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8. 新考法 平移法 如图，某会展中心在会展期间准备将高5 m、长13 m、宽2 m的楼梯铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮忙计算一下，铺完这个楼梯至少需要
（第8题） （第9题）
1 020
元.（第8题） （第9题）
答案
由勾股定理得 $AB^2=AC^2-BC^2=13^2-5^2=144$，所以 $AB=12\ \mathrm{m}$，所以地毯总长为 $12+5=17(\mathrm{m})$，所以地毯的总面积为 $17×2=34(\mathrm{m^2})$，所以铺完这个楼梯至少需要 $34×30=1020(\mathrm{元})$。
解此题的关键是用平移法求出地毯的总长度，即将楼梯的水平线段向下平移，垂直线段向右平移，可发现，地毯的总长度=楼梯的水平总长度+楼梯的垂直总长度。
解此题的关键是用平移法求出地毯的总长度，即将楼梯的水平线段向下平移，垂直线段向右平移，可发现，地毯的总长度=楼梯的水平总长度+楼梯的垂直总长度。
解析
【分析】
要计算铺地毯的总费用，需先求出地毯的总面积。已知楼梯宽2m，因此只需先求出地毯的总长度：楼梯的地毯需覆盖所有踏步的水平面和竖直面，利用平移思想，将所有水平踏步向下平移、竖直踏步向右平移后，可发现地毯总长度等于楼梯水平总长度AB与竖直高度BC的和。接下来先在直角三角形ABC中利用勾股定理求出AB的长度，再依次计算地毯总长、总面积，最后乘单价即可得到总费用。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AC=13\ \mathrm{m}$，$BC=5\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12\ \mathrm{m}$
根据平移的性质，地毯总长度为：$AB+BC=12+5=17\ \mathrm{m}$
地毯总面积为：$17×2=34\ \mathrm{m^2}$
总费用为：$34×30=1020$（元）
【答案】
1020
【知识点】
勾股定理应用，平移的性质，面积计算
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的灵活应用，解题关键是通过平移将分散的线段长度求和问题转化为直角三角形直角边的和，把复杂问题简单化，体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.7
要计算铺地毯的总费用，需先求出地毯的总面积。已知楼梯宽2m，因此只需先求出地毯的总长度：楼梯的地毯需覆盖所有踏步的水平面和竖直面，利用平移思想，将所有水平踏步向下平移、竖直踏步向右平移后，可发现地毯总长度等于楼梯水平总长度AB与竖直高度BC的和。接下来先在直角三角形ABC中利用勾股定理求出AB的长度，再依次计算地毯总长、总面积，最后乘单价即可得到总费用。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AC=13\ \mathrm{m}$，$BC=5\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12\ \mathrm{m}$
根据平移的性质，地毯总长度为：$AB+BC=12+5=17\ \mathrm{m}$
地毯总面积为：$17×2=34\ \mathrm{m^2}$
总费用为：$34×30=1020$（元）
【答案】
1020
【知识点】
勾股定理应用，平移的性质，面积计算
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的灵活应用，解题关键是通过平移将分散的线段长度求和问题转化为直角三角形直角边的和，把复杂问题简单化，体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.7
9. 新考法 分类讨论法 如图，$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AC=12$，$AB=9$，$DE⊥ AC$，$CD=\dfrac{1}{3}BC$，$CE=\dfrac{1}{3}AC$，$P$是直线$AC$上一动点，把$△ CDP$沿$DP$所在的直线翻折后(再展开)，若点$C$落在直线$DE$上的点$H$处，则$CP=$
10或$\dfrac{5}{2}$
。答案
