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例3 判断:有两个角是锐角的三角形就是锐角三角形。 ()
【错解】√
【分析】一个三角形中至少有2个锐角,三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形。
【答案】×
【错解】√
【分析】一个三角形中至少有2个锐角,三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形。
【答案】×
答案
×
解析
【分析】
拿到这道判断题我们可以按两步思路思考：首先回忆三角形内角和为180°，一个三角形里不可能同时存在2个及以上的直角或者钝角，因此所有三角形都至少有2个锐角，说明“有两个锐角”是所有三角形共有的特点，不可能只对应锐角三角形；其次回忆锐角三角形的明确定义，锐角三角形要求三个角全部都是锐角，我们也可以举反例验证：比如两个锐角分别是30°和20°，第三个角是130°，这是钝角三角形，同样满足有两个锐角的条件，显然不属于锐角三角形，因此题干说法错误。
【解析】
1. 根据三角形内角和为180°的性质，任意三角形中最多只能存在1个直角，或者最多只能存在1个钝角，由此可得所有三角形都至少有2个锐角。
2. 锐角三角形的判定标准是三个内角全部都是锐角，仅存在两个锐角的三角形，第三个角可以是直角或者钝角，对应的分别是直角三角形、钝角三角形，并不一定是锐角三角形。
因此题干的表述是错误的。
【答案】
×
【知识点】
三角形内角和，锐角三角形定义，三角形按角分类
【点评】
本题是三角形分类板块的典型易错题，核心考查对锐角三角形定义的准确理解，不少初学者会忽略“任意三角形都至少有2个锐角”的性质，误把“有两个锐角”当成锐角三角形的判定条件，解题时可以通过举反例的方式快速验证表述是否错误。
【难度系数】
0.7
拿到这道判断题我们可以按两步思路思考：首先回忆三角形内角和为180°，一个三角形里不可能同时存在2个及以上的直角或者钝角，因此所有三角形都至少有2个锐角，说明“有两个锐角”是所有三角形共有的特点，不可能只对应锐角三角形；其次回忆锐角三角形的明确定义，锐角三角形要求三个角全部都是锐角，我们也可以举反例验证：比如两个锐角分别是30°和20°，第三个角是130°，这是钝角三角形，同样满足有两个锐角的条件，显然不属于锐角三角形，因此题干说法错误。
【解析】
1. 根据三角形内角和为180°的性质，任意三角形中最多只能存在1个直角，或者最多只能存在1个钝角，由此可得所有三角形都至少有2个锐角。
2. 锐角三角形的判定标准是三个内角全部都是锐角，仅存在两个锐角的三角形，第三个角可以是直角或者钝角，对应的分别是直角三角形、钝角三角形，并不一定是锐角三角形。
因此题干的表述是错误的。
【答案】
×
【知识点】
三角形内角和，锐角三角形定义，三角形按角分类
【点评】
本题是三角形分类板块的典型易错题，核心考查对锐角三角形定义的准确理解，不少初学者会忽略“任意三角形都至少有2个锐角”的性质，误把“有两个锐角”当成锐角三角形的判定条件，解题时可以通过举反例的方式快速验证表述是否错误。
【难度系数】
0.7
变式训练5 欢欢不小心撕去三角形的一个角,测量后她发现剩余的两个角分别是$20^{\circ }$和$80^{\circ }$,撕去的角应是(
80
)°,原来的三角形是(锐角
)三角形,也是(等腰
)三角形。答案
变式训练5 80 锐角 等腰
解析
【分析】
首先我们要利用三角形内角和的性质来计算撕去的角的度数：三角形的内角和固定是180°，已知剩余两个内角分别是20°和80°，用180°减去这两个已知角的度数就能得到缺失角的度数。得到三个内角的全部度数后，先按照角的大小判断三角形按角分类的类型：如果三个角都小于90°就是锐角三角形；再观察是否有两个角度数相等，若有则对应两条边相等，就属于等腰三角形，按边分类即可得到第二个分类结果。
