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10.「2026江苏南通启东期中，★★」如图，在$△ ABC$中，$CD ⊥ AB$于点$D$，$∠ A = ∠ BCD$，$BE$平分$∠ ABC$交$CD$，$CA$于点$F$，$E$。
(1)求$∠ ACB$的度数。
(2)试说明$∠ CEF = ∠ CFE$。
(3)若$AC=3CE$，$AB=4BD$，$△ ABC$，$△ CEF$，$△ BDF$的面积分别表示为$S_{△ ABC}$，$S_{△ CEF}$，$S_{△ BDF}$，且$S_{△ ABC}=60$，则$S_{△ CEF} - S_{△ BDF} =$
(1)求$∠ ACB$的度数。
(2)试说明$∠ CEF = ∠ CFE$。
(3)若$AC=3CE$，$AB=4BD$，$△ ABC$，$△ CEF$，$△ BDF$的面积分别表示为$S_{△ ABC}$，$S_{△ CEF}$，$S_{△ BDF}$，且$S_{△ ABC}=60$，则$S_{△ CEF} - S_{△ BDF} =$
5
。答案
(1)$\because CD⊥ AB$,$\therefore ∠ ADC=90°$,
$\therefore ∠ A+∠ ACD=90°$,$\because ∠ A=∠ BCD$,
$\therefore ∠ BCD+∠ ACD=90°$,即$∠ ACB=90°$.
(2)$\because BE$平分$∠ ABC$,$\therefore ∠ ABE=∠ CBE$,
$\because ∠ CEF$是$△ ABE$的外角,$∠ CFE$是$△ BCF$的外角,
$\therefore ∠ CEF=∠ A+∠ ABE$,$∠ CFE=∠ BCF+∠ CBF$,
$\because ∠ A=∠ BCF$,$\therefore ∠ CEF=∠ CFE$.
(3)5.
详解:$\because AC=3CE$,$\therefore CE=\frac{1}{3}AC$,$\therefore S_{△ BCE}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}=\frac{1}{3}×60=20$,$\because AB=4BD$,$\therefore BD=\frac{1}{4}AB$,$\therefore S_{△ BCD}=\frac{1}{4}S_{△ ABC}=\frac{1}{4}×60=15$,$\therefore S_{△ CEF}-S_{△ BDF}=(S_{△ CEF}+S_{△ BCF})-(S_{△ BDF}+S_{△ BCF})=S_{△ BCE}-S_{△ BCD}=20-15=5$.
$\therefore ∠ A+∠ ACD=90°$,$\because ∠ A=∠ BCD$,
$\therefore ∠ BCD+∠ ACD=90°$,即$∠ ACB=90°$.
(2)$\because BE$平分$∠ ABC$,$\therefore ∠ ABE=∠ CBE$,
$\because ∠ CEF$是$△ ABE$的外角,$∠ CFE$是$△ BCF$的外角,
$\therefore ∠ CEF=∠ A+∠ ABE$,$∠ CFE=∠ BCF+∠ CBF$,
$\because ∠ A=∠ BCF$,$\therefore ∠ CEF=∠ CFE$.
(3)5.
详解:$\because AC=3CE$,$\therefore CE=\frac{1}{3}AC$,$\therefore S_{△ BCE}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}=\frac{1}{3}×60=20$,$\because AB=4BD$,$\therefore BD=\frac{1}{4}AB$,$\therefore S_{△ BCD}=\frac{1}{4}S_{△ ABC}=\frac{1}{4}×60=15$,$\therefore S_{△ CEF}-S_{△ BDF}=(S_{△ CEF}+S_{△ BCF})-(S_{△ BDF}+S_{△ BCF})=S_{△ BCE}-S_{△ BCD}=20-15=5$.
11. 核心 $\frac{素养}{几何直观}$ 「2026江苏常州外国语学校月考」我们知道，三角形的三条高所在直线交于同一点.请应用这个结论解决问题.
(1)如图1,在△ABC中,∠A=90°,则△ABC的三条高所在的直线交于点
(2)请仅用无刻度直尺 按要求画图,不写画法,保留画图痕迹(用虚线表示画图过程,实线表示画图结果).