(1)当点P在点E左边时，如图①，由折叠的性质得 $PC=PH$，$DC=DH$。因为$∠BAC=90°$，$AC=12$，$AB=9$，所以 $BC=15$。因为 $DH=CD=\frac{1}{3}BC=\frac{1}{3}×15=5$，$CE=\frac{1}{3}AC=\frac{1}{3}×12=4$，$DE⊥AC$，所以 $DE=3$，所以 $EH=ED+DH=3+5=8$。设 $PC=PH=x$，则 $PE=x-4$。在$\mathrm{Rt}△PEH$中，由勾股定理得 $PH^2-PE^2=EH^2$，即 $x^2-(x-4)^2=8^2$，解得 $x=10$，即 $CP=10$；
(2)当点P在点E右边时，如图②所示，同理得 $PC=PH$，$DH=CD=5$，$DE=3$，$EC=4$，所以 $EH=DH-ED=5-3=2$。设 $PC=PH=a$，则 $PE=4-a$。在$\mathrm{Rt}△PEH$中，由勾股定理得 $PH^2-PE^2=EH^2$，即 $a^2-(4-a)^2=2^2$，解得 $a=\frac{5}{2}$，即 $PC=\frac{5}{2}$。综上所述，$PC=10$或$\frac{5}{2}$。
此题易因所给图形而忽略点P在点E右边的情况而致错。
解析
【分析】
本题是折叠变换结合勾股定理的计算题，解题思路如下：1. 先在Rt△ABC中用勾股定理求出BC的长度，再根据已知线段比例求出CD、CE的长度，接着在Rt△CDE中用勾股定理算出DE的长度；2. 由于P是直线AC上的动点，折叠后点C落在直线DE上，因此需分两种情况讨论：点P在点E左侧、点P在点E右侧；3. 每种情况利用折叠的性质得到对应边相等，设CP的长度为未知数，在Rt△PEH中根据勾股定理列方程求解即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AC=12$，$AB=9$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15$
根据题意得：$CD=\frac{1}{3}BC=\frac{1}{3}×15=5$，$CE=\frac{1}{3}AC=\frac{1}{3}×12=4$
$\because DE⊥ AC$，$\therefore△DEC$是直角三角形，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{CD^2-CE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$
分两种情况讨论：
(1) 当点P在点E左侧时，如图①：
由折叠的性质可知：$PC=PH$，$DC=DH=5$
此时$EH=ED+DH=3+5=8$
设$PC=PH=x$，则$PE=PC-CE=x-4$
在$\mathrm{Rt}△PEH$中，由勾股定理得$PH^2=PE^2+EH^2$，代入得：
$x^2=(x-4)^2+8^2$
展开化简得：$8x=80$，解得$x=10$，即$CP=10$
(2) 当点P在点E右侧时，如图②：
由折叠的性质可知：$PC=PH$，$DC=DH=5$
此时$EH=DH-ED=5-3=2$
设$PC=PH=a$，则$PE=CE-PC=4-a$
在$\mathrm{Rt}△PEH$中，由勾股定理得$PH^2=PE^2+EH^2$，代入得：
$a^2=(4-a)^2+2^2$
展开化简得：$8a=20$，解得$a=\frac{5}{2}$，即$CP=\frac{5}{2}$
综上，$CP$的长度为10或$\frac{5}{2}$。
【答案】
10或$\dfrac{5}{2}$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题结合折叠变换考查线段长度的计算，解题核心是利用折叠前后对应边相等的性质构建等量关系，需注意“直线AC”的表述包含了点P在线段CE延长线的情况，要分情况讨论避免漏解，通过勾股定理列方程求解是这类几何计算问题的常用方法。
【难度系数】
0.6
本题是折叠变换结合勾股定理的计算题，解题思路如下：1. 先在Rt△ABC中用勾股定理求出BC的长度，再根据已知线段比例求出CD、CE的长度，接着在Rt△CDE中用勾股定理算出DE的长度；2. 由于P是直线AC上的动点，折叠后点C落在直线DE上，因此需分两种情况讨论：点P在点E左侧、点P在点E右侧；3. 每种情况利用折叠的性质得到对应边相等，设CP的长度为未知数，在Rt△PEH中根据勾股定理列方程求解即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AC=12$，$AB=9$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15$
