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8. (★★★)如图9.2-13所示,桌上有一个水杯,杯内盛有密度为$\rho$的液体,我们可以设想液面下$h$深处有一底面积为$S$的圆柱体液柱,该液柱底面所受到的压力是其上方圆柱体的液柱所产生的。请推证:液体内部深度为$h$处的压强$p=\rho gh$。
答案
解：液柱底面受到的液体压力等于其上方圆柱体液柱的重力，有$p=\frac{F}{S}=\frac{G}{S}$；
根据重力与质量的关系，有$p=\frac{F}{S}=\frac{G}{S}=\frac{mg}{S}$；
根据质量与密度的关系，有$p=\frac{F}{S}=\frac{G}{S}=\frac{mg}{S}=\frac{\rho Vg}{S}$；
根据圆柱体的体积计算公式，有$p=\frac{F}{S}=\frac{G}{S}=\frac{mg}{S}=\frac{\rho Vg}{S}=\frac{\rho Shg}{S}=\rho gh$。
根据重力与质量的关系，有$p=\frac{F}{S}=\frac{G}{S}=\frac{mg}{S}$；
根据质量与密度的关系，有$p=\frac{F}{S}=\frac{G}{S}=\frac{mg}{S}=\frac{\rho Vg}{S}$；
根据圆柱体的体积计算公式，有$p=\frac{F}{S}=\frac{G}{S}=\frac{mg}{S}=\frac{\rho Vg}{S}=\frac{\rho Shg}{S}=\rho gh$。
解析
【分析】
要推导液体内部深度为$h$处的压强，我们可以从压强的定义式入手：
1. 首先明确液柱底面受到的压力等于上方液柱的重力，将压力替换为液柱重力；
2. 利用重力公式$G=mg$，把重力转化为质量与$g$的乘积；
3. 结合密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，将质量转化为密度与体积的乘积；
4. 最后代入圆柱体液柱的体积公式$V=Sh$，化简后即可得到液体内部深度为$h$处的压强公式。
【解析】
1. 液柱底面受到的液体压力等于其上方圆柱体液柱的重力，即$F = G$。
根据压强的定义式$p=\frac{F}{S}$，可得：
$p=\frac{G}{S}$
2. 根据重力与质量的关系$G=mg$，将上式变形为：
$p=\frac{mg}{S}$
3. 根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，变形得到$m=\rho V$，代入上式得：
$p=\frac{\rho Vg}{S}$
4. 圆柱体液柱的体积$V=Sh$，将其代入上式：
$p=\frac{\rho Shg}{S}$
化简后可得：
$p=\rho gh$
【答案】
推证得出液体内部深度为$h$处的压强$\boldsymbol{p=\rho gh}$。
【知识点】
液体压强公式推导、压强定义式、密度公式应用
【点评】
本题通过构建“液柱模型”，综合运用压强定义式、重力公式、密度公式推导液体内部压强公式，考查了对物理公式的综合运用能力与逻辑推导能力，是液体压强部分的核心基础推导题型，需熟练掌握各物理量间的转化关系。
【难度系数】
0.6
要推导液体内部深度为$h$处的压强，我们可以从压强的定义式入手：
1. 首先明确液柱底面受到的压力等于上方液柱的重力，将压力替换为液柱重力；
2. 利用重力公式$G=mg$，把重力转化为质量与$g$的乘积；
3. 结合密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，将质量转化为密度与体积的乘积；
4. 最后代入圆柱体液柱的体积公式$V=Sh$，化简后即可得到液体内部深度为$h$处的压强公式。
【解析】
1. 液柱底面受到的液体压力等于其上方圆柱体液柱的重力，即$F = G$。
根据压强的定义式$p=\frac{F}{S}$，可得：
$p=\frac{G}{S}$
2. 根据重力与质量的关系$G=mg$，将上式变形为：
$p=\frac{mg}{S}$
3. 根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，变形得到$m=\rho V$，代入上式得：
$p=\frac{\rho Vg}{S}$
4. 圆柱体液柱的体积$V=Sh$，将其代入上式：
