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1. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$是$∠ BAC$的平分线,$EF$是$AC$的垂直平分线,交$AD$于点$O$.若$OA=3$,则$△ ABC$外接圆的面积为（
A.$3π$
B.$4π$
C.$6π$
D.$9π$
D
）A.$3π$
B.$4π$
C.$6π$
D.$9π$
答案
1. D
解析
【分析】
要解决本题，需明确两个关键知识点：一是等腰三角形顶角平分线同时是底边的垂直平分线；二是三角形三边垂直平分线的交点是其外接圆的圆心，该交点到任意顶点的距离为外接圆半径。结合已知条件，AD是等腰△ABC的角平分线，故AD是BC的垂直平分线，EF是AC的垂直平分线，两者的交点O就是△ABC外接圆的圆心，因此OA为外接圆半径，据此可计算外接圆面积。
【解析】
∵ AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴ 根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD垂直平分BC，即AD是BC的垂直平分线。
又
∵ EF是AC的垂直平分线，
∴ 点O是△ABC三边垂直平分线的交点，即O为△ABC外接圆的圆心，
∴ OA是△ABC外接圆的半径，已知OA=3，即外接圆半径r=3。
根据圆的面积公式，△ABC外接圆的面积为：πr²=π×3²=9π。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形性质，垂直平分线，外接圆，圆的面积
【点评】
本题综合考查等腰三角形性质、垂直平分线性质及三角形外接圆的相关知识，核心是确定外接圆圆心的位置，难度适中，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需明确两个关键知识点：一是等腰三角形顶角平分线同时是底边的垂直平分线；二是三角形三边垂直平分线的交点是其外接圆的圆心，该交点到任意顶点的距离为外接圆半径。结合已知条件，AD是等腰△ABC的角平分线，故AD是BC的垂直平分线，EF是AC的垂直平分线，两者的交点O就是△ABC外接圆的圆心，因此OA为外接圆半径，据此可计算外接圆面积。
【解析】
∵ AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴ 根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD垂直平分BC，即AD是BC的垂直平分线。
又
∵ EF是AC的垂直平分线，
∴ 点O是△ABC三边垂直平分线的交点，即O为△ABC外接圆的圆心，
∴ OA是△ABC外接圆的半径，已知OA=3，即外接圆半径r=3。
根据圆的面积公式，△ABC外接圆的面积为：πr²=π×3²=9π。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形性质，垂直平分线，外接圆，圆的面积
【点评】
本题综合考查等腰三角形性质、垂直平分线性质及三角形外接圆的相关知识，核心是确定外接圆圆心的位置，难度适中，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
2. 如图,点 $A,B,C,D$ 均在直线 $l$ 上,点 $P$ 在直线 $l$ 外,则经过其中任意三个点,最多可画出圆的个数为（
A.3
B.4
C.5
D.6
D
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
2. D
解析
【分析】
要解决这个问题，需依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的规则：先找出所有三点组合，再排除共线的三点组合，剩余不共线的三点组合数量就是最多可画圆的个数。
【解析】
1. 列举所有三点组合：
直线$ l $上的四点$ A,B,C,D $的三点组合有：$ ABC、ABD、ACD、BCD $，共4组，这4组三点都在同一直线$ l $上，无法确定圆；
包含点$ P $的三点组合有：$ PAB、PAC、PAD、PBC、PBD、PCD $，共6组，因点$ P $在直线$ l $外，每组三点都不共线，均可确定一个圆。
2. 综上，最多可画出圆的个数为6个。
【答案】
D
【知识点】
确定圆的条件
【点评】
