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13 [2025 宿城期中]已知$A=3x-2y+xy$，$B$是多项式，小明计算$3A-B$时，误将其按$3A+B$计算，得$C=7x-y+4xy$。
（1）求多项式$B$；
（2）若$|xy-5|+(x-y+1)^2=0$，求$3A-B$的值。
（1）求多项式$B$；
（2）若$|xy-5|+(x-y+1)^2=0$，求$3A-B$的值。
答案
13. (1) 根据题意,得$B=C-3A=(7x-y+4xy)-3(3x-2y+xy)=7x-y+4xy-9x+6y-3xy=-2x+5y+xy$
(2) 因为$A=3x-2y+xy,B=-2x+5y+xy$,所以$3A-B=3(3x-2y+xy)-(-2x+5y+xy)=9x-6y+3xy+2x-5y-xy=11x-11y+2xy=11(x-y)+2xy$.因为$|xy-5|+(x-y+1)^2=0$,所以$xy=5,x-y=-1$.所以$3A-B=-11+10=-1$
(2) 因为$A=3x-2y+xy,B=-2x+5y+xy$,所以$3A-B=3(3x-2y+xy)-(-2x+5y+xy)=9x-6y+3xy+2x-5y-xy=11x-11y+2xy=11(x-y)+2xy$.因为$|xy-5|+(x-y+1)^2=0$,所以$xy=5,x-y=-1$.所以$3A-B=-11+10=-1$
解析
【分析】
（1）根据小明的错误运算可知$C=3A+B$，因此将式子变形为$B=C-3A$，再把已知的A、C表达式代入，通过去括号、合并同类项即可求出B；（2）先根据整式加减的运算法则求出$3A-B$的化简结果，再利用绝对值和平方的非负性，由$|xy-5|+(x-y+1)^2=0$得出$xy$和$x-y$的值，最后整体代入化简后的式子计算即可，无需单独求解x、y的值。
【解析】
(1) 由题意得$3A+B=C$，因此$B=C-3A$。
将$A=3x-2y+xy$，$C=7x-y+4xy$代入得：
$\begin{aligned}B&=(7x-y+4xy)-3(3x-2y+xy)\\&=7x-y+4xy-9x+6y-3xy\\&=-2x+5y+xy\end{aligned}$
(2) 先计算正确的$3A-B$，将$A=3x-2y+xy$，$B=-2x+5y+xy$代入得：
$\begin{aligned}3A-B&=3(3x-2y+xy)-(-2x+5y+xy)\\&=9x-6y+3xy+2x-5y-xy\\&=11x-11y+2xy\\&=11(x-y)+2xy\end{aligned}$
因为$|xy-5|≥0$，$(x-y+1)^2≥0$，两个非负数的和为0，则两个非负数分别为0，因此：
$\begin{cases}xy-5=0\\x-y+1=0\end{cases}$
解得$xy=5$，$x-y=-1$。
将$xy=5$，$x-y=-1$代入得：
$3A-B=11×(-1)+2×5=-11+10=-1$
【答案】
(1) $B=-2x+5y+xy$；(2) $3A-B$的值为$-1$
【知识点】
整式的加减运算；非负数的性质；代数式求值
【点评】
本题是整式加减与非负数性质的综合题，解题时需注意去括号时的符号变化，第二问采用整体代入的思想计算，可大幅简化运算过程，避免求解单个未知数的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
（1）根据小明的错误运算可知$C=3A+B$，因此将式子变形为$B=C-3A$，再把已知的A、C表达式代入，通过去括号、合并同类项即可求出B；（2）先根据整式加减的运算法则求出$3A-B$的化简结果，再利用绝对值和平方的非负性，由$|xy-5|+(x-y+1)^2=0$得出$xy$和$x-y$的值，最后整体代入化简后的式子计算即可，无需单独求解x、y的值。
【解析】
(1) 由题意得$3A+B=C$，因此$B=C-3A$。
将$A=3x-2y+xy$，$C=7x-y+4xy$代入得：
$\begin{aligned}B&=(7x-y+4xy)-3(3x-2y+xy)\\&=7x-y+4xy-9x+6y-3xy\\&=-2x+5y+xy\end{aligned}$
(2) 先计算正确的$3A-B$，将$A=3x-2y+xy$，$B=-2x+5y+xy$代入得：