$p=\frac{\rho Shg}{S}$
化简后可得：
$p=\rho gh$
【答案】
推证得出液体内部深度为$h$处的压强$\boldsymbol{p=\rho gh}$。
【知识点】
液体压强公式推导、压强定义式、密度公式应用
【点评】
本题通过构建“液柱模型”，综合运用压强定义式、重力公式、密度公式推导液体内部压强公式，考查了对物理公式的综合运用能力与逻辑推导能力，是液体压强部分的核心基础推导题型，需熟练掌握各物理量间的转化关系。
【难度系数】
0.6
9. (★★★)爱动手动脑的小明设计了一款液体密度测量装置,如图9.2-14所示。他在右侧加入适量的水,测得水面到橡皮膜中心的距离为10 cm,在左侧缓慢倒入待测果汁,直到橡皮膜刚好变平,测得果汁液面到橡皮膜中心的距离为8 cm。求:($\rho_{水}=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$,$g$取$10\ \mathrm{N/kg}$)
(1)右侧的水对橡皮膜中心的压强;
(2)果汁的密度。
(1)右侧的水对橡皮膜中心的压强;
(2)果汁的密度。
答案
(1) 由题意可得，右侧橡皮膜中心的深度$h_{\mathrm{水}}=10\ \mathrm{cm}=0.1\ \mathrm{m}$，
右侧水对橡皮膜中心的压强$p_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}gh=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×0.1\ \mathrm{m}=1.0×10^3\ \mathrm{Pa}$。
(2) 左侧橡皮膜中心的深度$h_{\mathrm{果汁}}=8\ \mathrm{cm}=0.08\ \mathrm{m}$，
橡皮膜变平说明左右两侧压强相等，由$p=\rho gh$得$\rho=\frac{p}{gh}$，
则果汁的密度$\rho_{\mathrm{果汁}}=\frac{p_{\mathrm{水}}}{gh_{\mathrm{果汁}}}=\frac{1.0×10^3\ \mathrm{Pa}}{10\ \mathrm{N/kg}×0.08\ \mathrm{m}}=1.25×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
右侧水对橡皮膜中心的压强$p_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}gh=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×0.1\ \mathrm{m}=1.0×10^3\ \mathrm{Pa}$。
(2) 左侧橡皮膜中心的深度$h_{\mathrm{果汁}}=8\ \mathrm{cm}=0.08\ \mathrm{m}$，
橡皮膜变平说明左右两侧压强相等，由$p=\rho gh$得$\rho=\frac{p}{gh}$，
则果汁的密度$\rho_{\mathrm{果汁}}=\frac{p_{\mathrm{水}}}{gh_{\mathrm{果汁}}}=\frac{1.0×10^3\ \mathrm{Pa}}{10\ \mathrm{N/kg}×0.08\ \mathrm{m}}=1.25×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
解析
【分析】
1. 对于第一问，要求右侧水对橡皮膜中心的压强，可直接利用液体压强公式$p=\rho gh$计算，需先将深度单位换算为国际单位米，再代入已知的水的密度、g值和深度求解。
2. 对于第二问，当橡皮膜刚好变平时，橡皮膜两侧受到的压强相等，即果汁对橡皮膜的压强等于水对橡皮膜的压强。已知果汁液面到橡皮膜的深度，利用液体压强公式的变形公式$\rho=\frac{p}{gh}$，代入相关数值即可求出果汁的密度。
【解析】
(1) 单位换算：右侧水面到橡皮膜中心的深度$h_{\mathrm{水}}=10\ \mathrm{cm}=0.1\ \mathrm{m}$。
根据液体压强公式$p=\rho gh$，右侧水对橡皮膜中心的压强：
