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1.（教材例题变式）我国是最早了解勾股定理的国家之一.据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时期的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是
（
（
D
）答案
1. D
解析
【分析】
要判断哪个图形不能证明勾股定理，我们采用面积法验证：先分别计算每个图形的整体总面积，再计算图形分割后所有小图形的面积之和，令二者相等得到等式，若化简后可推出$a^2+b^2=c^2$即可证明勾股定理，反之则不能，我们依次对四个选项分析即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：大正方形边长为$c$，总面积为$c^2$。图形由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成，每个直角三角形面积为$\frac{1}{2}ab$，小正方形边长为$b-a$，面积为$(b-a)^2$，因此总面积可表示为：
$4×\frac{1}{2}ab + (b-a)^2 = 2ab + b^2 - 2ab + a^2 = a^2+b^2$
可得$c^2=a^2+b^2$，能证明勾股定理，不符合题意。
选项B：图形是上底为$a$、下底为$b$、高为$a+b$的梯形，总面积为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a+b)^2$。梯形分割为2个全等的小直角三角形和1个等腰直角三角形，总面积可表示为：
$2×\frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2 = ab + \frac{1}{2}c^2$
联立两个面积表达式：$\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)=ab+\frac{1}{2}c^2$，化简得$a^2+b^2=c^2$，能证明勾股定理，不符合题意。
选项C：大正方形边长为$a+b$，总面积为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。图形由4个全等的直角三角形和1个边长为$c$的正方形组成，总面积可表示为：
$4×\frac{1}{2}ab + c^2 = 2ab + c^2$
联立得$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$，化简得$a^2+b^2=c^2$，能证明勾股定理，不符合题意。
选项D：大正方形边长为$a+b$，总面积为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。图形分割为2个小正方形和2个长方形，总面积可表示为$a^2+b^2+ab+ab=a^2+2ab+b^2$，化简后为恒等式，没有出现边$c$，无法推出$a^2+b^2=c^2$，不能证明勾股定理，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的证明，面积法
【点评】
本题围绕勾股定理的证明展开，核心考查对面积法的运用，需要学生通过建立面积相等的等式，化简判断是否符合勾股定理的形式，是勾股定理相关的基础考查题型。
【难度系数】
0.8
要判断哪个图形不能证明勾股定理，我们采用面积法验证：先分别计算每个图形的整体总面积，再计算图形分割后所有小图形的面积之和，令二者相等得到等式，若化简后可推出$a^2+b^2=c^2$即可证明勾股定理，反之则不能，我们依次对四个选项分析即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：大正方形边长为$c$，总面积为$c^2$。图形由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成，每个直角三角形面积为$\frac{1}{2}ab$，小正方形边长为$b-a$，面积为$(b-a)^2$，因此总面积可表示为：
$4×\frac{1}{2}ab + (b-a)^2 = 2ab + b^2 - 2ab + a^2 = a^2+b^2$
可得$c^2=a^2+b^2$，能证明勾股定理，不符合题意。
选项B：图形是上底为$a$、下底为$b$、高为$a+b$的梯形，总面积为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a+b)^2$。梯形分割为2个全等的小直角三角形和1个等腰直角三角形，总面积可表示为：
$2×\frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2 = ab + \frac{1}{2}c^2$
联立两个面积表达式：$\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)=ab+\frac{1}{2}c^2$，化简得$a^2+b^2=c^2$，能证明勾股定理，不符合题意。
选项C：大正方形边长为$a+b$，总面积为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。图形由4个全等的直角三角形和1个边长为$c$的正方形组成，总面积可表示为：