①如图2,在△ABC中,∠ACB＞90°,已知两条高CD,AE,请你画出△ABC的第三条高BF.
②如图3,在给定的网格(由边长相等的小正方形组成)中,△ABC的三个顶点均为格点,请你画出△ABC的高BH.
(1)如图1,在△ABC中,∠A=90°,则△ABC的三条高所在的直线交于点
A
.(2)请仅用
①如图2,在△ABC中,∠ACB＞90°,已知两条高CD,AE,请你画出△ABC的第三条高BF.
②如图3,在给定的网格(由边长相等的小正方形组成)中,△ABC的三个顶点均为格点,请你画出△ABC的高BH.
答案
(1)A.
(2)①如图1,$BF$即为所求.
②如图2,$BH$即为所求.
1.「2026江苏苏州工业园区月考」如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，若△ABC的面积为16，则△CDE的面积为
4
。答案
$\because AD$是$△ ABC$的中线,
$\therefore BD=CD=\frac{1}{2}BC$,
$\therefore S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×16=8$,
同理可得$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×8=4$.
$\therefore BD=CD=\frac{1}{2}BC$,
$\therefore S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×16=8$,
同理可得$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×8=4$.
2.如图,在$△ ABC$中,点$D,E$分别在边$BC,AC$上,
$E$是$AC$的中点,$BC=3BD,BE,AD$相交于点$F$,
$S_{△ ABE}=18$,则$△ ACD$的面积为
3.「2026江苏宿迁期中」如图,在$△ ABC$中,已知点$D$,
$E$是$AC$的中点,$BC=3BD,BE,AD$相交于点$F$,
$S_{△ ABE}=18$,则$△ ACD$的面积为
24
.3.「2026江苏宿迁期中」如图,在$△ ABC$中,已知点$D$,
答案
$\because E$是$AC$的中点,$\therefore S_{△ ABC}=2S_{△ ABE}=2×18=36$,
$\because BC=3BD$,$\therefore CD=\frac{2}{3}BC$,$\therefore S_{△ ACD}=\frac{2}{3}S_{△ ABC}=\frac{2}{3}×36=24$.
$\because BC=3BD$,$\therefore CD=\frac{2}{3}BC$,$\therefore S_{△ ACD}=\frac{2}{3}S_{△ ABC}=\frac{2}{3}×36=24$.
E,F分别为BC,AD,CE的中点,且$S_{△ ABC}=4\ \mathrm{cm}^2$,则$S_{\mathrm{阴影}}=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}^2$.
答案
1
解析 $\because E$为$AD$的中点,$\therefore S_{△ BEA}=S_{△ BED}$,$S_{△ CEA}=S_{△ CED}$,$\therefore S_{△ BEC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=2\ \mathrm{cm}^2$,
$\because F$为$CE$的中点,$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}S_{△ BEC}=1\ \mathrm{cm}^2$.
解析 $\because E$为$AD$的中点,$\therefore S_{△ BEA}=S_{△ BED}$,$S_{△ CEA}=S_{△ CED}$,$\therefore S_{△ BEC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=2\ \mathrm{cm}^2$,
$\because F$为$CE$的中点,$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}S_{△ BEC}=1\ \mathrm{cm}^2$.
4.「2026广东东莞期中」如图,把$△ ABC$的三边$BA$,$CB$和$AC$分别延长一倍,得到的点分别为$A'$,$B'$,$C'$,连接$A'B'$,$B'C'$,$A'C'$,若$△ ABC$的面积是5,则$△ A'B'C'$的面积是
35
.答案
如图,连接$AB'$,$BC'$,$CA'$,
由题意得,$AB=AA'$,$BC=BB'$,
$AC=CC'$,$\therefore △ AA'B'$的面积$=△ ABB'$的面积$=△ ABC$的面积$=△ BCC'$的面积$=△ AA'C$的面积$=△ BB'C'$的面积$=△ A'C'C$的面积$=5$,
$\therefore △ A'B'C'$的面积$=5×7=35$.故答案为35.
