6. 如图，正方形ABCD的边长为1，点E、F分别是对角线AC上的两点. EG⊥AB，EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J，则图中阴影部分的面积等于.

6.$\frac{1}{2}$

【分析】
解题时首先观察图形特征，正方形对角线AC是它的对称轴，沿AC对折后，直线AC两侧的图形能完全重合。我们可以利用轴对称的性质，发现左侧的阴影部分与右侧三角形ACD内的空白部分面积对应相等，因此不需要分别计算每块阴影的面积，通过割补转化，阴影总面积就等于正方形面积的一半。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的边长为1，
∴正方形ABCD的面积为$1×1=1$。
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴直线AC是正方形的对称轴，正方形关于AC对称的部分面积相等。
观察图形可知，AC左侧的阴影部分与AC右侧对应的空白部分面积完全相等，因此阴影部分的总面积等于正方形面积的一半，
即阴影面积为$1÷2=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
正方形的性质，轴对称的性质，面积割补法
【点评】
本题考查几何图形的面积计算，解题的关键是利用正方形的轴对称性对阴影面积进行转化，避免了复杂的分块计算，是典型的用转化思想简化计算的题型。
【难度系数】
0.7

7. 如图所示，在$□ ABCD$中，$AE$、$CF$分别是$∠ BAD$、$∠ BCD$的平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形$AECF$是菱形，则添加的一个条件可以是________.（只写出一个即可）

7.答案不唯一，如$AE=EC$

【分析】
解题思路：首先先根据平行四边形ABCD的性质，结合角平分线的定义，先推导四边形AECF的形状，可证得AECF本身是平行四边形；再回忆菱形的判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形，或对角线互相垂直的平行四边形是菱形，只需添加满足上述判定的条件即可使AECF成为菱形。
第一步：利用平行四边形对边平行、对角相等的性质，结合角平分线定义，证明AE//CF，结合AF//EC，得AECF是平行四边形；第二步：根据菱形判定，给平行四边形AECF补充判定为菱形的条件即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠BAD=∠BCD，即AF//EC，
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAD，∠BCF=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∴∠DAE=∠BCF，
又
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠AEB=∠BCF，
∴AE//CF，
∵AF//EC，AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可添加条件$AE=EC$，此时平行四边形AECF为菱形。（也可添加$AF=AE$、$AC⊥EF$等合理条件）
【答案】
答案不唯一，如$AE=EC$
【知识点】
平行四边形的性质与判定；角平分线的定义；菱形的判定
【点评】
本题属于开放性基础题，需要先结合已知条件推导得到四边形AECF是平行四边形，再结合菱形的判定定理补充合适的条件即可，解题时要注意先梳理已有结论，再匹配判定定理补全缺失条件。
【难度系数】
0.7

8. 如图，在$△ ABC$中，分别以$AB$、$AC$、$BC$为边在$BC$的同侧作等边$△ ABD$、$△ ACE$、$△ BCF$.
（1）求证：四边形$DAEF$是平行四边形；
（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需要证明）
①当$△ ABC$满足________条件时，四边形$DAEF$是矩形；
②当$△ ABC$满足________条件时，四边形$DAEF$是菱形；
③当$△ ABC$满足________条件时，以$D$、$A$、$E$、$F$为顶点的四边形不存在.

