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27. (2024·秋·靖江市期中)阅读材料,回答下列问题:
【概念学习】规定:求若干个相同的有理数(均不等0)的除法运算叫做除方,类比有理数的乘方,我们把$3÷3÷3$记作$3^{③}$,读作“3的圈3次方”,$(-2)÷(-2)÷(-2)÷(-2)$记作$(-2)^{④}$.读作“-2的圈4次方”.
【初步探究】
(1) 直接写出计算结果:$4^{③}=$
(2) 试一试:仿照上面的算式,将下列运算结果直接写成乘方幂的形式,$3^{④}=$
(3) 想一想,将一个非零有理数$a$的圈$n(n≥3)$次方写成乘方幂的形式等于
(4) 算一算:$-3^2÷(-\dfrac{1}{3})^{⑤}×(-\dfrac{1}{2})^{④}$.
【概念学习】规定:求若干个相同的有理数(均不等0)的除法运算叫做除方,类比有理数的乘方,我们把$3÷3÷3$记作$3^{③}$,读作“3的圈3次方”,$(-2)÷(-2)÷(-2)÷(-2)$记作$(-2)^{④}$.读作“-2的圈4次方”.
【初步探究】
(1) 直接写出计算结果:$4^{③}=$
$\dfrac{1}{4}$
,$(-\dfrac{1}{2})^{④}=$ $4$
;(2) 试一试:仿照上面的算式,将下列运算结果直接写成乘方幂的形式,$3^{④}=$
$(\dfrac{1}{3})^2$
;$(\dfrac{1}{2})^{⑥}=$ $2^4$
;(3) 想一想,将一个非零有理数$a$的圈$n(n≥3)$次方写成乘方幂的形式等于
$(\dfrac{1}{a})^{n-2}$
;(4) 算一算:$-3^2÷(-\dfrac{1}{3})^{⑤}×(-\dfrac{1}{2})^{④}$.
答案
27. (1) $\dfrac{1}{4},4$ (2) $(\dfrac{1}{3})^2,2^4$ (3) $(\dfrac{1}{a})^{n-2}$ (4) 原式$=-3^2÷(-\dfrac{1}{3})^{⑤}×(-\dfrac{1}{2})^{④}=-9÷(-3)^3×(-2)^2=-9÷(-27)×4=\dfrac{1}{3}×4=\dfrac{4}{3}.$
28. (2024·秋·姜堰区期中)【阅读与思考】张景中院士说：“代数比算术高明，高明在一个‘代’字上，用字母来代替数，会使我们打开眼界，……，‘代’的方法用途很广，它可以把已知与未知联系起来，把普遍与特殊联系起来，把复杂的式子变得简单而易于观察，把平凡的事实弄得花样翻新便于应用.”例如，有些有理数的运算蕴含着有趣的规律，这些运算规律也可以用代数的方法表示.
(1) ① $(-1)×3=-3,1-2×[(-1)+3]=-3$；② $\frac{1}{6}×\frac{4}{13}=\frac{2}{39},1-2×[\frac{1}{6}+\frac{4}{13}]=\frac{2}{39}$；③ $1×(-\frac{1}{3})=-\frac{1}{3},1-2×[1+(-\frac{1}{3})]=-\frac{1}{3}$；在下列两组有理数中，符合上述式子蕴含的运算规律的是
A. $2,-\frac{3}{4}$
B. $-3,7$
(2) 对于有理数$a,b$，请你“用字母来代替数”，表示出(1)中式子蕴含的有理数之间的特殊的运算规律：
(3) 若有理数$m,n$符合上述运算规律，试判断有理数$-n,-m$是否一定符合上述运算规律？并说明理由.
(1) ① $(-1)×3=-3,1-2×[(-1)+3]=-3$；② $\frac{1}{6}×\frac{4}{13}=\frac{2}{39},1-2×[\frac{1}{6}+\frac{4}{13}]=\frac{2}{39}$；③ $1×(-\frac{1}{3})=-\frac{1}{3},1-2×[1+(-\frac{1}{3})]=-\frac{1}{3}$；在下列两组有理数中，符合上述式子蕴含的运算规律的是
A
（填写正确选项前的字母代号）：A. $2,-\frac{3}{4}$
B. $-3,7$
(2) 对于有理数$a,b$，请你“用字母来代替数”，表示出(1)中式子蕴含的有理数之间的特殊的运算规律：
$1-2(a+b)$
= $ab$
；(3) 若有理数$m,n$符合上述运算规律，试判断有理数$-n,-m$是否一定符合上述运算规律？并说明理由.
答案
28. (1) $2×(-\dfrac{3}{4})=-\dfrac{3}{2},1-2[2+(-\dfrac{3}{4})]=-\dfrac{3}{2}$; $-3×7=-21,1-2(-3+7)=-7$,所以符合上述式子蕴含的运算规律的是:A,故答案为:A; (2) $1-2(a+b),ab$; (3) 不一定.理由:有理数$m,n$符合上述运算规律,所以$1-2(m+n)=mn$,当两个有理数为$-n,-m$时,$(-m)·(-n)=mn=1-2(m+n),1-2(-m-n)=1+2(m+n)$,所以有理数$-n,-m$不一定符合上述运算规律.