本题核心是掌握“不在同一直线上的三点确定一个圆”，需准确区分共线与不共线的三点组合，避免误算共线三点的情况，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的规则：先找出所有三点组合，再排除共线的三点组合，剩余不共线的三点组合数量就是最多可画圆的个数。
【解析】
1. 列举所有三点组合：
直线$ l $上的四点$ A,B,C,D $的三点组合有：$ ABC、ABD、ACD、BCD $，共4组，这4组三点都在同一直线$ l $上，无法确定圆；
包含点$ P $的三点组合有：$ PAB、PAC、PAD、PBC、PBD、PCD $，共6组，因点$ P $在直线$ l $外，每组三点都不共线，均可确定一个圆。
2. 综上，最多可画出圆的个数为6个。
【答案】
D
【知识点】
确定圆的条件
【点评】
本题核心是掌握“不在同一直线上的三点确定一个圆”，需准确区分共线与不共线的三点组合，避免误算共线三点的情况，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.5
3. 如图，$\odot O$ 是锐角三角形 $ABC$ 的外接圆，$OD⊥ AB,OE⊥ BC,OF⊥ AC$，垂足分别为$D,E,F$，连接 $DE,EF,FD$. 若 $DE+DF=\dfrac{13}{2}$，$△ ABC$ 的周长为 21，则 $EF$ 的长为 （
A.8
B.4
C.$\dfrac{7}{2}$
D.3
B
）A.8
B.4
C.$\dfrac{7}{2}$
D.3
答案
3. B 提示:因为$OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC$,所以$AD=BD,BE=CE,AF=CF$,所以$DE,DF,EF$是$△ABC$的中位线,所以$DE=\frac{1}{2}AC,DF=\frac{1}{2}BC,EF=\frac{1}{2}AB$,所以$DE+DF+EF=\frac{1}{2}(AC+BC+AB)=\frac{1}{2}×21=\frac{21}{2}$. 因为$DE+DF=\frac{13}{2}$,所以$EF=\frac{21}{2}-\frac{13}{2}=4$.
解析
【分析】
要解决本题，首先利用垂径定理确定D、E、F分别是△ABC三边的中点，再结合三角形中位线定理得到DE、DF、EF与△ABC三边的数量关系，最后根据△ABC的周长计算EF的长度。
【解析】
1. 由OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，根据垂径定理（垂直于弦的直径平分弦），可得AD=BD，BE=CE，CF=AF，即D、E、F分别为AB、BC、AC的中点。
2. 根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，因此：
$DE=\frac{1}{2}AC$，$DF=\frac{1}{2}BC$，$EF=\frac{1}{2}AB$。
3. 已知△ABC的周长为21，即$AB+BC+AC=21$，因此：
$DE+DF+EF=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)=\frac{1}{2}×21=\frac{21}{2}$。
4. 又已知$DE+DF=\frac{13}{2}$，所以$EF=\frac{21}{2}-\frac{13}{2}=4$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；三角形中位线定理
【点评】
本题综合考查垂径定理与三角形中位线定理的应用，核心是通过垂径定理得到各边中点，转化为中位线关系，再结合周长求解，属于基础中档题，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.5
要解决本题，首先利用垂径定理确定D、E、F分别是△ABC三边的中点，再结合三角形中位线定理得到DE、DF、EF与△ABC三边的数量关系，最后根据△ABC的周长计算EF的长度。
【解析】
1. 由OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，根据垂径定理（垂直于弦的直径平分弦），可得AD=BD，BE=CE，CF=AF，即D、E、F分别为AB、BC、AC的中点。
2. 根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，因此：