$\begin{aligned}3A-B&=3(3x-2y+xy)-(-2x+5y+xy)\\&=9x-6y+3xy+2x-5y-xy\\&=11x-11y+2xy\\&=11(x-y)+2xy\end{aligned}$
因为$|xy-5|≥0$，$(x-y+1)^2≥0$，两个非负数的和为0，则两个非负数分别为0，因此：
$\begin{cases}xy-5=0\\x-y+1=0\end{cases}$
解得$xy=5$，$x-y=-1$。
将$xy=5$，$x-y=-1$代入得：
$3A-B=11×(-1)+2×5=-11+10=-1$
【答案】
(1) $B=-2x+5y+xy$；(2) $3A-B$的值为$-1$
【知识点】
整式的加减运算；非负数的性质；代数式求值
【点评】
本题是整式加减与非负数性质的综合题，解题时需注意去括号时的符号变化，第二问采用整体代入的思想计算，可大幅简化运算过程，避免求解单个未知数的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
14 教材P95“探究”变式 已知$\overline{ab}$表示一个两位数，$1≤a≤9$，$0≤b≤9$，$a,b$均为整数.小天与小乐玩数字换位游戏，小天设置了游戏规则:① 任意写一个两位数;② 交换它的十位上的数字和个位上的数字，得到一个新数;③ 用原数减去新数，得出结果.
（1）小乐首先使用了特殊值法，他先写了一个数13，根据游戏规则，得出的结果是
（2）小乐发现，两个数相减的结果始终能被9整除，请你说明这个结论是正确的；
（3）若原数与新数的差等于63，请你求出所有符合条件的原数$\overline{ab}$；
（4）已知一个三位数的百位上的数字为$m$，个位上的数字为$n$，这个三位数为正整数，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于297，请直接写出$m-n$的值为
（1）小乐首先使用了特殊值法，他先写了一个数13，根据游戏规则，得出的结果是
-18
，然后他又写了一个数82，根据游戏规则，得出的结果是54
；（2）小乐发现，两个数相减的结果始终能被9整除，请你说明这个结论是正确的；
（3）若原数与新数的差等于63，请你求出所有符合条件的原数$\overline{ab}$；
（4）已知一个三位数的百位上的数字为$m$，个位上的数字为$n$，这个三位数为正整数，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于297，请直接写出$m-n$的值为
3
.答案
14. (1) $-18\quad 54$
(2) 由题意,得原数为$10a+b$,新数为$10b+a$,所以$10a+b-(10b+a)=9a-9b=9(a-b)$.所以两个数相减的结果始终能被9整除
(3) 由(2)知,两数的差为$9(a-b)$.因为原数与新数的差等于63,所以$9(a-b)=63$,即$a-b=7$.因为$1≤a≤9,0≤b≤9,a,b$均为整数,所以$a=7,b=0$或$a=8,b=1$或$a=9,b=2$.所以所有符合条件的原数为70或81或92
(4) 3 【解析】设十位上的数字是$a$.根据题意,可得原数$=100m+10a+n$,新数$=100n+10a+m$.所以两数之差为$100m+10a+n-(100n+10a+m)=99m-99n$.因为$99m-99n=297$,所以$m-n=3$.
(2) 由题意,得原数为$10a+b$,新数为$10b+a$,所以$10a+b-(10b+a)=9a-9b=9(a-b)$.所以两个数相减的结果始终能被9整除
(3) 由(2)知,两数的差为$9(a-b)$.因为原数与新数的差等于63,所以$9(a-b)=63$,即$a-b=7$.因为$1≤a≤9,0≤b≤9,a,b$均为整数,所以$a=7,b=0$或$a=8,b=1$或$a=9,b=2$.所以所有符合条件的原数为70或81或92
(4) 3 【解析】设十位上的数字是$a$.根据题意,可得原数$=100m+10a+n$,新数$=100n+10a+m$.所以两数之差为$100m+10a+n-(100n+10a+m)=99m-99n$.因为$99m-99n=297$,所以$m-n=3$.
