1.「2026 北京顺义牛栏山一中期中」如图,在$\odot O$中,若$∠ BAC=30°,∠ ACO=20°$,则$∠ ACB$的度数为（）


A.$40°$
B.$30°$
C.$20°$
D.$50°$

1.A 连接OB(图略),$\because ∠BAC=30^{\circ },\therefore ∠BOC=2∠BAC=60^{\circ },\because OB=OC,\therefore △ BOC$是等边三角形,$\therefore ∠BCO=60^{\circ },\because ∠ACO=20^{\circ },\therefore ∠ACB=∠BCO-∠ACO=40^{\circ }$.故选A.

【分析】
要求∠ACB的度数，观察图形可知∠ACB=∠BCO-∠ACO，已知∠ACO=20°，因此只需求出∠BCO的度数即可。已知圆周角∠BAC=30°，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此考虑连接半径OB，构造弧BC对应的圆心角∠BOC，再结合圆的半径相等的性质推导△BOC的形状，进而求出∠BCO的度数，最终计算∠ACB。
【解析】
连接OB，
∵ 同弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC，根据圆周角定理可得：$∠ BOC=2∠ BAC$，
已知$∠ BAC=30°$，
∴ $∠ BOC=2×30°=60°$，
又
∵ OB、OC都是$\odot O$的半径，
∴ $OB=OC$，
∴ $△ BOC$是等边三角形（有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形），
∴ $∠ BCO=60°$，
已知$∠ ACO=20°$，
∴ $∠ ACB=∠ BCO-∠ ACO=60°-20°=40°$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，等边三角形的判定，圆的半径性质
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题，解题的关键是掌握圆中常见辅助线的构造方法：连接半径，结合圆周角定理和特殊三角形的性质求解，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.7

2.如图,点A,B,C,D在⊙O上,BO//CD,∠A=25°,则∠O=°。

2.答案 130
解析 如图,连接OC,
$\because ∠A=25^{\circ },\therefore ∠BOC=50^{\circ },\because BO// CD,\therefore ∠OCD=50^{\circ },\because OC=OD,\therefore ∠OCD=∠D=50^{\circ },\therefore ∠COD=180^{\circ }-50^{\circ }-50^{\circ }=80^{\circ },\therefore ∠BOD=80^{\circ }+50^{\circ }=130^{\circ }.$

【分析】
要求∠BOD的度数，已知圆周角∠A=25°，首先根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，需要先找到∠A所对弧BC对应的圆心角，因此考虑作辅助线连接OC。先求出∠BOC的度数，再结合BO//CD的条件，利用平行线的内错角相等得到∠OCD的度数，再根据圆的半径相等可知OC=OD，△OCD为等腰三角形，可求出∠COD的度数，最后将∠BOC和∠COD相加即可得到∠BOD的度数。
【解析】
如图，连接OC
∵ 同弧BC所对的圆周角是∠A，圆心角是∠BOC，∠A=25°，
∴ ∠BOC=2∠A=2×25°=50°，
∵ BO//CD，
∴ ∠OCD=∠BOC=50°（两直线平行，内错角相等），
∵ OC、OD都是⊙O的半径，
∴ OC=OD，
∴ ∠OCD=∠D=50°，
在△OCD中，∠COD=180°-∠OCD-∠D=180°-50°-50°=80°，
∴ ∠BOD=∠BOC+∠COD=50°+80°=130°。
【答案】
130
【知识点】
圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆中角度计算的典型题，核心是通过连接半径构造圆心角和等腰三角形，结合平行线性质、圆周角定理逐步推导角度，熟练掌握圆中常见辅助线的添加方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7

3.「2025江苏扬州期中」如图，在半圆ACB中，AB=6，将半圆ACB沿弦BC所在的直线折叠，若弧BC恰好过圆心O，则BC的长是（）


A.$3\sqrt{3}$
B.$2π$
C.$3\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{6}$

3.A 过点O作$OD⊥ BC$于点D,如图所示,
由折叠的性质可知$OD=\frac{1}{2}OB,\therefore OD=\frac{1}{4}AB=\frac{3}{2}$,又$\because OB=\frac{1}{2}AB=3,\therefore BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2},\because OD⊥ BC$,OD经过圆心,$\therefore BC=2BD=3\sqrt{3}$,故选A.

【分析】
遇到圆的折叠问题，首先结合折叠的性质分析：折叠后弧BC过圆心O，说明圆心O到折痕BC的距离等于半径的一半（折叠后O点的对应点落在弧上，两点到BC的距离相等，总和等于半径）。其次，涉及圆中弦长的计算，通常使用垂径定理，因此先过圆心O作BC的垂线，既可以结合垂径定理得到弦长和半弦长的关系，又可以构造直角三角形使用勾股定理计算线段长度。已知AB是直径长为6，可先得到半径OB的长度，再逐步计算半弦长BD，最终得到BC的长度。
【解析】
过点O作$OD⊥ BC$于点D，如图所示：
由折叠的性质可知，折叠后弧BC过圆心O，因此圆心O到BC的距离$OD=\frac{1}{2}OB$。
已知$AB=6$，半圆的半径$OB=\frac{1}{2}AB=3$，因此$OD=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$。
在$Rt△ OBD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=\sqrt{3^2-(\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
根据垂径定理，$OD⊥BC$且OD过圆心，因此D是BC的中点，$BC=2BD=2×\frac{3\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中折叠类的典型题型，解题的核心是通过作垂直于弦的辅助线，将折叠性质、垂径定理和勾股定理结合起来求解，解题的突破口是根据折叠后弧过圆心推出圆心到弦的距离为半径的一半。
【难度系数】
0.6

4.如图,在$\odot O$中,点C在弦AB上,AC=1,OC=5,BC=7,求$\odot O$的半径.