$4×\frac{1}{2}ab + c^2 = 2ab + c^2$
联立得$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$，化简得$a^2+b^2=c^2$，能证明勾股定理，不符合题意。
选项D：大正方形边长为$a+b$，总面积为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。图形分割为2个小正方形和2个长方形，总面积可表示为$a^2+b^2+ab+ab=a^2+2ab+b^2$，化简后为恒等式，没有出现边$c$，无法推出$a^2+b^2=c^2$，不能证明勾股定理，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的证明，面积法
【点评】
本题围绕勾股定理的证明展开，核心考查对面积法的运用，需要学生通过建立面积相等的等式，化简判断是否符合勾股定理的形式，是勾股定理相关的基础考查题型。
【难度系数】
0.8
2. 历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形，其中两个全等的直角三角形的边AE、EB在一条直线上. 证明时用到的面积相等的关系是 （
A.$S_{△ EDA}=S_{△ CEB}$
B.$S_{△ EDA}+S_{△ CEB}=S_{△ CDE}$
C.$S_{\mathrm{四边形}CDAE}=S_{\mathrm{四边形}CDEB}$
D.$S_{△ EDA}+S_{△ CDE}+S_{△ CEB}=S_{\mathrm{梯形}ABCD}$
D
）A.$S_{△ EDA}=S_{△ CEB}$
B.$S_{△ EDA}+S_{△ CEB}=S_{△ CDE}$
C.$S_{\mathrm{四边形}CDAE}=S_{\mathrm{四边形}CDEB}$
D.$S_{△ EDA}+S_{△ CDE}+S_{△ CEB}=S_{\mathrm{梯形}ABCD}$
答案
2. D
解析
【分析】
这道题考查勾股定理的经典等面积证法，解题思路是先明确图形的构成：整体是梯形ABCD，内部被分割为△EDA、△CDE、△CEB三个三角形。勾股定理的这类证法核心是“整体面积等于各部分面积之和”，我们只需判断哪个选项符合这个等面积逻辑即可。首先排除错误选项：A选项两个全等三角形面积相等是已知条件，不是证明勾股定理用到的核心面积关系；B、C选项的面积相等关系不符合图形的面积拆分逻辑，只有D选项符合整体面积等于各部分面积和的思路。
【解析】
该图形是勾股定理的经典“总统证法”示意图，大图形为梯形ABCD，它的面积有两种计算方式：
1. 直接用梯形面积公式计算：$S_{\mathrm{梯形}ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)· AB$
2. 用分割求和法计算：梯形由$△ EDA$、$△ CDE$、$△ CEB$三个三角形拼接而成，因此$S_{\mathrm{梯形}ABCD}=S_{△ EDA}+S_{△ CDE}+S_{△ CEB}$
证明勾股定理时就是联立这两个面积表达式，化简后得到勾股定理的结论，因此用到的面积相等关系为D选项表述的内容。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的证明；等面积法；梯形面积计算
【点评】
本题考查勾股定理的经典证明方法，解题关键是理解等面积法的核心逻辑：同一图形的面积，用整体法和分割法计算的结果相等。熟悉勾股定理的常见证法就能快速作答。
【难度系数】
0.8
这道题考查勾股定理的经典等面积证法，解题思路是先明确图形的构成：整体是梯形ABCD，内部被分割为△EDA、△CDE、△CEB三个三角形。勾股定理的这类证法核心是“整体面积等于各部分面积之和”，我们只需判断哪个选项符合这个等面积逻辑即可。首先排除错误选项：A选项两个全等三角形面积相等是已知条件，不是证明勾股定理用到的核心面积关系；B、C选项的面积相等关系不符合图形的面积拆分逻辑，只有D选项符合整体面积等于各部分面积和的思路。
【解析】
该图形是勾股定理的经典“总统证法”示意图，大图形为梯形ABCD，它的面积有两种计算方式：
1. 直接用梯形面积公式计算：$S_{\mathrm{梯形}ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)· AB$
2. 用分割求和法计算：梯形由$△ EDA$、$△ CDE$、$△ CEB$三个三角形拼接而成，因此$S_{\mathrm{梯形}ABCD}=S_{△ EDA}+S_{△ CDE}+S_{△ CEB}$
证明勾股定理时就是联立这两个面积表达式，化简后得到勾股定理的结论，因此用到的面积相等关系为D选项表述的内容。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的证明；等面积法；梯形面积计算
【点评】
本题考查勾股定理的经典证明方法，解题关键是理解等面积法的核心逻辑：同一图形的面积，用整体法和分割法计算的结果相等。熟悉勾股定理的常见证法就能快速作答。
【难度系数】
0.8
3. 用直角边长分别为a、b，斜边长为c的四个全等直角三角形拼成如图所示的图形.大正方形的面积可表示为$(a+b)^2$，还可以表示为________，于是可列等式为________，将等式化简、整理，得________.
