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1. 下列方程中:①$x^2 +1=0$;②$ax^2 +bx +c=0$;③$x^2 + \frac{1}{x}=3$;④$\frac{y^2}{4} +3y=1$;⑤$(x-1)(x+1)=(x+2)(x-2)+2x-5$,一元二次方程有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.B
2. 易错题 关于$x$的一元二次方程$(m+2)x^2 + x + m^2 -4=0$有一根为0，则$m$的值为（
A.2
B.$-2$
C.2或$-2$
D.$\frac{1}{2}$
A
）A.2
B.$-2$
C.2或$-2$
D.$\frac{1}{2}$
答案
2.A
3.把一元二次方程$(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})+(x-2)^2=2$化成一般形式为
$2x^2 -4x -1=0$
。答案
3.$2x^2 -4x -1=0$
4.用配方法解一元二次方程$ax^2+bx-c=0(a≠0,c＞0)$，得到$(x-c)^2=4c^2$，从而解得方程的一根为1，则$a-3b=$
3
.答案
4.3 【点拨】由$(x-c)^2=4c^2$可得$x-c=±2c,∴x=c±2c$,即$x=-c$或$x=3c.∵$方程的一根为1,且$c＞0$,则$3c=1$,即$c=\frac{1}{3}.∴$原方程为$(x-\frac{1}{3})^2=\frac{4}{9}$,整理,得$x^2-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}=0.∴a=1,b=-\frac{2}{3}.∴a-3b=1+2=3.$
5. 解方程：
(1)$3(x-1)^2=12$；
(2)$x^2+4x-2=0$；(配方法)
(3)$3x(x-2)=x-2$；
(4)$x^2+1=\sqrt{6}x$。
(1)$3(x-1)^2=12$；
(2)$x^2+4x-2=0$；(配方法)
(3)$3x(x-2)=x-2$；
(4)$x^2+1=\sqrt{6}x$。
答案
5.【解】(1)$3(x-1)^2=12,∴(x-1)^2=4.$
$∴x-1=±2. ∴x_1=3,x_2=-1.$
(2)$x^2+4x-2=0,∴x^2+4x=2.$
$∴x^2+4x+4=2+4.∴(x+2)^2=6.$
$∴x+2=±\sqrt{6}.$
$∴x_1=\sqrt{6}-2,x_2=-\sqrt{6}-2.$
(3)$3x(x-2)=x-2,∴(3x-1)(x-2)=0.$
$∴x_1=\frac{1}{3},x_2=2.$
(4)原方程可化为$x^2-\sqrt{6}x+1=0.$
$∵a=1,b=-\sqrt{6},c=1,$
$∴Δ=b^2-4ac=(-\sqrt{6})^2-4×1×1=2＞0.$
$∴x=\frac{-(-\sqrt{6})±\sqrt{2}}{2×1}=\frac{\sqrt{6}±\sqrt{2}}{2}.$
$∴x_1=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2},x_2=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}.$
$∴x-1=±2. ∴x_1=3,x_2=-1.$
(2)$x^2+4x-2=0,∴x^2+4x=2.$
$∴x^2+4x+4=2+4.∴(x+2)^2=6.$
$∴x+2=±\sqrt{6}.$
$∴x_1=\sqrt{6}-2,x_2=-\sqrt{6}-2.$
(3)$3x(x-2)=x-2,∴(3x-1)(x-2)=0.$
$∴x_1=\frac{1}{3},x_2=2.$
(4)原方程可化为$x^2-\sqrt{6}x+1=0.$
$∵a=1,b=-\sqrt{6},c=1,$
$∴Δ=b^2-4ac=(-\sqrt{6})^2-4×1×1=2＞0.$
$∴x=\frac{-(-\sqrt{6})±\sqrt{2}}{2×1}=\frac{\sqrt{6}±\sqrt{2}}{2}.$
$∴x_1=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2},x_2=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}.$
6. 关于x的一元二次方程$x^2 + mx -2=0$的根的情况是（
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
答案
6.A
7. [2025 内江] 若关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^2 + 2x +1=0$有实数根，则实数$a$的取值范围是（
