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3. 把函数 $ y = -4x^2 $ 的图象先向
右
平移2
个单位长度，再向上
平移3
个单位长度得到函数 $ y = -4(x - 2)^2 + 3 $ 的图象。答案
3. 右 2 上 3（或上 3 右 2）
4. 已知直线 $ y = -\sqrt{3}x + 3 $ 与坐标轴分别交于点 $ A, B $，点 $ P $ 在抛物线 $ y = -\frac{1}{3}(x - \sqrt{3})^2 + 4 $ 上，能使 $ △ ABP $ 为等腰三角形的点 $ P $ 有(
A.3 个
B.4 个
C.5 个
D.6 个
A
)。A.3 个
B.4 个
C.5 个
D.6 个
答案
4. A
5. 某二次函数当 $ x = 5 $ 时，有最大值 4，图象形状与函数 $ y = 3x^2 $ 的图象相同，则该二次函数的表达式为
$y = - 3(x - 5)^2 + 4$
。答案
5. $y = - 3(x - 5)^2 + 4$
6. 已知点 $ A(4, y_1) $， $ B(\sqrt{2}, y_2) $， $ C(-2, y_3) $ 都在二次函数 $ y = (x - 2)^2 - 1 $ 的图象上，则 $ y_1, y_2, y_3 $ 的大小关系是
$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$
。答案
6. $y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$
7. 如图，已知二次函数 $ y = a(x - h)^2 + \sqrt{3} $ 的图象经过原点 $ O(0, 0) $， $ A(2, 0) $。
(1) 写出该函数图象的对称轴；
(2) 若将线段 $ OA $ 绕点 $ O $ 逆时针旋转 $ 60° $ 到 $ OA' $，试判断点 $ A' $ 是不是该函数图象的顶点。
(1) 写出该函数图象的对称轴；
(2) 若将线段 $ OA $ 绕点 $ O $ 逆时针旋转 $ 60° $ 到 $ OA' $，试判断点 $ A' $ 是不是该函数图象的顶点。
答案
7. 解：(1)
∵二次函数 $y = a(x - h)^2 + \sqrt{3}$ 的图象经过原点 $O(0,0)$，$A(2,0)$，
∴该函数图象的对称轴为直线 $x = 1$．
(2)点 $A'$ 是该函数图象的顶点．理由如下：作 $A'B ⊥ x$ 轴于点 $B$（图略）．
∵线段 $OA$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $60^{\circ}$ 到 $OA'$，
∴$OA' = OA = 2$，$∠ A'OA = 60^{\circ}$．在 $Rt△ A'OB$ 中，$∠ OA'B = 30^{\circ}$，
∴$OB = \frac{1}{2}OA' = 1$，
∴$A'B = \sqrt{3}OB = \sqrt{3}$，
∴点 $A'$ 的坐标为 $(1,\sqrt{3})$．由题可求得该函数的表达式为 $y = - \sqrt{3}(x - 1)^2 + \sqrt{3}$，
∴点 $A'$ 为函数 $y = - \sqrt{3}(x - 1)^2 + \sqrt{3}$ 的图象的顶点．
∵二次函数 $y = a(x - h)^2 + \sqrt{3}$ 的图象经过原点 $O(0,0)$，$A(2,0)$，
∴该函数图象的对称轴为直线 $x = 1$．
(2)点 $A'$ 是该函数图象的顶点．理由如下：作 $A'B ⊥ x$ 轴于点 $B$（图略）．
∵线段 $OA$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $60^{\circ}$ 到 $OA'$，
∴$OA' = OA = 2$，$∠ A'OA = 60^{\circ}$．在 $Rt△ A'OB$ 中，$∠ OA'B = 30^{\circ}$，
∴$OB = \frac{1}{2}OA' = 1$，
∴$A'B = \sqrt{3}OB = \sqrt{3}$，
∴点 $A'$ 的坐标为 $(1,\sqrt{3})$．由题可求得该函数的表达式为 $y = - \sqrt{3}(x - 1)^2 + \sqrt{3}$，
∴点 $A'$ 为函数 $y = - \sqrt{3}(x - 1)^2 + \sqrt{3}$ 的图象的顶点．
8. 如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分 $ ACB $ 和矩形的三边 $ AE, ED, DB $ 组成，已知河底 $ ED $ 是水平的， $ ED = 16 \, \mathrm{m} $， $ AE = 8 \, \mathrm{m} $，抛物线的顶点 $ C $ 到 $ ED $ 距离是 $ 11 \, \mathrm{m} $，以 $ ED $ 所在的直线为 $ x $ 轴，抛物线的对称轴为 $ y $ 轴建立平面直角坐标系。
(1) 求抛物线的表达式。
(2) 已知从某时刻开始的 $ 40 \, \mathrm{h} $ 内，水面与河底 $ ED $ 的距离 $ h $（单位：$ \mathrm{m} $）随时间 $ t $（单位：$ \mathrm{h} $）的变化满足函数关系为 $ h = -\frac{1}{128}(t - 19)^2 + 8(0 ≤ t ≤ 40) $，且当水面到顶点 $ C $ 的距离不大于 $ 5 \, \mathrm{m} $ 时，需禁止船只通行。请通过计算说明：在这一时段内，需多长时间禁止船只通行？
(1) 求抛物线的表达式。
(2) 已知从某时刻开始的 $ 40 \, \mathrm{h} $ 内，水面与河底 $ ED $ 的距离 $ h $（单位：$ \mathrm{m} $）随时间 $ t $（单位：$ \mathrm{h} $）的变化满足函数关系为 $ h = -\frac{1}{128}(t - 19)^2 + 8(0 ≤ t ≤ 40) $，且当水面到顶点 $ C $ 的距离不大于 $ 5 \, \mathrm{m} $ 时，需禁止船只通行。请通过计算说明：在这一时段内，需多长时间禁止船只通行？
答案
8. 解：(1)依题有顶点 $C$ 的坐标为 $(0,11)$，点 $B$ 的坐标为 $(8,8)$，设该抛物线的表达式为 $y = ax^2 + c$，有 $\begin{cases}8 = 64a + c,\\11 = c,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a = - \frac{3}{64},\\c = 11.\end{cases}$ 故抛物线的表达式为 $y = - \frac{3}{64}x^2 + 11$．
(2)令 $- \frac{1}{128}(t - 19)^2 + 8 = 11 - 5$，解得 $t_1 = 35$，$t_2 = 3$．
画出 $h = - \frac{1}{128}(t - 19)^2 + 8(0 ≤ t ≤ 40)$ 的图象（图略），由图象变化趋势可知，当 $3 ≤ t ≤ 35$ 时，水面到顶点 $C$ 的距离不大于 $5\mathrm{m}$，需禁止船只通行，禁止船只通行时间为 $35 - 3 = 32(\mathrm{h})$．故在这一时段内，需 $32\mathrm{h}$ 禁止船只通行．
(2)令 $- \frac{1}{128}(t - 19)^2 + 8 = 11 - 5$，解得 $t_1 = 35$，$t_2 = 3$．
画出 $h = - \frac{1}{128}(t - 19)^2 + 8(0 ≤ t ≤ 40)$ 的图象（图略），由图象变化趋势可知，当 $3 ≤ t ≤ 35$ 时，水面到顶点 $C$ 的距离不大于 $5\mathrm{m}$，需禁止船只通行，禁止船只通行时间为 $35 - 3 = 32(\mathrm{h})$．故在这一时段内，需 $32\mathrm{h}$ 禁止船只通行．
