17. (2024春·大冶市期中)如图,三角形$A'B'C'$是由三角形$ABC$经过某种平移得到的,点$A$与点$A'$,点$B$与点$B'$,点$C$与点$C'$分别对应,且这六个点都在格点(小正方形的顶点)上,观察各点以及各点坐标之间的关系,解答下列问题:
(1) 分别写出点$B$和点$B'$的坐标,并说明三角形$A'B'C'$是由三角形$ABC$经过怎样的平移得到的.
(2) 若$M(a-2,2b-3)$是三角形$ABC$内一点,它随三角形$ABC$按(1)中方式平移后得到的对应点为$N(2a-7,9-b)$,分别求$a$和$b$的值.
(3) 直接写出三角形$A'B'C'$的面积为.

17. (1) 由直角坐标系可知,点$B$的坐标为$(2,1)$,点$B'$的坐标为$(-1,-2)$,$\therefore$ 点$B$的平移方式为向左平移3个单位,再向下平移3个单位,$\therefore$ 三角形$A'B'C'$是由三角形$ABC$向左平移3个单位,再向下平移3个单位得到的。
(2) 由题意可知,$M(a-2,2b-3)$向左平移3个单位,再向下平移3个单位得到的对应点为$N(2a-7,9-b)$,$\therefore a-2-3=2a-7$,$2b-3-3=9-b$,解得:$a=2$,$b=5$。
(3) 三角形$A'B'C'$的面积$=3×3-\frac{1}{2}×1×3-\frac{1}{2}×1×3-\frac{1}{2}×2×2=9-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}-2=4$。

18. (2023春·射阳县期末)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,点$B(1,0)$,点$C(5,0)$,以$BC$为边在$x$轴的上方作正方形$ABCD$,点$M(-5,0)$,$N(0,5)$.
(1) 点$A$的坐标为;点$D$的坐标为;
(2) 将正方形$ABCD$向左平移$m$个单位,得到正方形$A'B'C'D'$,记正方形$A'B'C'D'$与$△ OMN$重叠的区域(不含边界)为$W$:
①当$m=3$时,区域内整点(横、纵坐标都是整数)的个数为;
②若区域$W$内恰好有3个整点,请直接写出$m$的取值范围.

18. (1) $\because$ 点$B(1,0)$,点$C(5,0)$,$\therefore BC=4$.$\because$ 四边形$ABCD$是正方形,$\therefore A(1,4)$,$D(5,4)$。
(2) ①共有3个；
②在$△ OMN$中共有6个整数点,分别是$(-1,1),(-1,2),(-1,3),(-2,1),(-2,2),(-3,1)$,$\because$ 区域$W$内恰好有3个整点,$\therefore 2＜ m≤ 3$ 或 $6≤ m＜7$。

19. (2024春·惠民县期中)对于平面直角坐标系$xOy$中的任意一点$P(x,y)$,给出如下定义:如果$a=\frac{1}{2}x - 2$,$b=\frac{1}{2}y + 1$,那么点$M(a,b)$就是点$P$的“关联点”.例如,点$P(6,2)$的“关联点”是点$M(1,2)$.
(1) 求点$A(2,1)$的“关联点”坐标.
(2) 坐标平面内有一点$C(a,b)$,将点$C$向下平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度后到点$C'$,如果点$C$与点$C'$的“关联点”互相重合,求点$C$的坐标.

19. (1) $\because$ 点$A(2,1)$,$\therefore$ 根据定义,点$A$的“关联点”是:$(\frac{1}{2}×2-2,\frac{1}{2}×1+1)$,即$(-1,\frac{3}{2})$,$\therefore A$的“关联点”坐标$(-1,\frac{3}{2})$。
(2) $\because C(a,b)$,点$C$向下平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度后到点$C'$,$\therefore C'(a+2,b-3)$,$\therefore$ 点$C'$的“关联点”是$[\frac{1}{2}(a+2)-2,\frac{1}{2}(b-3)+1]$.$\because$ 点$C$与点$C'$的“关联点”互相重合,$\therefore \frac{1}{2}(a+2)-2=a$,$\frac{1}{2}(b-3)+1=b$,解得:$a=-2$,$b=-1$,$\therefore C(-2,-1)$。