12. 新考法 图象信息法 某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双，经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量$ y $（双）与降低价格$ x $（元）之间存在如图所示的函数关系.
(1) 求出$ y $与$ x $的函数关系式.
(2) 公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？
(3) 在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%的前提下，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由.

12.【解】
(1)设$y$与$x$的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$,
由题图可知其函数图象经过点$(0,200)$和$(10,300)$,
将其坐标代入$y=kx+b$,
得$\begin{cases}200=b,\\300=10k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=200,\\k=10.\end{cases}$
$∴y$与$x$的函数关系式为$y=10x+200.$
(2)由题意得$(10x+200)(100-x-60)=8\ 910$,
解得$x_1=7,x_2=13.$
$∵$优惠力度最大,$∴x=13.$
当$x=13$时,售价为$100-13=87$(元).
答:每双运动鞋的售价应该定为87元.
(3)公司每天能获得9 000元的利润.
$∵$要保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%,
$∴100-60-x≥60×50\%$,解得$x≤10.$
依题意,得$(100-60-x)(10x+200)=9\ 000$,
解得$x_1=x_2=10.$
$∴$降价10元,即定价为90元时,公司每天能获得9 000元的利润,且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%.

13.已知$x=1$是关于$x$的方程$x^2 + 2ax + a^2 = 3$的一个根，则代数式$a(a-1)+a^2 +5a$的值为。

13.4 【点拨】$a(a-1)+a^2+5a=a^2-a+a^2+5a=2a^2+4a.∵x=1$是关于$x$的方程$x^2+2ax+a^2=3$的一个根,$∴1+2a+a^2=3.∴a^2+2a=2.∴$原式$=2(a^2+2a)=4.$

14. ★★★ 新视角 动点探究题 如图,在菱形ABCD中,AC,BD交于点O,AC=16 cm,BD=12 cm,动点M从点A出发沿AC方向以4 cm/s的速度向点C运动,动点N从点B出发沿BD方向以2 cm/s的速度向点D运动.若M,N同时出发,设运动时间为t s.
(1)当2＜t＜3时,OM=,ON=.(用含t的式子表示)
(2)当t=1时,△OMN的面积为多少?
(3)点M到达点C后立即原路返回,速度保持不变,直到点N到达点D后同时停止运动,那么在整个运动过程中,是否存在某一时刻,使得△MON的面积为4 cm²?若存在,求出运动时间;若不存在,请说明理由.

14.【解】(1)$(4t-8)cm;(6-2t)cm$
(2)$∵$四边形$ABCD$是菱形,$∴AC⊥BD,AO=CO=\frac{1}{2}AC=8\ cm,BO=DO=\frac{1}{2}BD=6\ cm.$
当$t=1$时,$AM=4\ cm,BN=2\ cm$,
$∴OM=4\ cm,ON=4\ cm$,
$∴S_{△OMN}=\frac{1}{2}OM·ON=\frac{1}{2}×4×4=8(cm^2).$
(3)存在.
当$0≤t＜2$时,根据题意得$AM=4t\ cm,BN=2t\ cm$,
$∴OM=(8-4t)cm,ON=(6-2t)cm$,
$∵S_{△OMN}=\frac{1}{2}OM·ON,∴\frac{1}{2}×(8-4t)×(6-2t)=4$,
解得$t=\frac{5-\sqrt{5}}{2}$或$t=\frac{5+\sqrt{5}}{2}$(舍去);
当$2＜t＜3$时,$OM=(4t-8)cm,ON=(6-2t)cm$,
$∵S_{△OMN}=\frac{1}{2}OM·ON,∴\frac{1}{2}×(4t-8)×(6-2t)=4$,
无解;
当$3＜t＜4$时,根据题意得$AM=4t\ cm,BN=2t\ cm$,
$∴OM=(4t-8)cm,ON=(2t-6)cm$,
$∵S_{△OMN}=\frac{1}{2}OM·ON,∴\frac{1}{2}×(4t-8)×(2t-6)=4$,
解得$t=\frac{5+\sqrt{5}}{2}$或$t=\frac{5-\sqrt{5}}{2}$(舍去);
当$4≤t＜6$时,根据题意得$CM=(4t-16)cm,BN=2t\ cm$,
$∴OM=(24-4t)cm,ON=(2t-6)cm$,
$∵S_{△OMN}=\frac{1}{2}OM·ON,∴\frac{1}{2}×(24-4t)×(2t-6)=4$,
解得$t=\frac{9+\sqrt{5}}{2}$或$t=\frac{9-\sqrt{5}}{2}$(舍去).
综上,$t=\frac{5+\sqrt{5}}{2}$或$t=\frac{5-\sqrt{5}}{2}$或$t=\frac{9+\sqrt{5}}{2}.$