21. 当 a $ = \frac{2}{1-\sqrt{3}} $时，求 $ \frac{a^{2}-1}{a-1}-\frac{\sqrt{a^{2}+2a+1}}{a^{2}+a}- $ $ \frac{1}{a} $的值.

21. 解 $a=\frac{2}{1-\sqrt{3}}=-1-\sqrt{3}$.
所以$\frac{a^{2}-1}{a-1}-\frac{\sqrt{a^{2}+2a+1}}{a^{2}+a}-\frac{1}{a}=\frac{(a+1)(a-1)}{a-1}-\frac{\sqrt{(a+1)^{2}}}{a(a+1)}-\frac{1}{a}=a+1+\frac{1}{a}-\frac{1}{a}=a+1=-\sqrt{3}$.

22. 【认识概念】
1. 两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式。如： $ \sqrt{2}×\sqrt{2}=2 $ $ (\sqrt{3}+1)×(\sqrt{3}-1)=3- 1=2 $ ，我们称 $ \sqrt{2} $的一个有理化因式为 $ \sqrt{2} $ $ \sqrt{3}+1 $的一个有理化因式是 $ \sqrt{3}-1. $
2. 当一个代数式的分母中含有二次根式时，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根式，这种变形称为分母有理化。如： $ \frac{1}{2+\sqrt{3}}= $ $ \frac{1×(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})×(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}. $
【理解应用】
（1）写出 $ \sqrt{5}-2 $的一个有理化因式：
___，将 $ \frac{2}{3\sqrt{2}} $分母有理化得 ___；
(2) 化简，使结果中的二次根式为最简二次根式： $ \frac{3}{\sqrt{1 0}}+\frac{3}{\sqrt{7}}-\frac{5}{\sqrt{1 0}}; $
【拓展应用】
(3) 比较 $ 3-2\sqrt{2} $与 $ 5-2\sqrt{6} $的大小；
(4) 已知有理数 a，b满足 $ \frac{a}{\sqrt{2}-1}-\frac{b}{\sqrt{2}}= $ 3 $ - \sqrt{2} $ ，求 a，b的值.

22. 解（1）$\sqrt{5}+2$（答案不唯一） $\frac{\sqrt{2}}{3}$
（2）$\frac{3}{\sqrt{10}}+\frac{3}{\sqrt{7}}-\frac{5}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}+\frac{3\sqrt{7}}{7}-\frac{5\sqrt{10}}{10}=\frac{3\sqrt{7}}{7}-\frac{\sqrt{10}}{5}$.
（3）$3-2\sqrt{2}=\frac{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}{3+2\sqrt{2}}=\frac{1}{3+2\sqrt{2}}$.
$5-2\sqrt{6}=\frac{(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})}{5+2\sqrt{6}}=\frac{1}{5+2\sqrt{6}}$.
因为$3＜5$，$\sqrt{2}＜\sqrt{6}$，
所以$3+2\sqrt{2}＜5+2\sqrt{6}$.
所以$3-2\sqrt{2}＞5-2\sqrt{6}$.
（4）$\frac{a}{\sqrt{2}-1}-\frac{b}{\sqrt{2}}=\frac{a(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}-\frac{b\sqrt{2}}{2}=a\sqrt{2}+a-\frac{b\sqrt{2}}{2}=a+\sqrt{2}(a-\frac{b}{2})=3-\sqrt{2}$.
所以$a=3$，$a-\frac{b}{2}=-1$.
所以$a=3$，$b=8$.