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10. 李明准备进行如下操作实验：把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形.
（1）要使这两个正方形的面积之和等于$58\ \mathrm{cm}^2$，李明应该怎么剪这根铁丝？
（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于$48\ \mathrm{cm}^2$，你认为他的说法正确吗？试说明理由.
（1）要使这两个正方形的面积之和等于$58\ \mathrm{cm}^2$，李明应该怎么剪这根铁丝？
（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于$48\ \mathrm{cm}^2$，你认为他的说法正确吗？试说明理由.
答案
10.（1）设剪成的较短的这段为$x$ cm，较长的这段就为$(40-x)$cm，由题意，得$(\frac{x}{4})^2+(\frac{40-x}{4})^2=58$，解得$x_1=12$，$x_2=28$，当$x=12$时，较长的为$40-12=28(\mathrm{cm})$；当$x=28$时，较长的为$40-28=12＜28$（舍去）.李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段.
（2）李明的说法正确.理由如下：设剪成的较短的这段为$m$ cm，较长的这段就为$(40-m)$cm，由题意，得$(\frac{m}{4})^2+(\frac{40-m}{4})^2=48$，变形为$m^2-40m+416=0$，因为$\Delta=(-40)^2-4×416=-64＜0$，所以原方程无实数根，即李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于$48\ \mathrm{cm}^2$.
（2）李明的说法正确.理由如下：设剪成的较短的这段为$m$ cm，较长的这段就为$(40-m)$cm，由题意，得$(\frac{m}{4})^2+(\frac{40-m}{4})^2=48$，变形为$m^2-40m+416=0$，因为$\Delta=(-40)^2-4×416=-64＜0$，所以原方程无实数根，即李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于$48\ \mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
（1）解决第一问需先明确等量关系：两个正方形的面积之和为58cm²。可设较短的一段铁丝长为x cm，较长段即为(40-x)cm，每段铁丝长度是对应正方形的周长，因此两个正方形边长分别为$\frac{x}{4}$cm和$\frac{40-x}{4}$cm，根据面积和列一元二次方程求解即可，最后要检验解是否符合“较短段”的设定，舍去不符合的解。
（2）解决第二问可沿用第一问的思路，先假设面积和能等于48cm²，列出对应的一元二次方程，再通过计算根的判别式Δ判断方程是否有实数根：若Δ＜0，说明方程无实根，即不存在符合条件的剪法，李明的说法正确；若Δ≥0则存在符合条件的剪法。
【解析】
（1）设剪成的较短的这段为$x$ cm，较长的这段就为$(40-x)$cm。
由两个正方形的面积之和等于$58\ \mathrm{cm}^2$，列方程得：
$(\frac{x}{4})^2+(\frac{40-x}{4})^2=58$
解方程得：$x_1=12$，$x_2=28$
当$x=12$时，较长的段长为$40-12=28(\mathrm{cm})$，符合设定；
当$x=28$时，较长的段长为$40-28=12\ \mathrm{cm}$，$12＜28$，不符合较短段的设定，故舍去。
（2）李明的说法正确，理由如下：
设剪成的较短的这段为$m$ cm，较长的这段就为$(40-m)$cm，假设两个正方形的面积之和等于$48\ \mathrm{cm}^2$，列方程得：
$(\frac{m}{4})^2+(\frac{40-m}{4})^2=48$
变形整理得：$m^2-40m+416=0$
计算根的判别式：$\Delta=(-40)^2-4×416=-64＜0$
因此原方程无实数根，即不存在满足条件的剪法，两个正方形的面积之和不可能等于$48\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
（1）李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段；
（2）李明的说法正确，两个正方形的面积之和不可能等于$48\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
一元二次方程的应用，一元二次方程的解法，根的判别式的应用
【点评】
本题以实际操作场景为载体，考查一元二次方程的实际应用，解题时需准确提取等量关系列方程，同时要注意检验解是否符合实际意义，判断实际问题的可能性时可通过方程是否有实数根来分析。
【难度系数】
0.65
（1）解决第一问需先明确等量关系：两个正方形的面积之和为58cm²。可设较短的一段铁丝长为x cm，较长段即为(40-x)cm，每段铁丝长度是对应正方形的周长，因此两个正方形边长分别为$\frac{x}{4}$cm和$\frac{40-x}{4}$cm，根据面积和列一元二次方程求解即可，最后要检验解是否符合“较短段”的设定，舍去不符合的解。
（2）解决第二问可沿用第一问的思路，先假设面积和能等于48cm²，列出对应的一元二次方程，再通过计算根的判别式Δ判断方程是否有实数根：若Δ＜0，说明方程无实根，即不存在符合条件的剪法，李明的说法正确；若Δ≥0则存在符合条件的剪法。
【解析】
（1）设剪成的较短的这段为$x$ cm，较长的这段就为$(40-x)$cm。
由两个正方形的面积之和等于$58\ \mathrm{cm}^2$，列方程得：
$(\frac{x}{4})^2+(\frac{40-x}{4})^2=58$
解方程得：$x_1=12$，$x_2=28$
当$x=12$时，较长的段长为$40-12=28(\mathrm{cm})$，符合设定；
当$x=28$时，较长的段长为$40-28=12\ \mathrm{cm}$，$12＜28$，不符合较短段的设定，故舍去。
（2）李明的说法正确，理由如下：
设剪成的较短的这段为$m$ cm，较长的这段就为$(40-m)$cm，假设两个正方形的面积之和等于$48\ \mathrm{cm}^2$，列方程得：
$(\frac{m}{4})^2+(\frac{40-m}{4})^2=48$
变形整理得：$m^2-40m+416=0$
计算根的判别式：$\Delta=(-40)^2-4×416=-64＜0$
因此原方程无实数根，即不存在满足条件的剪法，两个正方形的面积之和不可能等于$48\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
（1）李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段；
（2）李明的说法正确，两个正方形的面积之和不可能等于$48\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
一元二次方程的应用，一元二次方程的解法，根的判别式的应用
【点评】
本题以实际操作场景为载体，考查一元二次方程的实际应用，解题时需准确提取等量关系列方程，同时要注意检验解是否符合实际意义，判断实际问题的可能性时可通过方程是否有实数根来分析。
【难度系数】
0.65
11.如图，如果四边形ABCD和BEFC都是平行四边形，则四边形AEFD也是平行四边形.某同学对这个命题给出了证明.