$DE=\frac{1}{2}AC$，$DF=\frac{1}{2}BC$，$EF=\frac{1}{2}AB$。
3. 已知△ABC的周长为21，即$AB+BC+AC=21$，因此：
$DE+DF+EF=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)=\frac{1}{2}×21=\frac{21}{2}$。
4. 又已知$DE+DF=\frac{13}{2}$，所以$EF=\frac{21}{2}-\frac{13}{2}=4$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；三角形中位线定理
【点评】
本题综合考查垂径定理与三角形中位线定理的应用，核心是通过垂径定理得到各边中点，转化为中位线关系，再结合周长求解，属于基础中档题，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.5
4. 如图,已知点$E$是$△ ABC$的外心,$P,Q$分别是$AB,AC$的中点,连接$EP,EQ$交$BC$于点$F,D$.若$BF=5,DF=3,CD=4$,则$△ ABC$的面积为（
A.$18$
B.$24$
C.$30$
D.$36$
B
）A.$18$
B.$24$
C.$30$
D.$36$
答案
4. B
解析
【分析】
首先明确三角形外心的性质：外心是三角形三边垂直平分线的交点，因此EP是AB的垂直平分线，EQ是AC的垂直平分线。根据垂直平分线“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”的性质，可得到线段相等关系；再通过勾股定理逆定理判断△AFD为直角三角形，进而得到△ABC中BC边上的高，最后用三角形面积公式计算结果。
【解析】
∵E是△ABC的外心，P是AB中点，
∴EP是AB的垂直平分线，根据垂直平分线性质得：FB=FA=5；
同理，Q是AC中点，EQ是AC的垂直平分线，得：DC=DA=4。
在△AFD中，AF=5，DF=3，AD=4，
∵3²+4²=5²，满足勾股定理逆定理，
∴△AFD是直角三角形，且∠ADF=90°，即AD⊥BC，AD是△ABC中BC边上的高。
BC的长度为：BF+DF+CD=5+3+4=12，
∴△ABC的面积=1/2×BC×AD=1/2×12×4=24。
【答案】24
【知识点】三角形外心性质、垂直平分线性质、勾股定理逆定理、三角形面积计算
【点评】本题综合运用三角形外心、垂直平分线的性质，核心是通过勾股定理逆定理确定高，进而计算面积，属于中等难度的几何综合题，需熟练掌握相关性质定理。
【难度系数】0.5
首先明确三角形外心的性质：外心是三角形三边垂直平分线的交点，因此EP是AB的垂直平分线，EQ是AC的垂直平分线。根据垂直平分线“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”的性质，可得到线段相等关系；再通过勾股定理逆定理判断△AFD为直角三角形，进而得到△ABC中BC边上的高，最后用三角形面积公式计算结果。
【解析】
∵E是△ABC的外心，P是AB中点，
∴EP是AB的垂直平分线，根据垂直平分线性质得：FB=FA=5；
同理，Q是AC中点，EQ是AC的垂直平分线，得：DC=DA=4。
在△AFD中，AF=5，DF=3，AD=4，
∵3²+4²=5²，满足勾股定理逆定理，
∴△AFD是直角三角形，且∠ADF=90°，即AD⊥BC，AD是△ABC中BC边上的高。
BC的长度为：BF+DF+CD=5+3+4=12，
∴△ABC的面积=1/2×BC×AD=1/2×12×4=24。
【答案】24
【知识点】三角形外心性质、垂直平分线性质、勾股定理逆定理、三角形面积计算
【点评】本题综合运用三角形外心、垂直平分线的性质，核心是通过勾股定理逆定理确定高，进而计算面积，属于中等难度的几何综合题，需熟练掌握相关性质定理。
【难度系数】0.5
5. (2024 宿迁市宿城区期中) 设 $x,y$ 是一个直角三角形两条直角边的长, 且 $(x^{2}+y^{2})·$ $(x^{2}+y^{2}-1)=56$, 则这个直角三角形的外接圆面积为
$2π$
.答案
5. $2π$
解析
【分析】
本题需先利用换元法简化方程求出直角三角形两直角边的平方和，再结合勾股定理得到斜边长度，最后根据直角三角形外接圆的性质计算面积。核心思路是将重复出现的$x^2+y^2$设为整体转化为一元二次方程求解，再利用几何性质关联外接圆半径与斜边。