【解析】
1. 计算撕去的角的度数：
根据三角形内角和为$180°$，可得撕去的角的度数为：
$180° - 20° - 80° = 80°$
2. 判断按角分类的类型：
此时三角形三个内角分别为$20°$、$80°$、$80°$，三个角都小于$90°$，都是锐角，因此原来的三角形是锐角三角形。
3. 判断按边分类的类型：
该三角形有两个内角都是$80°$，度数相等，说明对应的两条边长度相等，因此它也是等腰三角形。
【答案】
80 锐角 等腰
【知识点】
三角形内角和，三角形按角分类，三角形按边分类
【点评】
本题是三角形基础性质的综合应用题，既考查了三角形内角和的简单计算，又同时覆盖了三角形按角、按边两种不同分类标准的判断，需要学生准确掌握不同分类的判定规则，避免混淆分类依据，整体侧重基础知识点的巩固。
【难度系数】
0.8
首先我们要利用三角形内角和的性质来计算撕去的角的度数：三角形的内角和固定是180°，已知剩余两个内角分别是20°和80°，用180°减去这两个已知角的度数就能得到缺失角的度数。得到三个内角的全部度数后，先按照角的大小判断三角形按角分类的类型：如果三个角都小于90°就是锐角三角形；再观察是否有两个角度数相等，若有则对应两条边相等，就属于等腰三角形，按边分类即可得到第二个分类结果。
【解析】
1. 计算撕去的角的度数：
根据三角形内角和为$180°$，可得撕去的角的度数为：
$180° - 20° - 80° = 80°$
2. 判断按角分类的类型：
此时三角形三个内角分别为$20°$、$80°$、$80°$，三个角都小于$90°$，都是锐角，因此原来的三角形是锐角三角形。
3. 判断按边分类的类型：
该三角形有两个内角都是$80°$，度数相等，说明对应的两条边长度相等，因此它也是等腰三角形。
【答案】
80 锐角 等腰
【知识点】
三角形内角和，三角形按角分类，三角形按边分类
【点评】
本题是三角形基础性质的综合应用题，既考查了三角形内角和的简单计算，又同时覆盖了三角形按角、按边两种不同分类标准的判断，需要学生准确掌握不同分类的判定规则，避免混淆分类依据，整体侧重基础知识点的巩固。
【难度系数】
0.8
变式训练6 在一个三角形中三个内角的关系是$∠1+∠2=∠3$,那么可以判断这是一个什么三角形? 并说明理由。
答案
变式训练6 直角三角形。理由:因为$∠1+$
$∠2+∠3=180^{\circ },∠1+∠2=∠3$,所以$∠1+$
$∠2+∠1+∠2=180^{\circ }$,即$(∠1+∠2)×2=$
$180^{\circ }$,所以$∠1+∠2=90^{\circ },∠3=∠1+∠2=$
$90^{\circ }$。可以判断这是一个直角三角形。
$∠2+∠3=180^{\circ },∠1+∠2=∠3$,所以$∠1+$
$∠2+∠1+∠2=180^{\circ }$,即$(∠1+∠2)×2=$
$180^{\circ }$,所以$∠1+∠2=90^{\circ },∠3=∠1+∠2=$
$90^{\circ }$。可以判断这是一个直角三角形。
解析
【分析】
我们首先回忆三角形的基础性质：任意三角形的三个内角和固定为180°。题目已经给出∠1+∠2=∠3的条件，我们可以用等量代换的思路，把内角和公式里的∠3替换成和它相等的∠1+∠2，就能快速算出∠3的具体度数，再结合三角形按角分类的判定规则，就能确定这个三角形的类型。
【解析】
1. 依据三角形内角和的性质，可得三个角的和满足：
$∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°$
2. 将题目的已知条件$∠1+∠2=∠3$代入上述等式，进行等量替换：
$∠1 + ∠2 + ∠1 + ∠2 = 180°$，也就是$(∠1+∠2)×2=180°$
3. 计算可得：$∠1+∠2=90°$，因此$∠3=∠1+∠2=90°$
