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11. 四(5)班有50名学生。一次考试后，数学老师发现前30名学生的平均分比后20名学生的平均分多12分。小刚对“平均”的概念不清楚，就把前30名同学的平均分加上后20名同学的平均分，再除以2，错误地认为这就是全班同学的平均分了。照这样计算，全班同学的平均分是提高了，还是降低了？提高或降低了多少分？
答案
11. 照小刚的方法进行计算,相当于把前 30 名同学比后 20 名同学平均多出的 12 分做了平分,因此相当于前 30 名同学每人少了 6 分,后 20 名同学每人多了 6 分。
合起来全班的总分就少了:$30×6−20×6=60$(分),全班的平均成绩也就降低了
$60÷(30+20)=1.2$(分)
合起来全班的总分就少了:$30×6−20×6=60$(分),全班的平均成绩也就降低了
$60÷(30+20)=1.2$(分)
解析
【分析】
解题时可以先通过设未知数的方式表示出后20名、前30名学生的平均分，分别算出正确的全班平均分和小刚错误算法得到的平均分，对比二者大小就能判断平均分是提高还是降低，再计算差值即可。也可以从分数差的角度分析：前30名平均分比后20名多12分，小刚的算法相当于把多出来的12分平均分给两组，再通过总分的变化推导平均分的变化。
【解析】
方法1：设后20名学生的平均分为$x$分，则前30名学生的平均分为$(x+12)$分。
1. 计算正确的全班总分：$30×(x+12)+20x=50x+360$
2. 正确的全班平均分：$(50x+360)÷50=x+7.2$
3. 小刚算的错误平均分：$[(x+12)+x]÷2=x+6$
4. 对比可知$x+7.2＞x+6$，所以平均分降低了，降低的分数为：$(x+7.2)-(x+6)=1.2$分。
方法2：小刚的算法相当于把前30名比后20名平均多出的12分平分，每组分得$12÷2=6$分，即前30名每人少算6分，后20名每人多算6分。
全班总分的变化为：$30×6-20×6=60$分，即总分少了60分。
平均降低的分数为：$60÷(30+20)=1.2$分。
【答案】
全班同学的平均分降低了，降低了1.2分。
【知识点】
平均数的计算、总分与平均分的关系、平均数的实际应用
【点评】
本题核心考查对平均数概念的理解，易错点是计算多组数据的总平均数时，直接对各组平均数求平均，忽略了各组数据的数量权重。解题只要牢记总平均数=总数量÷总份数，结合总分的变化分析就能快速求解。
【难度系数】
0.6
解题时可以先通过设未知数的方式表示出后20名、前30名学生的平均分，分别算出正确的全班平均分和小刚错误算法得到的平均分，对比二者大小就能判断平均分是提高还是降低，再计算差值即可。也可以从分数差的角度分析：前30名平均分比后20名多12分，小刚的算法相当于把多出来的12分平均分给两组，再通过总分的变化推导平均分的变化。
【解析】
方法1：设后20名学生的平均分为$x$分，则前30名学生的平均分为$(x+12)$分。
1. 计算正确的全班总分：$30×(x+12)+20x=50x+360$
2. 正确的全班平均分：$(50x+360)÷50=x+7.2$
3. 小刚算的错误平均分：$[(x+12)+x]÷2=x+6$
4. 对比可知$x+7.2＞x+6$，所以平均分降低了，降低的分数为：$(x+7.2)-(x+6)=1.2$分。
方法2：小刚的算法相当于把前30名比后20名平均多出的12分平分，每组分得$12÷2=6$分，即前30名每人少算6分，后20名每人多算6分。
全班总分的变化为：$30×6-20×6=60$分，即总分少了60分。
平均降低的分数为：$60÷(30+20)=1.2$分。
【答案】
全班同学的平均分降低了，降低了1.2分。
【知识点】
平均数的计算、总分与平均分的关系、平均数的实际应用
【点评】
本题核心考查对平均数概念的理解，易错点是计算多组数据的总平均数时，直接对各组平均数求平均，忽略了各组数据的数量权重。解题只要牢记总平均数=总数量÷总份数，结合总分的变化分析就能快速求解。
【难度系数】
0.6
在日常生活中,有时为了说明一个问题,需要对这个问题的一些相关数据进行统计。当数据较多时,为了能说明问题,就需要确定一个有代表性的数。中位数就是一种“具有代表性”的数。例如,一个航模小组有15名同学,期末时,老师统计这15名同学缺席的次数,按从少到多的顺序排列如下:
0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,3,18,19。
这里用平均数作为代表性的数合适吗?显然,有两个学生因生病经常缺席(分别缺席18次和19次),把这2个数据统计进去,缺席次数的平均数很高,达到平均每人缺席3次。实际上大多数人并非如此,小组活动的开展应该是正常的。
当出现极端数据时,我们可以将这一组数从小到大排列起来,取它正中间的数(即从左往右数,第8个数),作为代表性的数,这个数叫中位数。如果这组数据的个数是偶数个,就按从小到大的顺序排列起来,取最中间两个数的平均数。
在上面的这个问题中,中位数“1”比平均数更具有代表性。
(1) 在“为灾区献爱心”的活动中,六年级6个班的捐款金额如下图:
求这组数据的平均数和中位数。
(2) 在数据$-1,0,4,5,8$中插入一个数据$x$,使得这组数据的中位数是3,那么插入的$x$是多少?
