\\&=m^2 - m + 1\\&=m^2 - m + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}\\&=(m-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}\end{aligned}$
∵m为任意实数，
∴$(m-\frac{1}{2})^2 ≥ 0$，
∴$(m-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} ≥ \frac{3}{4} ＞ 0$，即$Q-P＞0$，
∴$P＜Q$。
【答案】
＜
【知识点】
作差法比较大小，配方法，平方的非负性
【点评】
本题是代数式大小比较的典型题型，解题核心是掌握作差法的思路，熟练运用配方法变形二次式，结合平方的非负性判断差的符号，计算时注意去括号的符号变化，避免出错。
【难度系数】
0.7
比较两个代数式的大小，通常采用作差法：计算两个代数式的差，根据差的正负判断大小关系。本题先计算Q-P，对结果去括号、合并同类项得到二次三项式，再通过配方法将其变形为“完全平方式+正数”的形式，最后利用完全平方的非负性判断差的符号，即可得出P和Q的大小。
【解析】
计算$Q-P$：
$\begin{aligned}Q-P&=(m^2 - \frac{8}{15}m) - (\frac{7}{15}m -1)\\&=m^2 - \frac{8}{15}m - \frac{7}{15}m + 1\\&=m^2 - m + 1\\&=m^2 - m + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}\\&=(m-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}\end{aligned}$
∵m为任意实数，
∴$(m-\frac{1}{2})^2 ≥ 0$，
∴$(m-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} ≥ \frac{3}{4} ＞ 0$，即$Q-P＞0$，
∴$P＜Q$。
【答案】
＜
【知识点】
作差法比较大小，配方法，平方的非负性
【点评】
本题是代数式大小比较的典型题型，解题核心是掌握作差法的思路，熟练运用配方法变形二次式，结合平方的非负性判断差的符号，计算时注意去括号的符号变化，避免出错。
【难度系数】
0.7
2.「2026江苏淮安月考」若$A=2x^2 -1$，$B=4x -4$，请比较A与B的大小，并说明理由.
答案
2.解析 $A＞B$,理由如下:$A-B=(2x^2-1)-(4x-4)=2x^2-1-4x+4=2x^2-4x+2+1=2(x-1)^2+1,\because (x-1)^2 ≥ 0,\therefore 2(x-1)^2+1 ≥ 1＞0,\therefore A＞B.$
解析
【分析】
比较两个代数式的大小常用作差法：将两个代数式相减，若差为正，则被减数更大；若差为负，则减数更大；若差为0，则二者相等。解题时先计算A与B的差，再对差式进行配方，结合平方的非负性判断差的正负，即可得出A、B的大小关系。
【解析】
计算$A-B$判断其符号即可比较大小，过程如下：
$\begin{aligned}A-B&=(2x^2-1)-(4x-4)\\&=2x^2-1-4x+4\\&=2x^2-4x+3\\&=2(x^2-2x+1)+1\\&=2(x-1)^2+1\end{aligned}$
$\because (x-1)^2≥0$
$\therefore 2(x-1)^2≥0$，可得$2(x-1)^2+1≥1＞0$
即$A-B＞0$，因此$A＞B$。
【答案】
$A＞B$
【知识点】
作差法比较大小，配方法，平方的非负性
【点评】
本题是代数式大小比较的基础典型题，核心是通过作差将大小比较转化为判断代数式正负的问题，熟练掌握作差法和配方法、理解平方的非负性即可快速求解。
【难度系数】
0.7
比较两个代数式的大小常用作差法：将两个代数式相减，若差为正，则被减数更大；若差为负，则减数更大；若差为0，则二者相等。解题时先计算A与B的差，再对差式进行配方，结合平方的非负性判断差的正负，即可得出A、B的大小关系。
【解析】
计算$A-B$判断其符号即可比较大小，过程如下：
$\begin{aligned}A-B&=(2x^2-1)-(4x-4)\\&=2x^2-1-4x+4\\&=2x^2-4x+3\\&=2(x^2-2x+1)+1\\&=2(x-1)^2+1\end{aligned}$
$\because (x-1)^2≥0$
$\therefore 2(x-1)^2≥0$，可得$2(x-1)^2+1≥1＞0$
即$A-B＞0$，因此$A＞B$。
【答案】
$A＞B$
【知识点】
作差法比较大小，配方法，平方的非负性
【点评】
本题是代数式大小比较的基础典型题，核心是通过作差将大小比较转化为判断代数式正负的问题，熟练掌握作差法和配方法、理解平方的非负性即可快速求解。
【难度系数】
0.7
3.「2026江苏淮安清江浦中学月考」试判断代数式$2mn+2m+4n$与$m^2+2n^2+11$的大小，并说明理由.