$p_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}gh_{\mathrm{水}}=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×0.1\ \mathrm{m}=1.0×10^3\ \mathrm{Pa}$。
(2) 单位换算：左侧果汁液面到橡皮膜中心的深度$h_{\mathrm{果汁}}=8\ \mathrm{cm}=0.08\ \mathrm{m}$。
当橡皮膜刚好变平时，橡皮膜两侧压强相等，即$p_{\mathrm{果汁}}=p_{\mathrm{水}}=1.0×10^3\ \mathrm{Pa}$。
由$p=\rho gh$变形得$\rho=\frac{p}{gh}$，则果汁的密度：
$\rho_{\mathrm{果汁}}=\frac{p_{\mathrm{果汁}}}{gh_{\mathrm{果汁}}}=\frac{1.0×10^3\ \mathrm{Pa}}{10\ \mathrm{N/kg}×0.08\ \mathrm{m}}=1.25×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
【答案】
(1) $1.0×10^3\ \mathrm{Pa}$
(2) $1.25×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
【知识点】
液体压强公式；压强平衡条件
【点评】
本题考查液体压强的计算，解题关键是抓住“橡皮膜刚好变平时两侧压强相等”这一隐含条件，熟练运用液体压强公式及其变形公式计算，同时要注意单位换算的规范性。
【难度系数】
0.6
1. 对于第一问，要求右侧水对橡皮膜中心的压强，可直接利用液体压强公式$p=\rho gh$计算，需先将深度单位换算为国际单位米，再代入已知的水的密度、g值和深度求解。
2. 对于第二问，当橡皮膜刚好变平时，橡皮膜两侧受到的压强相等，即果汁对橡皮膜的压强等于水对橡皮膜的压强。已知果汁液面到橡皮膜的深度，利用液体压强公式的变形公式$\rho=\frac{p}{gh}$，代入相关数值即可求出果汁的密度。
【解析】
(1) 单位换算：右侧水面到橡皮膜中心的深度$h_{\mathrm{水}}=10\ \mathrm{cm}=0.1\ \mathrm{m}$。
根据液体压强公式$p=\rho gh$，右侧水对橡皮膜中心的压强：
$p_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}gh_{\mathrm{水}}=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×0.1\ \mathrm{m}=1.0×10^3\ \mathrm{Pa}$。
(2) 单位换算：左侧果汁液面到橡皮膜中心的深度$h_{\mathrm{果汁}}=8\ \mathrm{cm}=0.08\ \mathrm{m}$。
当橡皮膜刚好变平时，橡皮膜两侧压强相等，即$p_{\mathrm{果汁}}=p_{\mathrm{水}}=1.0×10^3\ \mathrm{Pa}$。
由$p=\rho gh$变形得$\rho=\frac{p}{gh}$，则果汁的密度：
$\rho_{\mathrm{果汁}}=\frac{p_{\mathrm{果汁}}}{gh_{\mathrm{果汁}}}=\frac{1.0×10^3\ \mathrm{Pa}}{10\ \mathrm{N/kg}×0.08\ \mathrm{m}}=1.25×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
【答案】
(1) $1.0×10^3\ \mathrm{Pa}$
(2) $1.25×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
【知识点】
液体压强公式；压强平衡条件
【点评】
本题考查液体压强的计算，解题关键是抓住“橡皮膜刚好变平时两侧压强相等”这一隐含条件，熟练运用液体压强公式及其变形公式计算，同时要注意单位换算的规范性。
【难度系数】
0.6
拓展创新
“蛟龙”号载人深潜器
“蛟龙”号载人深潜器(如图9.2-15所示)是我国首台自主设计、自主集成研制的作业型深海载人潜水器,也是目前世界上下潜能力最深的作业型载人潜水器。“蛟龙”号可在占世界海洋面积99.8%的广阔海域中使用,对我国开发利用深海资源有着重要的意义。“蛟龙”号最大工作设计深度为7 000 m。潜水器在下潜过程中受到海水的压力逐渐