4.解析 如图,连接OB,过点O作$OD⊥ AB$于点D,
$\therefore AD=BD=\frac{1}{2}(AC+BC)=\frac{1}{2}×(1+7)=4,\therefore CD=AD-AC=3$,在$\mathrm{Rt }△ OCD$中,由勾股定理得$OD=\sqrt{OC^2-CD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$,在$\mathrm{Rt }△ OBD$中,由勾股定理得$OB=\sqrt{OD^2+BD^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$,$\therefore \odot O$的半径为$4\sqrt{2}$.

【分析】
本题是圆中半径求解的常见题型，解题思路可按以下步骤展开：首先，圆中涉及弦长计算时，常用辅助线是过圆心作弦的垂线，既可以利用垂径定理得到平分的弦线段，又能构造出直角三角形方便用勾股定理计算。我们先求出弦AB的总长度，由垂径定理得到AD、BD的长度，再计算出CD的长度，先在Rt△OCD中用勾股定理算出OD的长，最后在包含半径OB的Rt△OBD中用勾股定理求出半径即可。
【解析】
连接OB，过点O作$OD⊥ AB$于点D，
由垂径定理可得$AD=BD=\frac{1}{2}AB$。
已知$AC=1$，$BC=7$，因此$AB=AC+BC=8$，代入得$AD=BD=\frac{1}{2}×8=4$。
则$CD=AD-AC=4-1=3$。
在$\mathrm{Rt}△OCD$中，$OC=5$，$CD=3$，根据勾股定理：
$OD=\sqrt{OC^2-CD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$。
在$\mathrm{Rt}△OBD$中，$OD=4$，$BD=4$，根据勾股定理：
$OB=\sqrt{OD^2+BD^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
即$\odot O$的半径为$4\sqrt{2}$。
【答案】
$\odot O$的半径为$4\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的辅助线作法
【点评】
本题属于圆章节的基础常考题，核心考查“遇弦作垂线”的常用辅助线思路，掌握垂径定理和勾股定理的结合用法即可快速解题，是圆中线段计算的典型题型。
【难度系数】
0.7

5.如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D，E都是$\odot O$上的点，则$∠ ACE+∠ BDE=$（）


A.$70°$
B.$80°$
C.$90°$
D.$100°$

$∠ ACE$是同弧所对的圆周角，$\therefore ∠ ADE = ∠ ACE$,
$\therefore ∠ ACE+∠ BDE = ∠ ADE+∠ BDE = ∠ ADB = 90°$,故选C.

【分析】
解题可按以下思路推导：首先回忆圆周角的相关性质：①同弧所对的圆周角相等；②直径所对的圆周角为直角。第一步，观察∠ACE对应的弧是弧AE，找到弧AE对应的另一个圆周角∠ADE，可得∠ACE=∠ADE，将待求的两个角的和转化为∠ADE+∠BDE；第二步，发现∠ADE+∠BDE就是∠ADB，而AB是⊙O的直径，根据直径所对圆周角是直角的性质，即可求出角度和。
【解析】
∵∠ACE和∠ADE都是弧AE所对的圆周角，
∴∠ACE = ∠ADE，
∴∠ACE + ∠BDE = ∠ADE + ∠BDE = ∠ADB，
又
∵AB是⊙O的直径，直径所对的圆周角为直角，
∴∠ADB = 90°，即∠ACE+∠BDE=90°。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 同弧所对圆周角相等
2. 直径所对圆周角是直角
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用题型，解题核心是通过同弧圆周角相等的性质完成角度转化，结合直径所对圆周角的性质即可快速得出结果，解题时注意观察弧与圆周角的对应关系。
【难度系数】
0.8

6.如图,半圆O的直径AB=20,弦AC的长为12,弦AD平分∠BAC,则AD的长为 ()


A.$4\sqrt{5}$
B.$6\sqrt{5}$
C.$8\sqrt{5}$
D.$10\sqrt{5}$

6.C 如图,连接 BC,OD 相交于点 E,连接 BD,
$\because AB$ 是半圆 O 的直径,$\therefore ∠ ACB=∠ ADB=90°$,$\because AB = 20$,$AC = 12$,
$\therefore BC = \sqrt{AB^2-AC^2} = \sqrt{20^2-12^2} = 16$,$\because AD$ 平分 $∠ BAC$,$\therefore ∠ CAB=2∠ DAB$,$\because ∠ DOB = 2∠ DAB$,$\therefore ∠ DOB = ∠ CAB$,$\therefore AC // DO$,$\therefore ∠ OEB = ∠ ACB=90°$,$\therefore CE=BE=\frac{1}{2}BC=8$,$\therefore OE$ 是 $△ ACB$ 的中位线,$\therefore OE=\frac{1}{2}AC=6$,$\because OD=\frac{1}{2}AB=10$,$\therefore DE=OD-OE=10-6=4$,在 $Rt△ DEB$ 中,$DB=\sqrt{DE^2+BE^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$,在 $Rt△ ADB$ 中,$AD=\sqrt{AB^2-DB^2}=\sqrt{20^2-(4\sqrt{5})^2}=8\sqrt{5}$,故选 C.