根据题意得：$CD=\frac{1}{3}BC=\frac{1}{3}×15=5$，$CE=\frac{1}{3}AC=\frac{1}{3}×12=4$
$\because DE⊥ AC$，$\therefore△DEC$是直角三角形，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{CD^2-CE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$
分两种情况讨论：
(1) 当点P在点E左侧时，如图①：
由折叠的性质可知：$PC=PH$，$DC=DH=5$
此时$EH=ED+DH=3+5=8$
设$PC=PH=x$，则$PE=PC-CE=x-4$
在$\mathrm{Rt}△PEH$中，由勾股定理得$PH^2=PE^2+EH^2$，代入得：
$x^2=(x-4)^2+8^2$
展开化简得：$8x=80$，解得$x=10$，即$CP=10$
(2) 当点P在点E右侧时，如图②：
由折叠的性质可知：$PC=PH$，$DC=DH=5$
此时$EH=DH-ED=5-3=2$
设$PC=PH=a$，则$PE=CE-PC=4-a$
在$\mathrm{Rt}△PEH$中，由勾股定理得$PH^2=PE^2+EH^2$，代入得：
$a^2=(4-a)^2+2^2$
展开化简得：$8a=20$，解得$a=\frac{5}{2}$，即$CP=\frac{5}{2}$
综上，$CP$的长度为10或$\frac{5}{2}$。
【答案】
10或$\dfrac{5}{2}$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题结合折叠变换考查线段长度的计算，解题核心是利用折叠前后对应边相等的性质构建等量关系，需注意“直线AC”的表述包含了点P在线段CE延长线的情况，要分情况讨论避免漏解，通过勾股定理列方程求解是这类几何计算问题的常用方法。
【难度系数】
0.6
10. [2026南通期中]小王与小林进行遥控赛车游戏,终点为点A,小王的赛车从点C出发,以4米/秒的速度由西向东行驶,同时小林的赛车从点B出发,以3米/秒的速度由南向北行驶(如图).已知赛车之间的距离小于或等于25米时,遥控信号会产生相互干扰,$AC=40$米,$AB=30$米.
(1)出发3秒钟时,遥控信号是否会产生相互干扰?
(2)当两赛车距A点的距离之和为35米时,遥控信号是否会产生相互干扰?
(1)出发3秒钟时,遥控信号是否会产生相互干扰?
(2)当两赛车距A点的距离之和为35米时,遥控信号是否会产生相互干扰?
答案
(1)
出发3秒钟时，$CC_1=12$米，$BB_1=9$米。
因为 $AC=40$ 米，$AB=30$ 米，
所以 $AC_1=28$ 米，$AB_1=21$ 米，所以易得 $B_1C_1=35$ 米。
因为 $35＞25$，
所以出发3秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰。
(2)设出发$t$秒钟时，两赛车距A点的距离之和为35米，
由题意得，$40-4t+30-3t=35$，解得 $t=5$，
此时 $AC_1=20$ 米，$AB_1=15$ 米，
所以易得 $B_1C_1=25$ 米，即两赛车之间的距离是25米，
所以遥控信号将会产生相互干扰。
解析
【分析】
这道题是勾股定理在实际行程场景中的应用，解题思路清晰：
1. 第一问先根据速度、时间计算两车行驶的路程，再求出两车到A点的距离，利用∠A为直角的特点，通过勾股定理计算两车的实际距离，和25米对比即可判断是否产生干扰。
2. 第二问先设行驶时间为t，根据“两车距A点的距离之和为35米”的条件列一元一次方程求出t，再用和第一问相同的方法计算两车距离，对比25米得出结论。
【解析】
(1) 出发3秒时，根据路程=速度×时间可得：
$CC_1=4×3=12$米，$BB_1=3×3=9$米。
已知$AC=40$米，$AB=30$米，因此此时两车到A点的距离分别为：
$AC_1=40-12=28$米，$AB_1=30-9=21$米。
因为$∠ C_1AB_1=90°$，由勾股定理得两车距离：
$B_1C_1=\sqrt{AC_1^2+AB_1^2}=\sqrt{28^2+21^2}=\sqrt{1225}=35$米。
由于$35＞25$，因此出发3秒时遥控信号不会产生干扰。
(2) 设出发t秒时，两赛车距A点的距离之和为35米。