4. 根据三角形分类规则，含有90°直角的三角形是直角三角形，即可判定该三角形的类型。
【答案】
直角三角形。理由:因为$∠1+∠2+∠3=180^{\circ },∠1+∠2=∠3$,所以$∠1+∠2+∠1+∠2=180^{\circ }$,即$(∠1+∠2)×2=180^{\circ }$,所以$∠1+∠2=90^{\circ },∠3=∠1+∠2=90^{\circ }$。可以判断这是一个直角三角形。
【知识点】
三角形内角和，直角三角形判定
【点评】
本题是三角形性质的基础应用题，核心考察等量代换思想在角度计算中的运用，解题门槛低，不需要复杂运算，能够帮助学生巩固三角形内角和规律、以及按角给三角形分类的判定规则。
【难度系数】
0.8
我们首先回忆三角形的基础性质：任意三角形的三个内角和固定为180°。题目已经给出∠1+∠2=∠3的条件，我们可以用等量代换的思路，把内角和公式里的∠3替换成和它相等的∠1+∠2，就能快速算出∠3的具体度数，再结合三角形按角分类的判定规则，就能确定这个三角形的类型。
【解析】
1. 依据三角形内角和的性质，可得三个角的和满足：
$∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°$
2. 将题目的已知条件$∠1+∠2=∠3$代入上述等式，进行等量替换：
$∠1 + ∠2 + ∠1 + ∠2 = 180°$，也就是$(∠1+∠2)×2=180°$
3. 计算可得：$∠1+∠2=90°$，因此$∠3=∠1+∠2=90°$
4. 根据三角形分类规则，含有90°直角的三角形是直角三角形，即可判定该三角形的类型。
【答案】
直角三角形。理由:因为$∠1+∠2+∠3=180^{\circ },∠1+∠2=∠3$,所以$∠1+∠2+∠1+∠2=180^{\circ }$,即$(∠1+∠2)×2=180^{\circ }$,所以$∠1+∠2=90^{\circ },∠3=∠1+∠2=90^{\circ }$。可以判断这是一个直角三角形。
【知识点】
三角形内角和，直角三角形判定
【点评】
本题是三角形性质的基础应用题，核心考察等量代换思想在角度计算中的运用，解题门槛低，不需要复杂运算，能够帮助学生巩固三角形内角和规律、以及按角给三角形分类的判定规则。
【难度系数】
0.8
例4 判断:平行四边形是特殊的梯形。 ()
【错解】√
【分析】两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形,梯形是只有一组对边平行的四边形。
【答案】×
【错解】√
【分析】两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形,梯形是只有一组对边平行的四边形。
【答案】×
答案
×
解析
【分析】
拿到这道判断题，我们的核心解题思路是从平行四边形和梯形的定义出发，对比二者的核心特征差异：第一步先回忆平行四边形的定义，明确它的对边平行属性；第二步回忆梯形的定义，重点关注定义里的特殊限定条件；第三步对比两类图形的特征，判断平行四边形是否符合梯形的判定要求，即可得出结论。很多同学出现错解，是只注意到平行四边形存在一组平行对边，忽略了梯形定义里的关键限定词，才会出现误判。
【解析】
解：
1. 平行四边形的定义：两组对边分别互相平行的四边形，它的两组对边都满足平行关系。
2. 梯形的定义：只有一组对边互相平行的四边形，其中“只有一组”是核心限定，代表四边形有且仅有一组对边平行，另一组对边一定不平行。
平行四边形有两组对边平行，不满足梯形“只有一组对边平行”的要求，因此平行四边形不属于梯形，题干说法错误。
【答案】
×
【知识点】
平行四边形定义，梯形定义，四边形分类
【点评】
本题属于基础几何概念辨析题，易错点是容易遗漏梯形定义中“只有一组对边平行”的“只”字限定，误将梯形概念理解为“有一组对边平行的四边形”，从而错误认为平行四边形是特殊梯形，解题时要精准记忆几何定义中的关键修饰词，明确不同四边形的边界特征。