【解析】
设$ t = x^2 + y^2 $，因为$x,y$是直角三角形的两条直角边，所以$ t ＞ 0 $。
原方程转化为：$ t(t - 1) = 56 $，整理得一元二次方程：
$ t^2 - t - 56 = 0 $
计算判别式：$ \Delta = (-1)^2 - 4 × 1 × (-56) = 225 $，
解得根：$ t = \frac{1 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{1 \pm 15}{2} $。
因$ t ＞ 0 $，舍去负根，得$ t = \frac{1 + 15}{2} = 8 $，即$ x^2 + y^2 = 8 $。
根据勾股定理，直角三角形斜边$ c = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $，
直角三角形外接圆直径等于斜边，故外接圆半径$ r = \frac{c}{2} = \sqrt{2} $，
因此外接圆面积为：$ π r^2 = π × (\sqrt{2})^2 = 2π $。
【答案】
$ 2π $
【知识点】
一元二次方程的应用、勾股定理、圆的面积计算
【点评】
本题通过换元法简化代数运算，结合几何性质求解，考查代数与几何知识的综合应用，解题关键是换元简化方程及利用直角三角形外接圆的性质，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题需先利用换元法简化方程求出直角三角形两直角边的平方和，再结合勾股定理得到斜边长度，最后根据直角三角形外接圆的性质计算面积。核心思路是将重复出现的$x^2+y^2$设为整体转化为一元二次方程求解，再利用几何性质关联外接圆半径与斜边。
【解析】
设$ t = x^2 + y^2 $，因为$x,y$是直角三角形的两条直角边，所以$ t ＞ 0 $。
原方程转化为：$ t(t - 1) = 56 $，整理得一元二次方程：
$ t^2 - t - 56 = 0 $
计算判别式：$ \Delta = (-1)^2 - 4 × 1 × (-56) = 225 $，
解得根：$ t = \frac{1 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{1 \pm 15}{2} $。
因$ t ＞ 0 $，舍去负根，得$ t = \frac{1 + 15}{2} = 8 $，即$ x^2 + y^2 = 8 $。
根据勾股定理，直角三角形斜边$ c = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $，
直角三角形外接圆直径等于斜边，故外接圆半径$ r = \frac{c}{2} = \sqrt{2} $，
因此外接圆面积为：$ π r^2 = π × (\sqrt{2})^2 = 2π $。
【答案】
$ 2π $
【知识点】
一元二次方程的应用、勾股定理、圆的面积计算
【点评】
本题通过换元法简化代数运算，结合几何性质求解，考查代数与几何知识的综合应用，解题关键是换元简化方程及利用直角三角形外接圆的性质，难度适中。
【难度系数】
0.5
6. 根据三角形外心的概念，我们可引入一个新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫作此三角形的准外心. 根据准外心的定义，探究如下问题：如图，在 $\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°, BC=10, AB=6$，如果准外心 $P$ 在边 $AC$ 上，那么 $PA$ 的长为
$4$或$\frac{7}{4}$
.答案
6. $4$或$\frac{7}{4}$ 提示:在$\mathrm{Rt}△ABC$中,由勾股定理,得$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=8$. 分三种情况讨论:若$PB=PC$,连接$PB$,设$PA=x$,则$PB=PC=8-x$. 在$\mathrm{Rt}△PAB$中,因为$PB^2=PA^2+AB^2$,所以$(8-x)^2=x^2+6^2$,解得$x=\frac{7}{4}$,即$PA=\frac{7}{4}$. 若$PA=PC$,则$PA=4$. 若$PA=PB$,因为在$\mathrm{Rt}△PAB$中,$PB$是斜边,所以此种情况不存在. 综上所述,$PA$的长为$4$或$\frac{7}{4}$.