此时小王的赛车距A点$(40-4t)$米，小林的赛车距A点$(30-3t)$米，列方程得：
$40-4t+30-3t=35$
整理得$70-7t=35$，解得$t=5$。
当$t=5$时，$AC_1=40-4×5=20$米，$AB_1=30-3×5=15$米。
由勾股定理得两车距离：
$B_1C_1=\sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{625}=25$米。
由于$25=25$，满足干扰条件，因此此时遥控信号会产生相互干扰。
【答案】
(1)
出发3秒钟时，$CC_1=12$米，$BB_1=9$米。
因为 $AC=40$ 米，$AB=30$ 米，
所以 $AC_1=28$ 米，$AB_1=21$ 米，所以易得 $B_1C_1=35$ 米。
因为 $35＞25$，
所以出发3秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰。
(2)设出发$t$秒钟时，两赛车距A点的距离之和为35米，
由题意得，$40-4t+30-3t=35$，解得 $t=5$，
此时 $AC_1=20$ 米，$AB_1=15$ 米，
所以易得 $B_1C_1=25$ 米，即两赛车之间的距离是25米，
所以遥控信号将会产生相互干扰。
【知识点】
勾股定理的应用，一元一次方程的应用，行程问题计算
【点评】
本题结合实际生活场景，将代数计算与几何定理融合考察，核心是将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，锻炼学生的数学建模能力和方程思想的应用能力，考察点贴合课标要求。
【难度系数】
0.7
这道题是勾股定理在实际行程场景中的应用，解题思路清晰：
1. 第一问先根据速度、时间计算两车行驶的路程，再求出两车到A点的距离，利用∠A为直角的特点，通过勾股定理计算两车的实际距离，和25米对比即可判断是否产生干扰。
2. 第二问先设行驶时间为t，根据“两车距A点的距离之和为35米”的条件列一元一次方程求出t，再用和第一问相同的方法计算两车距离，对比25米得出结论。
【解析】
(1) 出发3秒时，根据路程=速度×时间可得：
$CC_1=4×3=12$米，$BB_1=3×3=9$米。
已知$AC=40$米，$AB=30$米，因此此时两车到A点的距离分别为：
$AC_1=40-12=28$米，$AB_1=30-9=21$米。
因为$∠ C_1AB_1=90°$，由勾股定理得两车距离：
$B_1C_1=\sqrt{AC_1^2+AB_1^2}=\sqrt{28^2+21^2}=\sqrt{1225}=35$米。
由于$35＞25$，因此出发3秒时遥控信号不会产生干扰。
(2) 设出发t秒时，两赛车距A点的距离之和为35米。
此时小王的赛车距A点$(40-4t)$米，小林的赛车距A点$(30-3t)$米，列方程得：
$40-4t+30-3t=35$
整理得$70-7t=35$，解得$t=5$。
当$t=5$时，$AC_1=40-4×5=20$米，$AB_1=30-3×5=15$米。
由勾股定理得两车距离：
$B_1C_1=\sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{625}=25$米。
由于$25=25$，满足干扰条件，因此此时遥控信号会产生相互干扰。
【答案】
(1)
出发3秒钟时，$CC_1=12$米，$BB_1=9$米。
因为 $AC=40$ 米，$AB=30$ 米，
所以 $AC_1=28$ 米，$AB_1=21$ 米，所以易得 $B_1C_1=35$ 米。
因为 $35＞25$，
所以出发3秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰。
(2)设出发$t$秒钟时，两赛车距A点的距离之和为35米，
由题意得，$40-4t+30-3t=35$，解得 $t=5$，
此时 $AC_1=20$ 米，$AB_1=15$ 米，
所以易得 $B_1C_1=25$ 米，即两赛车之间的距离是25米，
所以遥控信号将会产生相互干扰。
【知识点】
勾股定理的应用，一元一次方程的应用，行程问题计算
【点评】
本题结合实际生活场景，将代数计算与几何定理融合考察，核心是将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，锻炼学生的数学建模能力和方程思想的应用能力，考察点贴合课标要求。
【难度系数】
0.7
11. 新题型 动点探究题 如图,在长方形ABCD中,AB=9,AD=4,E为CD边上一点,CE=6,连接AE.