【难度系数】
0.6
拿到这道判断题，我们的核心解题思路是从平行四边形和梯形的定义出发，对比二者的核心特征差异：第一步先回忆平行四边形的定义，明确它的对边平行属性；第二步回忆梯形的定义，重点关注定义里的特殊限定条件；第三步对比两类图形的特征，判断平行四边形是否符合梯形的判定要求，即可得出结论。很多同学出现错解，是只注意到平行四边形存在一组平行对边，忽略了梯形定义里的关键限定词，才会出现误判。
【解析】
解：
1. 平行四边形的定义：两组对边分别互相平行的四边形，它的两组对边都满足平行关系。
2. 梯形的定义：只有一组对边互相平行的四边形，其中“只有一组”是核心限定，代表四边形有且仅有一组对边平行，另一组对边一定不平行。
平行四边形有两组对边平行，不满足梯形“只有一组对边平行”的要求，因此平行四边形不属于梯形，题干说法错误。
【答案】
×
【知识点】
平行四边形定义，梯形定义，四边形分类
【点评】
本题属于基础几何概念辨析题，易错点是容易遗漏梯形定义中“只有一组对边平行”的“只”字限定，误将梯形概念理解为“有一组对边平行的四边形”，从而错误认为平行四边形是特殊梯形，解题时要精准记忆几何定义中的关键修饰词，明确不同四边形的边界特征。
【难度系数】
0.6
变式训练7 一个梯形的上底长5厘米、下底长8厘米。若将上底延长(
3
)厘米,它就变成平行四边形;若将上底缩短5厘米它就变成(三角
)形。答案
变式训练7 3 三角
解析
【分析】
我们可以结合不同平面图形的边的特征来推导：首先第一空，梯形原本的上下底是互相平行的，要让梯形变成平行四边形，只需要让这组平行的对边长度相等即可，用下底长度减去上底长度就能算出需要延长的长度。第二空，先计算上底缩短5厘米之后的剩余长度，当上底长度变为0时，原本的四条边就只剩三条边，由此就能判断出最终的图形类型。
【解析】
1. 求上底延长的长度：
平行四边形的两组对边平行且相等，该梯形上下底已经互相平行，要转化为平行四边形，需要上底长度等于下底长度，因此需要延长的长度为：
$8 - 5 = 3$（厘米）
2. 判断上底缩短5厘米后的图形：
上底原本长5厘米，缩短5厘米后，上底长度变为$5 - 5 = 0$厘米，此时上底的两个端点完全重合，图形仅剩3条边，因此变成三角形。
【答案】3 三角
【知识点】
平行四边形特征；梯形特征；三角形认识
【点评】
本题属于平面图形基础转化题，核心考察学生对梯形、平行四边形、三角形的边的特征的掌握程度，易错点是第二空容易误判为普通四边形，忽略上底缩短到长度为0的特殊情况，理清边的长度变化和图形形态的对应关系就可以轻松解题。
【难度系数】
0.9
我们可以结合不同平面图形的边的特征来推导：首先第一空，梯形原本的上下底是互相平行的，要让梯形变成平行四边形，只需要让这组平行的对边长度相等即可，用下底长度减去上底长度就能算出需要延长的长度。第二空，先计算上底缩短5厘米之后的剩余长度，当上底长度变为0时，原本的四条边就只剩三条边，由此就能判断出最终的图形类型。
【解析】
1. 求上底延长的长度：
平行四边形的两组对边平行且相等，该梯形上下底已经互相平行，要转化为平行四边形，需要上底长度等于下底长度，因此需要延长的长度为：
$8 - 5 = 3$（厘米）
2. 判断上底缩短5厘米后的图形：
上底原本长5厘米，缩短5厘米后，上底长度变为$5 - 5 = 0$厘米，此时上底的两个端点完全重合，图形仅剩3条边，因此变成三角形。
【答案】3 三角
【知识点】
平行四边形特征；梯形特征；三角形认识
【点评】
本题属于平面图形基础转化题，核心考察学生对梯形、平行四边形、三角形的边的特征的掌握程度，易错点是第二空容易误判为普通四边形，忽略上底缩短到长度为0的特殊情况，理清边的长度变化和图形形态的对应关系就可以轻松解题。
【难度系数】
0.9
变式训练8 一个直角梯形的一条腰长13厘米,下底长12厘米,上底延长5厘米后,就变成了一个正方形,这个直角梯形的周长是多少厘米?