A.$a≤2$
B.$a＜2$
C.$a≤2$且$a≠1$
D.$a＜2$且$a≠1$
C
）A.$a≤2$
B.$a＜2$
C.$a≤2$且$a≠1$
D.$a＜2$且$a≠1$
答案
7.C 【点拨】$∵$关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^2+2x+1=0$有实数根,$∴a-1≠0$,且$Δ=2^2-4(a-1)=8-4a≥0$,解得$a≤2$且$a≠1.$
8.[2025广安]已知方程$x^2 -5x -24=0$的两根分别为a和b，则代数式$a^2 -4a +b$的值为
29
。答案
8.29 【点拨】$∵$方程$x^2-5x-24=0$的两根分别为$a$和$b$,$∴a+b=5,a^2-5a-24=0,∴a^2-5a=24,∴a^2-4a+b=a^2-5a+a+b=(a^2-5a)+(a+b)=24+5=29.$
9. 关于$ x $的一元二次方程$ 2x^2 + 4mx + m = 0 $有两个不同的实数根$ x_1, x_2 $，且$ x_1^2 + x_2^2 = \frac{3}{16} $，则$ m = $
$-\frac{1}{8}$
。答案
9.$-\frac{1}{8}$ 【点拨】根据题意,得$x_1+x_2=-2m,x_1x_2=\frac{m}{2}.∵x_1^2+x_2^2=\frac{3}{16},∴(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\frac{3}{16}.∴4m^2-m=\frac{3}{16}.∴m_1=-\frac{1}{8},m_2=\frac{3}{8}.∵Δ=16m^2-8m＞0,∴m＜0$或$m＞\frac{1}{2}.∴m=\frac{3}{8}$不合题意,舍去.$∴m=-\frac{1}{8}.$
10. 若关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(m+1)x + m^2 +5=0$有两个实数根$x_1,x_2$.
(1)求$m$的取值范围；
(2)若$x_1,x_2$恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长，求$m$的值.
(1)求$m$的取值范围；
(2)若$x_1,x_2$恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长，求$m$的值.
答案
10.【解】(1)根据题意,得$Δ=[-2(m+1)]^2-4(m^2+5)=8m-16≥0$,解得$m≥2.$
(2)由根与系数的关系可知$x_1+x_2=2(m+1),x_1x_2=m^2+5.$
$∵x_1,x_2$恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长,
$∴x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=[2(m+1)]^2-2(m^2+5)=6^2.$整理,得$m^2+4m-21=0$,解得$m_1=3,m_2=-7.$
又$∵m≥2$,且$x_1+x_2=2(m+1)＞0,∴m=3.$
(2)由根与系数的关系可知$x_1+x_2=2(m+1),x_1x_2=m^2+5.$
$∵x_1,x_2$恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长,
$∴x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=[2(m+1)]^2-2(m^2+5)=6^2.$整理,得$m^2+4m-21=0$,解得$m_1=3,m_2=-7.$
又$∵m≥2$,且$x_1+x_2=2(m+1)＞0,∴m=3.$
11. 2026·广州期末 新考向·传统文化 燕几(即宴几)是世界上最早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思.全套燕几一共有七张桌子，每张桌子高度相同.其桌面共有三种尺寸，包括2张长桌、2张中桌和3张小桌，它们的宽都相同.七张桌面可以拼成一个大的长方形，或者分开组合成不同的图形，其组合方式丰富多样，燕几也被认为是现代七巧板的前身.如图给出了《燕几图》中列出的名称为“函三”和“回文”的两种桌面拼合方式.若全套七张桌子桌面的总面积为61.25平方尺，则长桌的长为
7
尺. 答案
11.7 【点拨】设每张桌子的桌面宽为$x$尺,根据题图可得,小桌的长为$2x$尺,中桌的长为$3x$尺,长桌的长为$4x$尺,故可得$2×4x^2+2×3x^2+3×2x^2=61.25$,解得$x_1=\frac{7}{4},x_2=-\frac{7}{4}$(不合题意,舍去),$∴4x=7$,故长桌的长为7尺.