解析
【分析】
首先明确准外心的定义：到三角形两个顶点距离相等的点。已知点P在Rt△ABC的边AC上，需分三种情况讨论P满足的相等关系：PA=PC、PB=PC、PA=PB，结合勾股定理计算PA的长度，同时根据直角三角形性质排除不可能的情况。第一步用勾股定理算出AC的长度，再对每种情况列方程求解，最后汇总结果。
【解析】
在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=10，AB=6，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$。
因为点P在边AC上，根据准外心的定义，分三种情况讨论：
1. 若$PA=PC$：
此时$PA = \frac{1}{2}AC = \frac{8}{2} = 4$；
2. 若$PB=PC$：
设$PA = x$，则$PC = PB = 8 - x$，
在Rt△PAB中，由勾股定理得：$PB^2 = PA^2 + AB^2$，
代入得：$(8 - x)^2 = x^2 + 6^2$，
展开整理：$64 - 16x + x^2 = x^2 + 36$，
消去$x^2$后解得：$x = \frac{7}{4}$，即$PA = \frac{7}{4}$；
3. 若$PA=PB$：
在Rt△PAB中，∠A=90°，PB是斜边，根据直角三角形斜边大于直角边，可知$PB ＞ PA$，因此该情况不存在。
综上，PA的长为4或$\frac{7}{4}$。
【答案】
4或$\frac{7}{4}$
【知识点】
勾股定理；三角形的准外心
【点评】
本题结合新定义“准外心”，考查勾股定理的应用，需要学生运用分类讨论的数学思想，全面考虑所有可能的相等关系，同时结合直角三角形性质排除无效情况，是一道中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
首先明确准外心的定义：到三角形两个顶点距离相等的点。已知点P在Rt△ABC的边AC上，需分三种情况讨论P满足的相等关系：PA=PC、PB=PC、PA=PB，结合勾股定理计算PA的长度，同时根据直角三角形性质排除不可能的情况。第一步用勾股定理算出AC的长度，再对每种情况列方程求解，最后汇总结果。
【解析】
在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=10，AB=6，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$。
因为点P在边AC上，根据准外心的定义，分三种情况讨论：
1. 若$PA=PC$：
此时$PA = \frac{1}{2}AC = \frac{8}{2} = 4$；
2. 若$PB=PC$：
设$PA = x$，则$PC = PB = 8 - x$，
在Rt△PAB中，由勾股定理得：$PB^2 = PA^2 + AB^2$，
代入得：$(8 - x)^2 = x^2 + 6^2$，
展开整理：$64 - 16x + x^2 = x^2 + 36$，
消去$x^2$后解得：$x = \frac{7}{4}$，即$PA = \frac{7}{4}$；
3. 若$PA=PB$：
在Rt△PAB中，∠A=90°，PB是斜边，根据直角三角形斜边大于直角边，可知$PB ＞ PA$，因此该情况不存在。
综上，PA的长为4或$\frac{7}{4}$。
【答案】
4或$\frac{7}{4}$
【知识点】
勾股定理；三角形的准外心
【点评】
本题结合新定义“准外心”，考查勾股定理的应用，需要学生运用分类讨论的数学思想，全面考虑所有可能的相等关系，同时结合直角三角形性质排除无效情况，是一道中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
7. (2024 南京市鼓楼区期中)尺规作图：
已知线段 $AB$ 和 $\odot O$，将线段 $AB$ 沿某条直线翻折后，$A$，$B$ 两点恰好落在 $\odot O$ 上，请按照下列要求分别作出翻折后的线段 $A'B'$（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）。
(1) 如图 1，$AB$ 的长度等于 $\odot O$ 的直径；
(2) 如图 2，$AB$ 的长度小于 $\odot O$ 的直径。
已知线段 $AB$ 和 $\odot O$，将线段 $AB$ 沿某条直线翻折后，$A$，$B$ 两点恰好落在 $\odot O$ 上，请按照下列要求分别作出翻折后的线段 $A'B'$（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）。
(1) 如图 1，$AB$ 的长度等于 $\odot O$ 的直径；
(2) 如图 2，$AB$ 的长度小于 $\odot O$ 的直径。
答案
7. 解:(1) 如图1,作法如下:
①作线段AB的垂直平分线,交AB于点$O'$;
②以点$O'$为圆心,$\frac{1}{2}AB$为半径作$⊙O'$,连接$OO'$;
③作$OO'$的垂直平分线$l$,作点B关于直线l的对称点$B'$;
④连接$B'O$并延长交$⊙O$于点$A'$,线段$A'B'$即为所求.
(2) 作法如下:
①作线段AB的垂直平分线m,在直线m上取点$O'$,使得$O'A$等于$⊙O$的半径长,作$⊙O$的等圆$⊙O'$;
②连接$OO'$,作$OO'$的垂直平分线l,作点B关于直线l的对称点$B'$,点A关于直线l的对称点$A'$;
③连接$A'B'$,线段$A'B'$即为所求.
