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2. 某班举行个人投篮比赛，被污损的记录表记录了在规定时间内投进$n$个球的人数分布情况。已知投进 3 个球和 3 个球以上的人平均每人投进 3.5 个球，投进 4 个球和 4 个球以下的人平均每人投进 2.5 个球。问：投进 3 个球和 4 个球的各有多少人？
答案
设投进3个球的有$ x $人，投进4个球的有$ y $人。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}\frac{3x + 4y + 5×2}{x + y + 2} = 3.5 \frac{0×1 + 1×2 + 2×7 + 3x + 4y}{1 + 2 + 7 + x + y} = 2.5\end{cases}$
整理第一个方程：
$\begin{aligned}3x + 4y + 10 &= 3.5(x + y + 2) \\-x + y &= -6 \\y &= x - 6\end{aligned}$
整理第二个方程：
$\begin{aligned}16 + 3x + 4y &= 2.5(10 + x + y) \\x + 3y &= 18\end{aligned}$
将$ y = x - 6 $代入$ x + 3y = 18 $，解得$ x = 9 $，代入得$ y = 3 $。
3. 某班为了从甲、乙两名同学中选出班长，举行了一次演讲答辩与民主测评，A，B，C，D，E 五位评委对演讲答辩情况进行评价，全班 50 名同学参与了民主测评，结果如下表：
规定：演讲答辩得分按先去掉一个最高分和一个最低分，再算平均分的方法确定；民主测评得分$=$好的票数$×2$分$+$较好的票数$×1$分$+$一般的票数$×0$分，综合得分$=$演讲答辩得分$×(1 - a)+$民主测评得分$×a$(其中$0.5≤ a≤0.8$)。
(1) 当$a = 0.6$时，甲的综合得分是多少？
(2) 当$a$在什么范围内时，甲的综合得分更高？当$a$在什么范围内时，乙的综合得分更高？
规定：演讲答辩得分按先去掉一个最高分和一个最低分，再算平均分的方法确定；民主测评得分$=$好的票数$×2$分$+$较好的票数$×1$分$+$一般的票数$×0$分，综合得分$=$演讲答辩得分$×(1 - a)+$民主测评得分$×a$(其中$0.5≤ a≤0.8$)。
(1) 当$a = 0.6$时，甲的综合得分是多少？
(2) 当$a$在什么范围内时，甲的综合得分更高？当$a$在什么范围内时，乙的综合得分更高？
答案
3. (1) 甲的演讲答辩得分为 92 分，民主测评得分为 87 分，当 $a=0.6$ 时，甲的综合得分为 $92×(1-0.6)+87×0.6=89$（分）
(2) 因为乙的演讲答辩得分为 89 分，民主测评得分为 88 分，乙的综合得分 $=89(1-a)+88a$。由(1)知，甲的综合得分 $=92(1-a)+87a$。当 $92(1-a)+87a＞89(1-a)+88a$ 时，$a＜0.75$。又因为 $0.5≤ a≤ 0.8$，所以当 $0.5≤ a＜0.75$ 时，甲的综合得分更高；当 $92(1-a)+87a＜89(1-a)+88a$ 时，$a＞0.75$。又因为 $0.5≤ a≤ 0.8$，所以当 $0.75＜a≤ 0.8$ 时，乙的综合得分更高
(2) 因为乙的演讲答辩得分为 89 分，民主测评得分为 88 分，乙的综合得分 $=89(1-a)+88a$。由(1)知，甲的综合得分 $=92(1-a)+87a$。当 $92(1-a)+87a＞89(1-a)+88a$ 时，$a＜0.75$。又因为 $0.5≤ a≤ 0.8$，所以当 $0.5≤ a＜0.75$ 时，甲的综合得分更高；当 $92(1-a)+87a＜89(1-a)+88a$ 时，$a＞0.75$。又因为 $0.5≤ a≤ 0.8$，所以当 $0.75＜a≤ 0.8$ 时，乙的综合得分更高
