1[2026广西梧州期末,中]如图,从A到B有①②③三条路可以走,每条路的长分别为$l,m,n$,则$l,m,n$的大小关系是 ()


A.$l＞m＞n$
B.$l=m＞n$
C.$m＞n＞l$
D.$l＞n＞m$

1.B 【解析】由题图可知,$l = m$. 由两点之间,线段最短可知,$m＞n$,所以 $l,m,n$ 的大小关系是 $l=m＞n$. 故选 B.

2[2025浙江杭州期末,中]已知点A,B,C是直线l上互不重合的三个点,设$AB=3a$,$AC=na+2$,$BC=a+6$,其中n是自然数,a是正数,则下列说法正确的是()

A.若$n=2$,则点C在点A,B之间
B.若$n=4$,则点A在点B,C之间
C.若$n=2$,则点B在点A,C之间
D.若$n=4$,则点B在点A,C之间

2.B 【解析】A 选项,当 $n=2$ 时,$AC=2a+2$. 因为 $AC+BC=2a+2+a+6=3a+8＞AB=3a$,所以点 $C$ 不在点 $A,B$ 之间,故本选项错误. B 选项,当 $n=4$ 时,$AC=4a+2$. 因为 $AB+AC=3a+4a+2=7a+2$,$BC=a+6$,若 $AB+AC=BC$,则$7a+2=a+6$,所以 $a=\dfrac{2}{3}$,所以点 $A$ 在点 $B,C$ 之间,故本选项正确. C 选项,当 $n=2$ 时,$AC=2a+2$. 因为 $AB+BC=3a+a+6=4a+6＞AC=2a+2$,所以点 $B$ 不在点 $A,C$ 之间,故本选项错误. D 选项,当 $n=4$ 时,$AC=4a+2$. 因为 $AB+BC=3a+a+6=4a+6＞AC=4a+2$,所以点 $B$ 不在点 $A,C$ 之间,故本选项错误. 故选 B.

3 方程思想 [2026重庆渝中区质检,中]如图,已知点C,D在线段AB上,$AD=6CD=\dfrac{3}{2}CB$,点E为线段AD的中点,$EB=18\ \mathrm{cm}$,求线段AB的长.

3.【解】因为点 $C,D$ 在线段 $AB$ 上,$AD=6CD=\dfrac{3}{2} CB$,所以设 $AD$ 长为 $x\ \mathrm{cm}$,则 $CD$ 长为 $\dfrac{1}{6} x\ \mathrm{cm}$,$CB$ 长为 $\dfrac{2}{3} x\ \mathrm{cm}$. 因为点 $E$ 为线段 $AD$ 的中点,所以 $AE = ED = \dfrac{1}{2} x\ \mathrm{cm}$. 因为 $EB = ED+DB = ED+CB-CD$,所以 $\dfrac{1}{2} x + \dfrac{2}{3} x - \dfrac{1}{6} x = 18$,所以 $x=18$,所以 $AB = AE+EB = \dfrac{1}{2} x + 18 = 9+18 = 27(\mathrm{cm})$,所以线段 $AB$ 的长为 $27\ \mathrm{cm}$.

4 分类讨论思想 [2025 江苏南京期末,中]如图,已知$AB=4$,延长$AB$到点$C$,使得$BC=\frac{1}{2}AB$,反向延长$AB$到点$D$,使得$AD=\frac{1}{2}AC$.
(1)求线段$CD$的长;
(2)若$Q$为$AB$的中点,$P$为线段$CD$上一点,且$BP=\frac{1}{2}BC$,请画出示意图并求出$PQ$的长.

4.【解】(1)因为 $AB=4$,所以 $BC = \dfrac{1}{2} AB = 2$,所以 $AC = AB+BC = 4+2 = 6$,所以 $AD = \dfrac{1}{2} AC = 3$,所以 $CD = AD+AC = 3+6 = 9$,故线段 $CD$ 的长为 9.
(2)因为 $Q$ 为 $AB$ 的中点,所以 $BQ = \dfrac{1}{2} AB = \dfrac{1}{2} ×4 = 2$. 因为 $BP = \dfrac{1}{2} BC$,$BC=2$,所以 $BP = \dfrac{1}{2} ×2 = 1$. 由题意分以下 2 种情况:
①如图(1),当点 $P$ 在点 $B$ 左侧时,$PQ = BQ-BP = 2-1 = 1$;
②如图(2),当点 $P$ 在点 $B$ 右侧时,$PQ = BQ+BP = 2+1 = 3$.
综上,线段 $PQ$ 的长为 1 或 3.

5 思想方法 数形结合 [2025云南曲靖期末,中]如图,∠AOB的边OA上有一动点P,从距离O点24 cm的点M处出发,沿线段MO,射线OB运动,点P在线段MO(包含点O)上运动的速度为4 cm/s,在射线OB(不包含点O)上运动的速度为5 cm/s;动点Q从点O出发,沿射线OB运动,速度为2 cm/s. P,Q两点同时出发,设运动时间是t s.
(1)当点P在线段MO上运动时,t为何值,能使OP=OQ?
(2)若点Q运动到距离O点18 cm的点N处停止,在点Q停止运动前,点P能否追上点Q?如果能,求出t的值;如果不能,请说出理由.
(3)若P,Q两点不停止运动,t为何值时,它们相距14 cm?(若点P在线段MO上,点Q在射线OB上,则P,Q两点的距离为点P到点O的距离与点Q到点O的距离之和)

5.【解】(1)由题意得,点 $P$ 从点 $M$ 运动到点 $O$ 所用的时间为 $24÷4=6(\mathrm{s})$. 当 $0＜t≤6$ 时,$OP=(24-4t)\ \mathrm{cm}$,$OQ=2t\ \mathrm{cm}$. 若 $OP=OQ$,则 $24-4t=2t$,解得 $t=4$.
(2)不能. 理由:由题意得,点 $Q$ 从点 $O$ 运动到点 $N$ 所用的时间为 $18÷2=9(\mathrm{s})$,点 $P$ 从点 $O$ 运动到点 $N$ 所用的时间为 $18÷5=3.6(\mathrm{s})$,$6+3.6=9.6(\mathrm{s})$. 因为 $9＜9.6$,所以点 $P$ 不能追上点 $Q$.
(3)①当 $P$ 在线段 $OM$ 上,$Q$ 在射线 $OB$ 上时,它们相距 $14\ \mathrm{cm}$,此时根据题意得 $0＜t≤6$,$PO+OQ=24-4t+2t=14$,解得 $t=5$.
②当 $P,Q$ 均在射线 $OB$ 上时,它们相距 $14\ \mathrm{cm}$,此时根据题意得 $t＞6$,$|OP-OQ|=14$,即 $|5(t-6)-2t|=14$,解得 $t=\dfrac{44}{3}$ 或 $t=\dfrac{16}{3}$ (舍去). 综上所述,$t=5$ 或 $t=\dfrac{44}{3}$.