1.已知$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{4}$，则$\frac{ab+bc+ac}{abc}=$

$\frac{1}{4}$

【分析】
本题考查异分母分式的加减运算，解题思路为：先将等式左侧的三个异分母分式通分，转化为同分母分式相加的形式，观察化简后的结果会发现其与待求代数式的结构完全一致，因此可直接结合已知等式得到待求式的数值。
【解析】
根据异分母分式的加减运算法则，对$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$通分，取最简公分母为$abc$：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{bc}{abc}+\frac{ac}{abc}+\frac{ab}{abc}=\frac{bc+ac+ab}{abc}=\frac{ab+bc+ac}{abc}$
已知$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{4}$，因此可得$\frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
1.分式的加减运算
2.分式的通分
【点评】
本题是分式加减运算的基础考查题型，只要熟练掌握异分母分式通分、加减的运算规则，就能快速得出答案，解题过程无需复杂计算。
【难度系数】
0.9

2.已知$x+2xy-y=0$且$xy≠0$,则$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$的值为()

B

【分析】
首先观察所求代数式$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$，先对其通分化简，得到含$x-y$和$xy$的形式；再对已知等式$x+2xy-y=0$移项变形，得到$y-x$与$xy$的数量关系，最后将其整体代入化简后的所求代数式计算即可，题目给出$xy≠0$，可保证分式运算时分母不为0，运算合法。
【解析】
1. 化简所求代数式
对$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$通分（最简公分母为$xy$）：
$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{y}{xy}-\frac{x}{xy}=\frac{y-x}{xy}$
2. 变形已知等式
对$x+2xy-y=0$移项可得：
$y-x=2xy$
3. 整体代入计算
将$y-x=2xy$代入$\frac{y-x}{xy}$，结合$xy≠0$，约去分母和分子的公因式$xy$：
$\frac{y-x}{xy}=\frac{2xy}{xy}=2$
因此所求代数式的值为2，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式的加减运算；整体代入求值；等式的性质
【点评】
本题是分式运算的常见题型，解题核心是避免单独求解$x$、$y$的值，通过通分所求式、变形已知式，利用整体代入思想简化运算，降低解题难度。
【难度系数】
0.7

3.已知$ab=1$，则$\frac{1}{a^2 + 1} + \frac{1}{b^2 + 1} =$

1

【分析】
解题可从两种符合八年级知识的思路入手：①先对所求分式通分求和，再将$ab=1$整体代入化简；②利用$ab=1$的条件，将分式中的1替换为$ab$，约分后再相加。我们以通用的通分法为例梳理步骤：第一步找公分母通分，计算分子的和；第二步展开分母，将$ab=1$转化为$a^2b^2=1$后代入分母化简；最后约分得到结果。
【解析】
方法一：通分化简法
先对两个分式通分，公分母为$(a^2+1)(b^2+1)$：
$\frac{1}{a^2 + 1} + \frac{1}{b^2 + 1} = \frac{(b^2+1) + (a^2+1)}{(a^2+1)(b^2+1)}$
整理分子得：分子$=a^2+b^2+2$
展开分母得：$(a^2+1)(b^2+1)=a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1$
已知$ab=1$，因此$a^2b^2=(ab)^2=1^2=1$，代入分母得：
分母$=1 + a^2 + b^2 + 1 = a^2+b^2+2$
因此原式$=\frac{a^2+b^2+2}{a^2+b^2+2}=1$（$a^2+b^2+2≠0$，满足分式有意义的条件）
方法二：代换约分法
将分式中的1替换为$ab$：
$\frac{1}{a^2+1}=\frac{ab}{a^2+ab}=\frac{ab}{a(a+b)}=\frac{b}{a+b}$
$\frac{1}{b^2+1}=\frac{ab}{b^2+ab}=\frac{ab}{b(a+b)}=\frac{a}{a+b}$
因此原式$=\frac{b}{a+b}+\frac{a}{a+b}=\frac{a+b}{a+b}=1$
【答案】
1
【知识点】
分式的加减运算、分式的约分、代数式化简求值
【点评】
本题是分式运算的典型技巧题，核心是利用已知条件$ab=1$进行整体代换或通分化简，熟练掌握分式的基本性质、通分约分规则是解题的关键。
【难度系数】
0.7

4.计算:
(1)$\frac{12}{m^2 -9} + \frac{2}{3 - m}$;
(2)$\frac{1}{m + 2} + \frac{4}{m^2 -4}$;
(3)$a + 2 - \frac{4}{2 - a}$;
(4)$\frac{x^2 +2x}{x^2 -4} - \frac{2}{x -2}$.

解:(1)原式$=\frac{12}{(m+3)(m-3)}-\frac{2(m+3)}{(m+3)(m-3)}$
$=\frac{6-2m}{(m+3)(m-3)}$
$=-\frac{2}{m+3}$；
(2)原式$=\frac{m-2}{(m+2)(m-2)}+\frac{4}{(m+2)(m-2)}$
$=\frac{m+2}{(m+2)(m-2)}$
$=\frac{1}{m-2}$；
(3)原式$=\frac{(a+2)(2-a)}{2-a}-\frac{4}{2-a}$
$=\frac{-a^2}{2-a}$
$=\frac{a^2}{a-2}$；
(4)原式$=\frac{x(x+2)}{(x+2)(x-2)}-\frac{2}{x-2}$
$=\frac{x}{x-2}-\frac{2}{x-2}$
$=1$。