答案
3. $c^2+2ab$ $(a+b)^2=c^2+2ab$ $a^2+b^2=c^2$
解析
【分析】
解题时运用等面积法的思路：同一个图形的面积可以用两种不同的方式表示，二者相等。首先观察图形结构，大正方形由4个全等直角三角形和1个边长为c的小正方形组成，我们可以先分别计算各组成部分的面积，求和得到大正方形面积的另一种表达式；再让两种面积表达式相等建立等式，最后通过整式化简就能得到对应的结论。
【解析】
1. 求大正方形面积的第二种表示：
每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，4个直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}ab=2ab$；
中间小正方形的边长为直角三角形的斜边长$c$，面积为$c^2$；
因此大正方形的面积还可以表示为$c^2 + 2ab$。
2. 列等式：
由于两种方式表示的都是同一个大正方形的面积，因此可得等式：$(a+b)^2 = c^2 + 2ab$。
3. 化简等式：
将左边的完全平方式展开，得$a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab$；
等式两边同时减去$2ab$，整理得$a^2 + b^2 = c^2$。
【答案】
$c^2+2ab$；$(a+b)^2=c^2+2ab$；$a^2+b^2=c^2$
【知识点】
等面积法；完全平方公式；勾股定理
【点评】
本题是勾股定理证明的典型基础题，核心考查利用面积的不同表示方法建立等量关系的思路，需掌握图形面积的拆分计算和整式的化简运算。
【难度系数】
0.8
解题时运用等面积法的思路：同一个图形的面积可以用两种不同的方式表示，二者相等。首先观察图形结构，大正方形由4个全等直角三角形和1个边长为c的小正方形组成，我们可以先分别计算各组成部分的面积，求和得到大正方形面积的另一种表达式；再让两种面积表达式相等建立等式，最后通过整式化简就能得到对应的结论。
【解析】
1. 求大正方形面积的第二种表示：
每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，4个直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}ab=2ab$；
中间小正方形的边长为直角三角形的斜边长$c$，面积为$c^2$；
因此大正方形的面积还可以表示为$c^2 + 2ab$。
2. 列等式：
由于两种方式表示的都是同一个大正方形的面积，因此可得等式：$(a+b)^2 = c^2 + 2ab$。
3. 化简等式：
将左边的完全平方式展开，得$a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab$；
等式两边同时减去$2ab$，整理得$a^2 + b^2 = c^2$。
【答案】
$c^2+2ab$；$(a+b)^2=c^2+2ab$；$a^2+b^2=c^2$
【知识点】
等面积法；完全平方公式；勾股定理
【点评】
本题是勾股定理证明的典型基础题，核心考查利用面积的不同表示方法建立等量关系的思路，需掌握图形面积的拆分计算和整式的化简运算。
【难度系数】
0.8
4. 将四个全等的直角三角形分别拼成正方形(如图 1、图 2),边长分别为 6 和 2.若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形(如图 3),其面积分别为 $ S_1 $、$ S_2 $,则 $ S_1 - S_2 = $
12
.答案
4. 12 解析:设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为 $a、b(a＞b)$. 根据题图 1,得 $a+b=6$. 根据题图 2,得 $a-b=2$. 联立方程组 $\begin{cases}a+b=6,\\a-b=2,\end{cases}$,解得 $\begin{cases}a=4,\\b=2,\end{cases}$$\therefore S_1=a^2=16,S_2=b^2=4,\therefore S_1-S_2=16-4=12$.