0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,3,18,19。
这里用平均数作为代表性的数合适吗?显然,有两个学生因生病经常缺席(分别缺席18次和19次),把这2个数据统计进去,缺席次数的平均数很高,达到平均每人缺席3次。实际上大多数人并非如此,小组活动的开展应该是正常的。
当出现极端数据时,我们可以将这一组数从小到大排列起来,取它正中间的数(即从左往右数,第8个数),作为代表性的数,这个数叫中位数。如果这组数据的个数是偶数个,就按从小到大的顺序排列起来,取最中间两个数的平均数。
在上面的这个问题中,中位数“1”比平均数更具有代表性。
(1) 在“为灾区献爱心”的活动中,六年级6个班的捐款金额如下图:
求这组数据的平均数和中位数。
(2) 在数据$-1,0,4,5,8$中插入一个数据$x$,使得这组数据的中位数是3,那么插入的$x$是多少?
答案
12. (1) 平均数$=(3+5+4+6+5+7)÷6=5$,中位数$=(5+5)÷2=5$
(2) $3×2−4=2$
(2) $3×2−4=2$
解析
【分析】
(1) 先从条形统计图中读出6个班的捐款金额，根据“平均数=总数量÷总份数”计算平均数；计算中位数需要先把所有数据按从小到大排序，因为数据个数是偶数，取最中间两个数的平均数即可得到中位数。
(2) 插入x后数据总个数变成6个，为偶数个，中位数是排序后第3、4个数的平均数，已知中位数是3，可先算出中间两个数的和，再结合原有数据的排序规律，倒推出插入的x的值。
【解析】
(1) 从统计图中得到6个班的捐款金额分别为：3千元、5千元、4千元、6千元、5千元、7千元。
①计算平均数：
总捐款金额：$3+5+4+6+5+7=30$（千元）
平均数：$30÷6=5$
②计算中位数：
先把数据从小到大排序：$3,4,5,5,6,7$
数据共6个，取第3个和第4个数计算平均数：$(5+5)÷2=5$
(2) 插入x后数据共6个，中位数是第3和第4个数的平均数，已知中位数为3，因此中间两个数的和为：$3×2=6$
将原有数据从小到大排列：$-1,0,4,5,8$，要使中间两个数的和为6，其中较大的中间数只能是4，因此另一个中间数为：$6-4=2$，即插入的x是2。
【答案】
(1) 平均数是5，中位数是5；(2) 插入的x是2
【知识点】
平均数计算，中位数计算，统计图信息提取
【点评】
本题既考查了统计图表的信息读取、平均数和中位数的基础计算，也考查了对中位数概念的灵活运用，能帮助理解不同统计量的特点和适用场景。
【难度系数】
0.7
(1) 先从条形统计图中读出6个班的捐款金额，根据“平均数=总数量÷总份数”计算平均数；计算中位数需要先把所有数据按从小到大排序，因为数据个数是偶数，取最中间两个数的平均数即可得到中位数。
(2) 插入x后数据总个数变成6个，为偶数个，中位数是排序后第3、4个数的平均数，已知中位数是3，可先算出中间两个数的和，再结合原有数据的排序规律，倒推出插入的x的值。
【解析】
(1) 从统计图中得到6个班的捐款金额分别为：3千元、5千元、4千元、6千元、5千元、7千元。
①计算平均数：
总捐款金额：$3+5+4+6+5+7=30$（千元）
平均数：$30÷6=5$
②计算中位数：
先把数据从小到大排序：$3,4,5,5,6,7$
数据共6个，取第3个和第4个数计算平均数：$(5+5)÷2=5$
(2) 插入x后数据共6个，中位数是第3和第4个数的平均数，已知中位数为3，因此中间两个数的和为：$3×2=6$
将原有数据从小到大排列：$-1,0,4,5,8$，要使中间两个数的和为6，其中较大的中间数只能是4，因此另一个中间数为：$6-4=2$，即插入的x是2。
【答案】
(1) 平均数是5，中位数是5；(2) 插入的x是2
【知识点】
平均数计算，中位数计算，统计图信息提取
【点评】
本题既考查了统计图表的信息读取、平均数和中位数的基础计算，也考查了对中位数概念的灵活运用，能帮助理解不同统计量的特点和适用场景。
【难度系数】
0.7