8.（1）提示：证明
$△ ABC≌ △ DBF≌ △ EFC$，得出 $AD=EF$，$DF=AE.$
（2）①$∠ BAC=150°$ ②$AB=AC≠ BC$ ③$∠ BAC=60°$

【分析】
（1）要证明四边形DAEF是平行四边形，可通过证明两组对边分别相等推导。已知有三个等边三角形，利用等边三角形三边相等、内角为60°的性质寻找全等三角形：先证△DBF与△ABC全等，可得DF=AC，结合等边△ACE的性质推出DF=AE；再证△EFC与△ABC全等，可得EF=AB，结合等边△ABD的性质推出EF=AD，即可证明结论。
（2）①矩形需要平行四边形有一个内角为直角，计算∠DAE为直角时对应∠BAC的度数即可；②菱形需要平行四边形邻边相等，将邻边相等转化为△ABC的边的关系即可，同时注意排除四边形不存在的情况；③当D、A、E三点共线时，四个顶点无法构成四边形，计算此时∠BAC的度数即可。
【解析】
（1）证明：
∵△ABD、△BCF都是等边三角形，
∴$BD=AB$，$BF=BC$，$∠DBA=∠FBC=60°$，
∴$∠DBA - ∠FBA = ∠FBC - ∠FBA$，即$∠DBF=∠ABC$，
在$△ DBF$和$△ ABC$中：
$\begin{cases} BD=AB \\ ∠DBF=∠ABC \\ BF=BC \end{cases}$
∴$△ DBF≌△ ABC(\mathrm{SAS})$，
∴$DF=AC$，
又
∵△ACE是等边三角形，
∴$AC=AE$，
∴$DF=AE$。
同理可证$△ EFC≌△ ABC(\mathrm{SAS})$，
∴$EF=AB$，
又
∵△ABD是等边三角形，
∴$AB=AD$，
∴$EF=AD$。
∴四边形DAEF两组对边分别相等，故四边形DAEF是平行四边形。
（2）①若平行四边形DAEF为矩形，则需$∠DAE=90°$，
∵$∠DAB=∠EAC=60°$，
∴$∠BAC=360°-60°-60°-90°=150°$；
②若平行四边形DAEF为菱形，则需$AD=AE$，
∵$AD=AB$，$AE=AC$，
∴$AB=AC$，当$AB=AC=BC$时$∠BAC=60°$，此时D、A、E共线，四边形不存在，故需$AB=AC≠BC$；
③当$∠BAC=60°$时，$∠DAE=60°+60°+60°=180°$，D、A、E三点共线，此时以D、A、E、F为顶点的四边形不存在。
【答案】
（1）证明见上述解析；
（2）①$\boldsymbol{∠BAC=150°}$；②$\boldsymbol{AB=AC≠BC}$；③$\boldsymbol{∠BAC=60°}$
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，特殊四边形的判定
【点评】
本题综合考查了等边三角形的性质、全等三角形的证明以及各类特殊四边形的判定条件，解题核心是利用等边三角形的边角性质构造全等三角形，同时要注意三点共线时四边形不存在的特殊情况。
【难度系数】
0.6

9. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，点$D$是边$AC$上的一点，连接$DB$.
（1）求作：平行四边形$DBEC$（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的图形中，连接$DE$交$BC$于点$O$，当$AD=CD$时，求证：$DE// AB$.

（1）作图见上述解析；（2）DE//AB，证明成立。

【分析】
（1）作平行四边形DBEC可依据平行四边形的判定方法，比如按照“两组对边分别相等”的判定思路，分别以B、C为圆心，CD、BD长为半径画弧，两弧交点即为点E，连接对应线段即可，作图时保留尺规痕迹。
（2）要证明DE//AB，首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，得到BC的中点O，再结合已知D是AC中点的条件，可推出DO是△ABC的中位线，根据中位线的性质即可证得平行关系。
【解析】
（1）作图痕迹：分别以点B、点C为圆心，以CD、BD的长度为半径画弧，两弧交于BC上方的点E，依次连接BE、CE，所得四边形DBEC即为所求。
（2）证明：
∵四边形DBEC是平行四边形，
∴对角线DE与BC互相平分，即O是BC的中点，
又
∵AD=CD，即D是AC的中点，
∴DO是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得DO//AB，
∵点O在DE上，
∴DE//AB。
【答案】
（1）尺规作图痕迹符合要求即可；（2）证明成立，DE//AB。
【知识点】
尺规作图、平行四边形的性质、三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，既考查了尺规作图的操作能力，也考查了平行四边形性质和三角形中位线定理的应用，有助于锻炼几何逻辑推导能力，解题时要注意结合已知条件选择合适的性质定理。
【难度系数】
0.7