解析
【分析】
解决这道题的核心是从两个正方形拼图中提取直角三角形两条直角边的数量关系。首先设直角三角形较长直角边为$a$、较短直角边为$b$（$a＞b$）：观察图1的正方形，其边长恰好是两条直角边的和，可得$a+b=6$；观察图2的正方形，其边长恰好是两条直角边的差，可得$a-b=2$。联立两个方程即可求出$a$、$b$的值，再结合正方形面积公式计算$S_1$和$S_2$的差即可。
【解析】
设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为$a、b(a＞b)$。
根据题图1的正方形边长为6，得：$a+b=6$
根据题图2的正方形边长为2，得：$a-b=2$
联立方程组 $\begin{cases}a+b=6\\a-b=2\end{cases}$，
两式相加得$2a=8$，解得$a=4$，将$a=4$代入$a+b=6$得$b=2$，即$\begin{cases}a=4\\b=2\end{cases}$。
$\therefore S_1=a^2=4^2=16$，$S_2=b^2=2^2=4$，
$\therefore S_1-S_2=16-4=12$。
【答案】
12
【知识点】
二元一次方程组的应用，正方形面积计算，数形结合思想
【点评】
本题是勾股定理相关的典型拼图类题目，要求学生能从图形特征中提取等量关系建立方程求解，既考查了方程思想的应用，也能锻炼学生的图形观察能力，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
解决这道题的核心是从两个正方形拼图中提取直角三角形两条直角边的数量关系。首先设直角三角形较长直角边为$a$、较短直角边为$b$（$a＞b$）：观察图1的正方形，其边长恰好是两条直角边的和，可得$a+b=6$；观察图2的正方形，其边长恰好是两条直角边的差，可得$a-b=2$。联立两个方程即可求出$a$、$b$的值，再结合正方形面积公式计算$S_1$和$S_2$的差即可。
【解析】
设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为$a、b(a＞b)$。
根据题图1的正方形边长为6，得：$a+b=6$
根据题图2的正方形边长为2，得：$a-b=2$
联立方程组 $\begin{cases}a+b=6\\a-b=2\end{cases}$，
两式相加得$2a=8$，解得$a=4$，将$a=4$代入$a+b=6$得$b=2$，即$\begin{cases}a=4\\b=2\end{cases}$。
$\therefore S_1=a^2=4^2=16$，$S_2=b^2=2^2=4$，
$\therefore S_1-S_2=16-4=12$。
【答案】
12
【知识点】
二元一次方程组的应用，正方形面积计算，数形结合思想
【点评】
本题是勾股定理相关的典型拼图类题目，要求学生能从图形特征中提取等量关系建立方程求解，既考查了方程思想的应用，也能锻炼学生的图形观察能力，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
5. 我国古代数学家赵爽在《勾股圆方图注》中用割补的方法构造了“弦图”（如图1），并给出了勾股定理的证明.已知图2中阴影部分是直角边长分别为a、b，斜边长为c的4个直角三角形，请根据图2利用割补的方法验证勾股定理.
答案
5. $\because S=c^2+2×\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}(a+b+b)· b+\frac{1}{2}(a+a+b)· a,\therefore c^2+ab=\frac{1}{2}ab+b^2+a^2+\frac{1}{2}ab,\therefore c^2=a^2+b^2$.
