10. 李明准备进行如下操作实验：把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形.
（1）要使这两个正方形的面积之和等于$58\ \mathrm{cm}^2$，李明应该怎么剪这根铁丝？
（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于$48\ \mathrm{cm}^2$，你认为他的说法正确吗？试说明理由.

10.（1）设剪成的较短的这段为$x$ cm，较长的这段就为$(40-x)$cm，由题意，得$(\frac{x}{4})^2+(\frac{40-x}{4})^2=58$，解得$x_1=12$，$x_2=28$，当$x=12$时，较长的为$40-12=28(\mathrm{cm})$；当$x=28$时，较长的为$40-28=12＜28$（舍去）.李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段.
（2）李明的说法正确.理由如下：设剪成的较短的这段为$m$ cm，较长的这段就为$(40-m)$cm，由题意，得$(\frac{m}{4})^2+(\frac{40-m}{4})^2=48$，变形为$m^2-40m+416=0$，因为$\Delta=(-40)^2-4×416=-64＜0$，所以原方程无实数根，即李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于$48\ \mathrm{cm}^2$.

11.如图，如果四边形ABCD和BEFC都是平行四边形，则四边形AEFD也是平行四边形.某同学对这个命题给出了证明.
证明：因为ABCD是平行四边形
所以AD=BC， ①
AB=CD. ②
又因为BEFC也是平行四边形
所以BC=EF， ③
BE=CF. ④
由①③得AD=EF. ⑤
由②④得AB+BE=DC+CF. ⑥
因为⑤⑥成立，所以四边形AEFD是平行四边形.
他的考虑全面吗？

不全面。A、B、E可能不共线，D、C、F可能不共线

【解析】
该同学的考虑不全面。他默认了A、B、E三点共线，D、C、F三点共线，但题目仅说明四边形ABCD和BEFC是平行四边形，并未给出A、B、E共线以及D、C、F共线的条件：
1. 若A、B、E不共线，D、C、F不共线，无法通过AB+BE得到线段AE，也无法通过DC+CF得到线段DF；
2. 即使由平行四边形性质得到AD=EF，也无法推出AD与EF平行，更不能得到AE与DF的关系，不满足平行四边形的判定条件，因此该证明逻辑存在漏洞，考虑不全面。
【答案】
不全面，该同学默认A、B、E共线，D、C、F共线，但题目未给出该前提，当A、B、E不共线、D、C、F不共线时，无法推导得出四边形AEFD是平行四边形。
【知识点】
平行四边形性质
平行四边形判定
三点共线
【点评】
本题考查平行四边形相关证明的逻辑严谨性，容易忽略图形隐含的共线前提条件，需要跳出图示的思维定式，全面考虑命题的所有可能情况，避免默认未给定的几何关系。
【难度系数】
0.6