证明：因为ABCD是平行四边形
所以AD=BC， ①
AB=CD. ②
又因为BEFC也是平行四边形
所以BC=EF， ③
BE=CF. ④
由①③得AD=EF. ⑤
由②④得AB+BE=DC+CF. ⑥
因为⑤⑥成立，所以四边形AEFD是平行四边形.
他的考虑全面吗？
证明：因为ABCD是平行四边形
所以AD=BC， ①
AB=CD. ②
又因为BEFC也是平行四边形
所以BC=EF， ③
BE=CF. ④
由①③得AD=EF. ⑤
由②④得AB+BE=DC+CF. ⑥
因为⑤⑥成立，所以四边形AEFD是平行四边形.
他的考虑全面吗？
答案
不全面。A、B、E可能不共线，D、C、F可能不共线
解析
【分析】
要判断该同学的证明是否全面，首先要回忆平行四边形的判定规则，同时明确几何证明中每一步推导都必须有已知条件作为支撑。该同学利用平行四边形对边相等的性质得到AD=EF，又通过边的和得到AB+BE=DC+CF，就默认AE=DF，进而判定AEFD是平行四边形。但要注意：只有当A、B、E三点在同一条直线上时，才有AB+BE=AE，同理只有D、C、F三点共线时才有DC+CF=DF，题目中并没有给出这两组三点共线的条件，这就是证明的漏洞所在。
【解析】
该同学的考虑不全面，理由如下：
1. 若要通过“两组对边分别相等”判定四边形AEFD是平行四边形，首先需要保证四边形的对边长度对应相等。该同学推导的步骤⑥中，默认了A、B、E三点共线、D、C、F三点共线，只有三点共线时，才存在线段和的关系AB+BE=AE、DC+CF=DF。
2. 题目没有给出上述两组三点共线的条件，若A、B、E不共线，D、C、F不共线，就无法得到AE=DF，也无法保证AD与EF平行且相等、AE与DF平行且相等，因此不能直接判定四边形AEFD是平行四边形。
【答案】
不全面。A、B、E可能不共线，D、C、F可能不共线
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定；线段和的条件
【点评】
本题易出现的错误是默认图形里三点共线的关系，忽略题目未明确给出该条件的事实，提醒我们做几何证明题时，每一步推导都要有对应的已知或已证条件作为支撑，不能随意默认图形隐含的未给出的结论。
【难度系数】
0.6
要判断该同学的证明是否全面，首先要回忆平行四边形的判定规则，同时明确几何证明中每一步推导都必须有已知条件作为支撑。该同学利用平行四边形对边相等的性质得到AD=EF，又通过边的和得到AB+BE=DC+CF，就默认AE=DF，进而判定AEFD是平行四边形。但要注意：只有当A、B、E三点在同一条直线上时，才有AB+BE=AE，同理只有D、C、F三点共线时才有DC+CF=DF，题目中并没有给出这两组三点共线的条件，这就是证明的漏洞所在。
【解析】
该同学的考虑不全面，理由如下：
1. 若要通过“两组对边分别相等”判定四边形AEFD是平行四边形，首先需要保证四边形的对边长度对应相等。该同学推导的步骤⑥中，默认了A、B、E三点共线、D、C、F三点共线，只有三点共线时，才存在线段和的关系AB+BE=AE、DC+CF=DF。
2. 题目没有给出上述两组三点共线的条件，若A、B、E不共线，D、C、F不共线，就无法得到AE=DF，也无法保证AD与EF平行且相等、AE与DF平行且相等，因此不能直接判定四边形AEFD是平行四边形。
【答案】
不全面。A、B、E可能不共线，D、C、F可能不共线
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定；线段和的条件
【点评】
本题易出现的错误是默认图形里三点共线的关系，忽略题目未明确给出该条件的事实，提醒我们做几何证明题时，每一步推导都要有对应的已知或已证条件作为支撑，不能随意默认图形隐含的未给出的结论。
【难度系数】
0.6