答案
3.解析 $m^2+2n^2+11＞2mn+2m+4n$.理由如下:$\because (m^2+2n^2+11)-(2mn+2m+4n)=m^2+2n^2+11-2mn-2m-4n=[(m^2-2mn+n^2)+(-2m+2n)+1]+(n^2-6n+9)+1=[(m-n)^2-2(m-n)+1]+(n-3)^2+1=(m-n-1)^2+(n-3)^2+1＞0,\therefore m^2+2n^2+11＞2mn+2m+4n.$
解析
【分析】
比较两个代数式的大小常用作差法：将两个代数式相减，通过判断差的正负确定大小关系，若差为正则被减数更大，若差为负则减数更大。本题作差后得到的多项式含二次项、一次项和交叉项，可通过拆项分组，结合完全平方公式将差式配成几个非负式加正数的形式，再利用完全平方的非负性判断差的符号，即可得出结论。
【解析】
解：$m^2+2n^2+11＞2mn+2m+4n$，理由如下：
将两个代数式作差，可得：
$\begin{aligned}&(m^2+2n^2+11)-(2mn+2m+4n)\\=&m^2+2n^2+11-2mn-2m-4n\\=&[(m^2-2mn+n^2)+(-2m+2n)+1]+(n^2-6n+9)+1\\=&[(m-n)^2-2(m-n)+1]+(n-3)^2+1\\=&(m-n-1)^2+(n-3)^2+1\end{aligned}$
∵ 任意实数的平方均为非负数，即$(m-n-1)^2≥0$，$(n-3)^2≥0$，
∴ $(m-n-1)^2+(n-3)^2+1≥0+0+1=1＞0$，
即$(m^2+2n^2+11)-(2mn+2m+4n)＞0$，
∴ $m^2+2n^2+11＞2mn+2m+4n$。
【答案】
$m^2+2n^2+11＞2mn+2m+4n$
【知识点】
作差法比较大小；配方法的应用；完全平方的非负性
【点评】
本题是比较代数式大小的典型题型，核心考查作差法的应用，解题关键是对作差后的多项式合理拆分分组，正确运用完全平方公式配方，结合非负数的性质判断差的符号，熟练掌握完全平方公式是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.7
比较两个代数式的大小常用作差法：将两个代数式相减，通过判断差的正负确定大小关系，若差为正则被减数更大，若差为负则减数更大。本题作差后得到的多项式含二次项、一次项和交叉项，可通过拆项分组，结合完全平方公式将差式配成几个非负式加正数的形式，再利用完全平方的非负性判断差的符号，即可得出结论。
【解析】
解：$m^2+2n^2+11＞2mn+2m+4n$，理由如下：
将两个代数式作差，可得：
$\begin{aligned}&(m^2+2n^2+11)-(2mn+2m+4n)\\=&m^2+2n^2+11-2mn-2m-4n\\=&[(m^2-2mn+n^2)+(-2m+2n)+1]+(n^2-6n+9)+1\\=&[(m-n)^2-2(m-n)+1]+(n-3)^2+1\\=&(m-n-1)^2+(n-3)^2+1\end{aligned}$
∵ 任意实数的平方均为非负数，即$(m-n-1)^2≥0$，$(n-3)^2≥0$，
∴ $(m-n-1)^2+(n-3)^2+1≥0+0+1=1＞0$，
即$(m^2+2n^2+11)-(2mn+2m+4n)＞0$，
∴ $m^2+2n^2+11＞2mn+2m+4n$。
【答案】
$m^2+2n^2+11＞2mn+2m+4n$
【知识点】
作差法比较大小；配方法的应用；完全平方的非负性
【点评】
本题是比较代数式大小的典型题型，核心考查作差法的应用，解题关键是对作差后的多项式合理拆分分组，正确运用完全平方公式配方，结合非负数的性质判断差的符号，熟练掌握完全平方公式是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.7