“蛟龙”号载人深潜器
“蛟龙”号载人深潜器(如图9.2-15所示)是我国首台自主设计、自主集成研制的作业型深海载人潜水器,也是目前世界上下潜能力最深的作业型载人潜水器。“蛟龙”号可在占世界海洋面积99.8%的广阔海域中使用,对我国开发利用深海资源有着重要的意义。“蛟龙”号最大工作设计深度为7 000 m。潜水器在下潜过程中受到海水的压力逐渐
增大
,下潜到海面下7 000 m深处时受到海水的压强是$7×10^{7}$
Pa。(海水密度约为$1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$,$g$取$10\ \mathrm{N/kg}$)答案
增大
$7×10^7$
$7×10^7$
解析
【分析】
首先思考液体压强的影响因素，液体压强随深度的增加而增大。潜水器下潜时，深度逐渐增加，根据$ p = \rho gh $，海水密度和$ g $不变，深度$ h $增大则压强$ p $增大；再根据压力公式$ F = pS $，潜水器的受力面积$ S $不变，压强增大时，受到的海水压力也会增大。然后计算7000m深处的压强，直接利用液体压强公式$ p = \rho gh $，代入已知数值计算即可。
【解析】
1. 分析压力变化：
根据液体压强公式$ p = \rho gh $，潜水器在下潜过程中，海水密度$ \rho $和$ g $不变，下潜深度$ h $逐渐增大，所以受到海水的压强逐渐增大。
又因为压力$ F = pS $，潜水器的受力面积$ S $不变，压强$ p $增大，因此受到海水的压力逐渐增大。
2. 计算7000m深处的压强：
已知海水密度$ \rho = 1.0 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 $，$ g = 10\ \mathrm{N/kg} $，深度$ h = 7000\ \mathrm{m} $，代入液体压强公式：
$p = \rho gh = 1.0 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 10\ \mathrm{N/kg} × 7000\ \mathrm{m} = 7 × 10^7\ \mathrm{Pa}$
【答案】
增大；$ 7×10^7 $
【知识点】
液体压强的特点，液体压强的计算
【点评】
本题结合我国前沿科技成果“蛟龙”号，考查液体压强的相关知识，既需要掌握液体压强的影响因素，也需要熟练运用液体压强公式进行计算，体现了物理知识在实际科技中的应用。
【难度系数】
0.7
首先思考液体压强的影响因素，液体压强随深度的增加而增大。潜水器下潜时，深度逐渐增加，根据$ p = \rho gh $，海水密度和$ g $不变，深度$ h $增大则压强$ p $增大；再根据压力公式$ F = pS $，潜水器的受力面积$ S $不变，压强增大时，受到的海水压力也会增大。然后计算7000m深处的压强，直接利用液体压强公式$ p = \rho gh $，代入已知数值计算即可。
【解析】
1. 分析压力变化：
根据液体压强公式$ p = \rho gh $，潜水器在下潜过程中，海水密度$ \rho $和$ g $不变，下潜深度$ h $逐渐增大，所以受到海水的压强逐渐增大。
又因为压力$ F = pS $，潜水器的受力面积$ S $不变，压强$ p $增大，因此受到海水的压力逐渐增大。
2. 计算7000m深处的压强：
已知海水密度$ \rho = 1.0 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 $，$ g = 10\ \mathrm{N/kg} $，深度$ h = 7000\ \mathrm{m} $，代入液体压强公式：
$p = \rho gh = 1.0 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 10\ \mathrm{N/kg} × 7000\ \mathrm{m} = 7 × 10^7\ \mathrm{Pa}$
【答案】
增大；$ 7×10^7 $
【知识点】
液体压强的特点，液体压强的计算
【点评】
本题结合我国前沿科技成果“蛟龙”号，考查液体压强的相关知识，既需要掌握液体压强的影响因素，也需要熟练运用液体压强公式进行计算，体现了物理知识在实际科技中的应用。
【难度系数】
0.7