解析
【分析】
要验证勾股定理即证明$a^2+b^2=c^2$，我们可以利用“同一图形用两种不同方法计算面积，结果相等”的思路解题：第一步，观察图2结构，将总面积拆分为边长为c的正方形加2个直角边为a、b的直角三角形，写出第一种面积表达式；第二步，将图2拆分为两个直角梯形，分别计算两个梯形的面积再求和，得到第二种面积表达式；第三步，令两个面积表达式相等，通过代数化简消去同类项，即可推导出勾股定理。
【解析】
我们通过两种不同方法计算图2的总面积，根据面积相等建立等式：
方法1：将图2看作边长为$c$的正方形与2个直角边长分别为$a$、$b$的直角三角形的组合，总面积为：
$S = c^2 + 2×\frac{1}{2}ab = c^2 + ab$
方法2：将图2拆分为两个直角梯形，左侧梯形上底为$b$、下底为$a+b$、高为$b$，右侧梯形上底为$a$、下底为$a+b$、高为$a$，总面积为：
$S = \frac{1}{2}(a+b+b)· b + \frac{1}{2}(a+a+b)· a$
展开并化简右侧表达式：
$\frac{1}{2}(a+2b)b + \frac{1}{2}(2a+b)a = \frac{1}{2}ab + b^2 + a^2 + \frac{1}{2}ab = a^2 + b^2 + ab$
因为两个表达式表示的是同一图形的面积，因此相等：
$c^2 + ab = a^2 + b^2 + ab$
两边同时减去$ab$，即可得到$c^2 = a^2 + b^2$，完成勾股定理的验证。
【答案】
$\because S=c^2+2×\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}(a+b+b)· b+\frac{1}{2}(a+a+b)· a$
$\therefore c^2+ab=\frac{1}{2}ab+b^2+a^2+\frac{1}{2}ab$
$\therefore c^2=a^2+b^2$
【知识点】
勾股定理的证明；面积法应用；割补法应用
【点评】
本题是勾股定理证明的经典题型，利用割补法转化图形结构，结合面积相等的原理将几何关系转化为代数运算，体现了数形结合的数学思想，能帮助我们更直观地理解勾股定理的推导逻辑。
【难度系数】
0.6
要验证勾股定理即证明$a^2+b^2=c^2$，我们可以利用“同一图形用两种不同方法计算面积，结果相等”的思路解题：第一步，观察图2结构，将总面积拆分为边长为c的正方形加2个直角边为a、b的直角三角形，写出第一种面积表达式；第二步，将图2拆分为两个直角梯形，分别计算两个梯形的面积再求和，得到第二种面积表达式；第三步，令两个面积表达式相等，通过代数化简消去同类项，即可推导出勾股定理。
【解析】
我们通过两种不同方法计算图2的总面积，根据面积相等建立等式：
方法1：将图2看作边长为$c$的正方形与2个直角边长分别为$a$、$b$的直角三角形的组合，总面积为：
$S = c^2 + 2×\frac{1}{2}ab = c^2 + ab$
方法2：将图2拆分为两个直角梯形，左侧梯形上底为$b$、下底为$a+b$、高为$b$，右侧梯形上底为$a$、下底为$a+b$、高为$a$，总面积为：
$S = \frac{1}{2}(a+b+b)· b + \frac{1}{2}(a+a+b)· a$
展开并化简右侧表达式：
$\frac{1}{2}(a+2b)b + \frac{1}{2}(2a+b)a = \frac{1}{2}ab + b^2 + a^2 + \frac{1}{2}ab = a^2 + b^2 + ab$
因为两个表达式表示的是同一图形的面积，因此相等：
$c^2 + ab = a^2 + b^2 + ab$
两边同时减去$ab$，即可得到$c^2 = a^2 + b^2$，完成勾股定理的验证。
【答案】
$\because S=c^2+2×\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}(a+b+b)· b+\frac{1}{2}(a+a+b)· a$
$\therefore c^2+ab=\frac{1}{2}ab+b^2+a^2+\frac{1}{2}ab$
$\therefore c^2=a^2+b^2$
【知识点】
勾股定理的证明；面积法应用；割补法应用
【点评】
本题是勾股定理证明的经典题型，利用割补法转化图形结构，结合面积相等的原理将几何关系转化为代数运算，体现了数形结合的数学思想，能帮助我们更直观地理解勾股定理的推导逻辑。
【难度系数】
0.6