【分析】
这四道题均为分式加减运算，解题思路如下：①先对各分式的分母因式分解，区分同分母或异分母加减；②异分母运算先确定最简公分母，若分母互为相反数（如3-m和m-3）先统一符号再通分，若有整式项可将整式看作分母为1的分式再通分；③通分后按同分母分式加减法则计算分子，分子可因式分解的要分解；④最后约分化为最简分式或整式即可。
【解析】
(1) 先因式分解分母，统一符号确定最简公分母为$(m+3)(m-3)$：
原式$=\frac{12}{(m+3)(m-3)}-\frac{2(m+3)}{(m+3)(m-3)}$
合并分子后约分：
$=\frac{12-2m-6}{(m+3)(m-3)}=\frac{6-2m}{(m+3)(m-3)}=\frac{-2(m-3)}{(m+3)(m-3)}=-\frac{2}{m+3}$
(2) 因式分解分母得最简公分母为$(m+2)(m-2)$：
原式$=\frac{m-2}{(m+2)(m-2)}+\frac{4}{(m+2)(m-2)}$
合并分子后约分：
$=\frac{m-2+4}{(m+2)(m-2)}=\frac{m+2}{(m+2)(m-2)}=\frac{1}{m-2}$
(3) 将整式$a+2$看作分母为1的分式，最简公分母为$2-a$：
原式$=\frac{(a+2)(2-a)}{2-a}-\frac{4}{2-a}$
计算分子后整理符号：
$=\frac{4-a^2-4}{2-a}=\frac{-a^2}{2-a}=\frac{a^2}{a-2}$
(4) 先对第一个分式的分子分母因式分解后约分，再按同分母分式计算：
原式$=\frac{x(x+2)}{(x+2)(x-2)}-\frac{2}{x-2}=\frac{x}{x-2}-\frac{2}{x-2}$
合并分子后约分：
$=\frac{x-2}{x-2}=1$
【答案】
(1)$-\frac{2}{m+3}$；(2)$\frac{1}{m-2}$；(3)$\frac{a^2}{a-2}$；(4)$1$
【知识点】
分式加减运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式加减的基础题型，解题核心是掌握异分母分式加减的步骤，要特别注意分母互为相反数时的符号处理，以及整式和分式运算时的通分方法，最终结果必须化为最简形式。
【难度系数】
0.7

5.阅读作差法比较分式大小.
例如:$M=x+1,N=\dfrac{4x}{x+1}(x＞0)$,比较$M$与$N$的大小.
解:$M-N=x+1-\dfrac{4x}{x+1}=\dfrac{(x+1)^2 -4x}{x+1}=\dfrac{(x-1)^2}{x+1}≥0$,
$\therefore M≥ N$.
仿上述方法,解决下列问题:
(1)$P=\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n},Q=\dfrac{4}{m+n}$(其中$m,n$为正数,且$m≠n$),比较$P$与$Q$的大小;
(2)已知$ab=1,A=\dfrac{1}{1+a},B=\dfrac{b}{1+b}$,比较$A$与$B$的大小.

解:(1)$P-Q=\frac{1}{m}+\frac{1}{n}-\frac{4}{m+n}$
$=\frac{(m+n)^2-4mn}{mn(m+n)}$
$=\frac{(m-n)^2}{mn(m+n)}＞0$,
$\therefore P＞Q$；
(2)$A-B=\frac{1}{1+a}-\frac{b}{1+b}$
$=\frac{1+b-(b+ab)}{(1+a)(1+b)}$
$=0$,
$\therefore A=B$。

【分析】
本题考查用作差法比较分式的大小，解题思路可分为三步：第一步计算两个代数式的差，第二步对差进行通分、因式分解等化简，第三步结合已知条件判断差的正负，进而得出两个代数式的大小关系。针对第(1)问，m、n均为正数且不相等，可利用完全平方公式化简差的分子，再判断差的正负；针对第(2)问，已知ab=1，化简差的分子后代入已知条件即可判断差的取值。
【解析】
(1) 计算P与Q的差：
$P-Q=\frac{1}{m}+\frac{1}{n}-\frac{4}{m+n}$
通分，公分母为$mn(m+n)$，得：
$=\frac{n(m+n)+m(m+n)-4mn}{mn(m+n)}$
$=\frac{m^2+2mn+n^2-4mn}{mn(m+n)}$
$=\frac{m^2-2mn+n^2}{mn(m+n)}=\frac{(m-n)^2}{mn(m+n)}$
∵m、n为正数，且$m≠n$，
∴$mn(m+n)＞0$，$(m-n)^2＞0$，
∴$P-Q＞0$，即$P＞Q$。
(2) 计算A与B的差：
$A-B=\frac{1}{1+a}-\frac{b}{1+b}$
通分，公分母为$(1+a)(1+b)$，得：
$=\frac{1+b - b(1+a)}{(1+a)(1+b)}$
展开分子并化简：
$=\frac{1+b - b - ab}{(1+a)(1+b)}=\frac{1-ab}{(1+a)(1+b)}$
∵$ab=1$，
∴分子$1-ab=0$，
∴$A-B=0$，即$A=B$。
【答案】
(1) $P＞Q$；(2) $A=B$
【知识点】
作差法比较大小，分式加减运算，代数式化简
【点评】
本题是分式运算的基础应用题型，核心是掌握作差比较法的逻辑，熟练运用通分、因式分解、完全平方公式等技巧化简代数式，再结合已知条件判断差值的符号即可解题。
【难度系数】
0.7