答案
变式训练8 $12-5=7$(厘米)
$12+12+7+13=44$(厘米)
答:这个直角梯形的周长是44厘米。
$12+12+7+13=44$(厘米)
答:这个直角梯形的周长是44厘米。
解析
【分析】
我们从题目给出的“上底延长5厘米后变成正方形”这个核心条件入手思考：首先正方形的四条边长度全部相等，且四个角都是直角，结合原本的图形是直角梯形，说明这个直角梯形垂直于上下底的直角腰，长度一定和正方形的边长相等，同时梯形的下底本身就是正方形的一条边，已知下底长12厘米，所以正方形边长就是12厘米。第一步先求梯形的上底：上底延长5厘米之后才等于正方形的边长12厘米，因此上底长度为12减5。此时我们已经集齐梯形所有边的长度：算出的上底、已知的下底12厘米、推导得到的直角腰12厘米、题目给出的斜腰13厘米，最后把四条边相加就能算出直角梯形的周长。
【解析】
1. 计算直角梯形的上底长度
根据上底延长5厘米后得到边长为12厘米的正方形，可得：
$12-5=7$（厘米）
2. 推导直角腰的长度
直角梯形变形为正方形，说明梯形垂直于上下底的直角腰长度和正方形边长相等，即直角腰长为12厘米。
3. 计算直角梯形的周长
周长为梯形四条边的长度之和，代入数值计算：
$7+12+12+13=44$（厘米）
【答案】
这个直角梯形的周长是44厘米。
【知识点】
直角梯形性质，正方形特征，周长计算
【点评】
本题的突破口是抓住“变正方形”的隐含条件，无需额外计算梯形的高，就能直接得到直角腰的长度，同时快速求出上底，重点考察学生对直角梯形和正方形的图形特征的联动理解，是非常典型的小学几何基础变式题。
【难度系数】
0.7
我们从题目给出的“上底延长5厘米后变成正方形”这个核心条件入手思考：首先正方形的四条边长度全部相等，且四个角都是直角，结合原本的图形是直角梯形，说明这个直角梯形垂直于上下底的直角腰，长度一定和正方形的边长相等，同时梯形的下底本身就是正方形的一条边，已知下底长12厘米，所以正方形边长就是12厘米。第一步先求梯形的上底：上底延长5厘米之后才等于正方形的边长12厘米，因此上底长度为12减5。此时我们已经集齐梯形所有边的长度：算出的上底、已知的下底12厘米、推导得到的直角腰12厘米、题目给出的斜腰13厘米，最后把四条边相加就能算出直角梯形的周长。
【解析】
1. 计算直角梯形的上底长度
根据上底延长5厘米后得到边长为12厘米的正方形，可得：
$12-5=7$（厘米）
2. 推导直角腰的长度
直角梯形变形为正方形，说明梯形垂直于上下底的直角腰长度和正方形边长相等，即直角腰长为12厘米。
3. 计算直角梯形的周长
周长为梯形四条边的长度之和，代入数值计算：
$7+12+12+13=44$（厘米）
【答案】
这个直角梯形的周长是44厘米。
【知识点】
直角梯形性质，正方形特征，周长计算
【点评】
本题的突破口是抓住“变正方形”的隐含条件，无需额外计算梯形的高，就能直接得到直角腰的长度，同时快速求出上底，重点考察学生对直角梯形和正方形的图形特征的联动理解，是非常典型的小学几何基础变式题。
【难度系数】
0.7