(1)求AE的长.
(2)点P从点B出发,以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动,连接PE.设点P运动的时间为t s.
①当t为何值时,△PAE为等腰三角形?
②当t为何值时,△PAE为直角三角形?
(1)求AE的长.
(2)点P从点B出发,以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动,连接PE.设点P运动的时间为t s.
①当t为何值时,△PAE为等腰三角形?
②当t为何值时,△PAE为直角三角形?
答案
(1)在长方形$ABCD$中，$∠D=90°$，$CD=AB=9$。
因为 $CE=6$，所以 $DE=CD-CE=9-6=3$。
又因为$AD=4$，
所以在$\mathrm{Rt}△ADE$中，由勾股定理得 $AE=5$。
(2)①分三种情况讨论：
当 $EP=EA$ 时，易得 $AP=6$，所以 $BP=3$，所以 $t=3$；
当 $AP=AE$ 时，有 $9-t=5$，所以 $t=4$；
当 $PE=PA$ 时，易得 $(6-t)^2+4^2=(9-t)^2$，
所以 $t=\frac{29}{6}$。
综上所述，当 $t$ 为 3 或 4 或 $\frac{29}{6}$ 时，$△PAE$ 为等腰三角形。
②分两种情况讨论：当$∠EPA=90°$时，易得 $t=6$；
当$∠PEA=90°$时，过点 $P$ 作 $PF⊥CD$ 于点 $F$。
在$\mathrm{Rt}△EPF$中，$PE^2=EF^2+PF^2=(6-t)^2+4^2$，
在$\mathrm{Rt}△APE$中，$AP^2=PE^2+AE^2$，
所以$(6-t)^2+4^2+5^2=(9-t)^2$，
解得 $t=\frac{2}{3}$。
综上所述，当 $t$ 为 $\frac{2}{3}$ 或 6 时，$△PAE$ 为直角三角形。
因为 $CE=6$，所以 $DE=CD-CE=9-6=3$。
又因为$AD=4$，
所以在$\mathrm{Rt}△ADE$中，由勾股定理得 $AE=5$。
(2)①分三种情况讨论：
当 $EP=EA$ 时，易得 $AP=6$，所以 $BP=3$，所以 $t=3$；
当 $AP=AE$ 时，有 $9-t=5$，所以 $t=4$；
当 $PE=PA$ 时，易得 $(6-t)^2+4^2=(9-t)^2$，
所以 $t=\frac{29}{6}$。
综上所述，当 $t$ 为 3 或 4 或 $\frac{29}{6}$ 时，$△PAE$ 为等腰三角形。
②分两种情况讨论：当$∠EPA=90°$时，易得 $t=6$；
当$∠PEA=90°$时，过点 $P$ 作 $PF⊥CD$ 于点 $F$。
在$\mathrm{Rt}△EPF$中，$PE^2=EF^2+PF^2=(6-t)^2+4^2$，
在$\mathrm{Rt}△APE$中，$AP^2=PE^2+AE^2$，
所以$(6-t)^2+4^2+5^2=(9-t)^2$，
解得 $t=\frac{2}{3}$。
综上所述，当 $t$ 为 $\frac{2}{3}$ 或 6 时，$△PAE$ 为直角三角形。
解析
【分析】
(1) 求AE的长度时，观察可知AE在Rt△ADE中，先利用长方形的性质求出DE的长度，再结合勾股定理即可计算AE。
(2) ① 判定△PAE为等腰三角形需分三类讨论：EP=EA、AP=AE、PE=PA，每类结合图形性质和勾股定理列关于t的方程，求解后验证结果是否符合动点运动范围即可。
② 判定△PAE为直角三角形需分两类讨论：∠EPA=90°、∠PEA=90°（结合图形可排除∠PAE为直角的情况），分别利用直角三角形勾股定理列方程求解t即可。
【解析】
(1) 在长方形ABCD中，∠D=90°，CD=AB=9。
已知CE=6，因此$DE=CD-CE=9-6=3$，又$AD=4$，