【分析】
遇到含直径的圆的问题，首先联想到“直径所对的圆周角为直角”，优先构造直角三角形。本题已知角平分线条件，可结合圆周角定理（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）推导角相等，进而得到线段平行关系，推出中位线，求出相关线段长度后，两次运用勾股定理即可求得AD的长。解题时先作辅助线连接BC、OD、BD，再逐步推导各线段长度即可。
【解析】
如图，连接BC，OD相交于点E，连接BD，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵AB = 20，AC = 12，
∴$BC = \sqrt{AB^2-AC^2} = \sqrt{20^2-12^2} = 16$，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAB=2∠DAB，
∵∠DOB = 2∠DAB，
∴∠DOB = ∠CAB，
∴AC // DO，
∴∠OEB = ∠ACB=90°，
∴$CE=BE=\frac{1}{2}BC=8$，
∴OE是△ACB的中位线，
∴$OE=\frac{1}{2}AC=6$，
∵$OD=\frac{1}{2}AB=10$，
∴DE=OD-OE=10-6=4，
在Rt△DEB中，$DB=\sqrt{DE^2+BE^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$，
在Rt△ADB中，$AD=\sqrt{AB^2-DB^2}=\sqrt{20^2-(4\sqrt{5})^2}=8\sqrt{5}$，
故选C。
【答案】
C
【知识点】
直径所对圆周角的性质，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆的综合应用类常见题型，解题核心是合理添加辅助线，将圆的性质和三角形的相关知识结合起来，通过角的关系转化为线段关系，逐步计算得到所求线段长度，能较好地考查圆与直角三角形的综合应用能力。
【难度系数】
0.6

7.「2026浙江杭州萧山期中」如图,在$△ ABC$中,以AB为直径的$\odot O$交边AC,BC于点D,E,且E为BC边的中点.
(1)求证:$AC=AB$.
(2)若$AB=10,AD=6$,求BE的长.

7.解析 (1)证明:连接AE,如图,
$\because AB$ 为直径,$\therefore ∠ AEB=90°$,
$\because E$ 为 $BC$ 边的中点,
$\therefore AE$ 垂直平分 $BC$,$\therefore AC=AB$.
(2)连接 $BD$,如图,
$\because AB$ 为直径,$\therefore ∠ ADB=90°$,
在 $Rt△ ABD$ 中,$AB=10$,$AD=6$,
$\therefore BD=\sqrt{10^2-6^2}=8$,
$\because AC=AB=10$,$\therefore CD=10-6=4$,
在 $Rt△ BCD$ 中,$BC=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$,
$\because E$ 为 $BC$ 边的中点,$\therefore BE=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{5}$.

【分析】
(1)要证明$AC=AB$，可通过证明$AE$是$BC$的垂直平分线推导：已知$AB$是$\odot O$的直径，根据“直径所对的圆周角为直角”，连接$AE$可得$AE⊥ BC$；结合$E$是$BC$中点，可知$AE$垂直平分$BC$，根据垂直平分线的性质即可得到$AC=AB$。
(2)要求$BE$的长，已知$E$是$BC$中点，只需求出$BC$的长度再除以2即可：同样利用“直径所对的圆周角为直角”，连接$BD$可得$∠ ADB=90°$，先在$Rt△ ABD$中用勾股定理算出$BD$的长度；再结合(1)中$AC=AB$的结论求出$CD$的长度，最后在$Rt△ BCD$中用勾股定理算出$BC$的长度，即可得到$BE$的长。
【解析】
(1)证明：连接$AE$，如图。
$\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ AEB=90°$，即$AE⊥ BC$，
又$\because E$为$BC$边的中点，
$\therefore AE$垂直平分$BC$，
$\therefore AC=AB$。
(2)解：连接$BD$，如图。
$\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ADB=90°$，
在$Rt△ ABD$中，$AB=10$，$AD=6$，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
由(1)知$AC=AB=10$，
$\therefore CD=AC-AD=10-6=4$，
在$Rt△ BCD$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{CD^2+BD^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$，
$\because E$为$BC$边的中点，
$\therefore BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4\sqrt{5}=2\sqrt{5}$。
【答案】
(1)证明成立；(2)$BE=2\sqrt{5}$
【知识点】
直径所对圆周角的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形的基础综合题，解题核心是熟练掌握直径所对圆周角为直角的性质，通过构造辅助线得到直角三角形，结合垂直平分线性质、勾股定理即可求解，是圆相关证明与计算的常见题型。
【难度系数】
0.7