当点$O'$位于AB的右侧时,如图2,线段$A'B'$即为所求.
当点$O'$位于AB的左侧时,如图3,线段$A'B'$即为所求.
解析
【分析】
要完成线段AB沿某直线翻折后A、B落在⊙O上的作图，需利用翻折变换的核心性质：翻折前后对应点的连线被对称轴垂直平分，且对应线段长度相等。对于AB等于⊙O直径的情况，需先确定AB中点，作等圆后通过两圆心的垂直平分线确定对称轴，进而找到A、B的对称点；对于AB小于⊙O直径的情况，需作AB的垂直平分线，在其上取点作⊙O的等圆，再通过两圆心的垂直平分线确定对称轴，最终得到落在⊙O上的对应点。
【解析】
(1) 作法：
① 作线段AB的垂直平分线，交AB于点$O'$；
② 以点$O'$为圆心，$\frac{1}{2}AB$为半径作$\odot O'$，连接$OO'$；
③ 作$OO'$的垂直平分线$l$，作点B关于直线$l$的对称点$B'$；
④ 连接$B'O$并延长，交$\odot O$于点$A'$，线段$A'B'$即为所求。
(2) 作法：
① 作线段AB的垂直平分线$m$，在直线$m$上取点$O'$，使得$O'A$等于$\odot O$的半径长，作$\odot O$的等圆$\odot O'$；
② 连接$OO'$，作$OO'$的垂直平分线$l$，分别作点A、B关于直线$l$的对称点$A'$、$B'$；
③ 连接$A'B'$，线段$A'B'$即为所求（当$O'$在AB右侧时对应图2，左侧时对应图3）。
【答案】
(1) 作法如上，对应图1（）；
(2) 作法如上，对应图2（）、图3（）。
【知识点】
尺规作图、翻折变换、垂直平分线
【点评】
本题结合圆的性质与翻折变换，考查尺规作图的应用，核心是利用翻折的对称性确定对称轴，需理解对应点与对称轴的关系，难度适中，适合期中阶段考查学生的作图能力。
【难度系数】
0.6
要完成线段AB沿某直线翻折后A、B落在⊙O上的作图，需利用翻折变换的核心性质：翻折前后对应点的连线被对称轴垂直平分，且对应线段长度相等。对于AB等于⊙O直径的情况，需先确定AB中点，作等圆后通过两圆心的垂直平分线确定对称轴，进而找到A、B的对称点；对于AB小于⊙O直径的情况，需作AB的垂直平分线，在其上取点作⊙O的等圆，再通过两圆心的垂直平分线确定对称轴，最终得到落在⊙O上的对应点。
【解析】
(1) 作法：
① 作线段AB的垂直平分线，交AB于点$O'$；
② 以点$O'$为圆心，$\frac{1}{2}AB$为半径作$\odot O'$，连接$OO'$；
③ 作$OO'$的垂直平分线$l$，作点B关于直线$l$的对称点$B'$；
④ 连接$B'O$并延长，交$\odot O$于点$A'$，线段$A'B'$即为所求。
(2) 作法：
① 作线段AB的垂直平分线$m$，在直线$m$上取点$O'$，使得$O'A$等于$\odot O$的半径长，作$\odot O$的等圆$\odot O'$；
② 连接$OO'$，作$OO'$的垂直平分线$l$，分别作点A、B关于直线$l$的对称点$A'$、$B'$；
③ 连接$A'B'$，线段$A'B'$即为所求（当$O'$在AB右侧时对应图2，左侧时对应图3）。
【答案】
(1) 作法如上，对应图1（
）；(2) 作法如上，对应图2（
）、图3（）。【知识点】
尺规作图、翻折变换、垂直平分线
【点评】
本题结合圆的性质与翻折变换，考查尺规作图的应用，核心是利用翻折的对称性确定对称轴，需理解对应点与对称轴的关系，难度适中，适合期中阶段考查学生的作图能力。
【难度系数】
0.6