在$\mathrm{Rt}△ADE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
(2) 点P运动t秒后，$BP=t$，$PA=9-t$，$0≤t≤9$。
① 分三种情况讨论：
当$EP=EA=5$时，过E作EF⊥AB于F，易得$AP=2DE=6$，因此$BP=9-6=3$，即$t=3$；
当$AP=AE=5$时，列方程$9-t=5$，解得$t=4$；
当$PE=PA$时，在Rt△PEF中由勾股定理得：$(6-t)^2+4^2=(9-t)^2$，
展开化简得$6t=29$，解得$t=\frac{29}{6}$，符合t的取值范围。
② 分两种情况讨论：
当$∠EPA=90°$时，PE⊥AB，此时$BP=CE=6$，即$t=6$；
当$∠PEA=90°$时，过P作PF⊥CD于F，
在$\mathrm{Rt}△EPF$中，$PE^2=EF^2+PF^2=(6-t)^2+4^2$，
在$\mathrm{Rt}△APE$中，$AP^2=PE^2+AE^2$，
代入得$(9-t)^2=(6-t)^2+4^2+5^2$，
展开化简得$6t=4$，解得$t=\frac{2}{3}$，符合t的取值范围。
【答案】
(1) $AE=5$
(2) ① $t$的值为3或4或$\frac{29}{6}$；② $t$的值为$\frac{2}{3}$或6
【知识点】
勾股定理，分类讨论思想，动点问题求解
【点评】
本题是动点与几何结合的典型题型，重点考查勾股定理的应用，解题的核心是对等腰、直角三角形的所有可能情况分类讨论，避免漏解，同时要注意验证所求结果是否符合动点的运动范围。
【难度系数】
0.6
(1) 求AE的长度时，观察可知AE在Rt△ADE中，先利用长方形的性质求出DE的长度，再结合勾股定理即可计算AE。
(2) ① 判定△PAE为等腰三角形需分三类讨论：EP=EA、AP=AE、PE=PA，每类结合图形性质和勾股定理列关于t的方程，求解后验证结果是否符合动点运动范围即可。
② 判定△PAE为直角三角形需分两类讨论：∠EPA=90°、∠PEA=90°（结合图形可排除∠PAE为直角的情况），分别利用直角三角形勾股定理列方程求解t即可。
【解析】
(1) 在长方形ABCD中，∠D=90°，CD=AB=9。
已知CE=6，因此$DE=CD-CE=9-6=3$，又$AD=4$，
在$\mathrm{Rt}△ADE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
(2) 点P运动t秒后，$BP=t$，$PA=9-t$，$0≤t≤9$。
① 分三种情况讨论：
当$EP=EA=5$时，过E作EF⊥AB于F，易得$AP=2DE=6$，因此$BP=9-6=3$，即$t=3$；
当$AP=AE=5$时，列方程$9-t=5$，解得$t=4$；
当$PE=PA$时，在Rt△PEF中由勾股定理得：$(6-t)^2+4^2=(9-t)^2$，
展开化简得$6t=29$，解得$t=\frac{29}{6}$，符合t的取值范围。
② 分两种情况讨论：
当$∠EPA=90°$时，PE⊥AB，此时$BP=CE=6$，即$t=6$；
当$∠PEA=90°$时，过P作PF⊥CD于F，
在$\mathrm{Rt}△EPF$中，$PE^2=EF^2+PF^2=(6-t)^2+4^2$，
在$\mathrm{Rt}△APE$中，$AP^2=PE^2+AE^2$，
代入得$(9-t)^2=(6-t)^2+4^2+5^2$，
展开化简得$6t=4$，解得$t=\frac{2}{3}$，符合t的取值范围。
【答案】
(1) $AE=5$
(2) ① $t$的值为3或4或$\frac{29}{6}$；② $t$的值为$\frac{2}{3}$或6
【知识点】
勾股定理，分类讨论思想，动点问题求解
【点评】
本题是动点与几何结合的典型题型，重点考查勾股定理的应用，解题的核心是对等腰、直角三角形的所有可能情况分类讨论，避免漏解，同时要注意验证所求结果是否符合动点的运动范围。
【难度系数】
0.6