解析
【分析】
（1）按照游戏规则，先得到交换数位后的新数，再用原数减去新数直接计算即可；（2）要验证差能被9整除，先分别用代数式表示原两位数和交换后的新两位数，作差后化简，判断结果是否为9的整数倍；（3）利用（2）得到的差的表达式，令其等于63求出a与b的关系，再结合a、b的取值范围，找出所有符合条件的整数解，即可得到对应原数；（4）先设三位数十位数字为参数，用代数式分别表示原三位数和交换后的新三位数，作差化简后令其等于297，即可求出m-n的值。
【解析】
（1）原数为13时，交换后的新数是31，计算得$13-31=-18$；原数为82时，交换后的新数是28，计算得$82-28=54$。
（2）由题意，原两位数$\overline{ab}$可表示为$10a+b$，交换十位和个位数字后的新数为$10b+a$，两数作差：
$10a+b-(10b+a)=10a+b-10b-a=9a-9b=9(a-b)$
因为a、b均为整数，所以$a-b$是整数，因此$9(a-b)$是9的倍数，即两数相减的结果始终能被9整除。
（3）根据（2）的结论，两数的差为$9(a-b)$，已知差为63，因此：
$9(a-b)=63$
解得$a-b=7$
结合$1≤a≤9$，$0≤b≤9$，a、b均为整数的条件：
当$b=0$时，$a=7$，原数为70；
当$b=1$时，$a=8$，原数为81；
当$b=2$时，$a=9$，原数为92；
$b≥3$时$a≥10$，不符合要求，舍去。
因此符合条件的原数为70、81、92。
（4）设三位数十位上的数字为$a$，则原三位数为$100m+10a+n$，交换百位和个位后的新数为$100n+10a+m$，两数作差：
$100m+10a+n-(100n+10a+m)=99m-99n=99(m-n)$
已知差为297，因此$99(m-n)=297$，解得$m-n=3$。
【答案】
(1) $-18\quad 54$
(2) 两数差为$9(a-b)$，是9的整数倍，结论正确
(3) 70、81、92
(4) $3$
【知识点】
代数式表示数，整式的加减，方程的整数解
【点评】
本题结合数字换位游戏考查整式加减的应用，渗透从特殊到一般的探究思路，需熟练掌握多位数的代数式表示方法，解题时注意数位上数字的取值范围，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
（1）按照游戏规则，先得到交换数位后的新数，再用原数减去新数直接计算即可；（2）要验证差能被9整除，先分别用代数式表示原两位数和交换后的新两位数，作差后化简，判断结果是否为9的整数倍；（3）利用（2）得到的差的表达式，令其等于63求出a与b的关系，再结合a、b的取值范围，找出所有符合条件的整数解，即可得到对应原数；（4）先设三位数十位数字为参数，用代数式分别表示原三位数和交换后的新三位数，作差化简后令其等于297，即可求出m-n的值。
【解析】
（1）原数为13时，交换后的新数是31，计算得$13-31=-18$；原数为82时，交换后的新数是28，计算得$82-28=54$。
（2）由题意，原两位数$\overline{ab}$可表示为$10a+b$，交换十位和个位数字后的新数为$10b+a$，两数作差：
$10a+b-(10b+a)=10a+b-10b-a=9a-9b=9(a-b)$
因为a、b均为整数，所以$a-b$是整数，因此$9(a-b)$是9的倍数，即两数相减的结果始终能被9整除。
（3）根据（2）的结论，两数的差为$9(a-b)$，已知差为63，因此：
$9(a-b)=63$
解得$a-b=7$
结合$1≤a≤9$，$0≤b≤9$，a、b均为整数的条件：
当$b=0$时，$a=7$，原数为70；
当$b=1$时，$a=8$，原数为81；
当$b=2$时，$a=9$，原数为92；
$b≥3$时$a≥10$，不符合要求，舍去。
因此符合条件的原数为70、81、92。
（4）设三位数十位上的数字为$a$，则原三位数为$100m+10a+n$，交换百位和个位后的新数为$100n+10a+m$，两数作差：
$100m+10a+n-(100n+10a+m)=99m-99n=99(m-n)$
已知差为297，因此$99(m-n)=297$，解得$m-n=3$。
【答案】
(1) $-18\quad 54$
(2) 两数差为$9(a-b)$，是9的整数倍，结论正确
(3) 70、81、92
(4) $3$
【知识点】
代数式表示数，整式的加减，方程的整数解
【点评】
本题结合数字换位游戏考查整式加减的应用，渗透从特殊到一般的探究思路，需熟练掌握多位数的代数式表示方法，解题时注意数位上数字的取值范围，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
