登录
4. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°,AC=6\ \mathrm{cm},$$BC=4\ \mathrm{cm}$,点$P$在边$AC$上,从点$A$向点$C$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度移动,点$Q$在$CB$边上以$\sqrt{3}\ \mathrm{cm/s}$的速度从点$C$向点$B$移动.若点$P,Q$同时出发,且当一点移动到终点时,另一点也随之停止,设$△ PCQ$的面积为$S\ \mathrm{cm}^2$,运动时间为$t$秒$(t＞0)$时$S$最大,请求出$t$和$S$的值.
答案
$\because AP=2t\ \mathrm{cm},CQ=\sqrt{3}t\ \mathrm{cm},PC=(6-2t)\ \mathrm{cm}(0＜t≤\frac{4\sqrt{3}}{3})$,$\therefore S=\frac{1}{2}PC· CQ=\frac{1}{2}(6-2t)·\sqrt{3}t=-\sqrt{3}t^2+3\sqrt{3}t=-\sqrt{3}(t^2-3t)=-\sqrt{3}(t-\frac{3}{2})^2+\frac{9\sqrt{3}}{4}$.$\because (t-\frac{3}{2})^2≥0$,$\therefore$当$t=\frac{3}{2}$时,$S$有最大值,最大值为$\frac{9\sqrt{3}}{4}$.
解析
【分析】首先根据点P、Q的运动速度和时间t，分别表示出线段PC、CQ的长度，结合直角三角形面积公式建立面积S关于t的函数，再利用二次函数的性质求最大值，同时需确定运动的时间范围（当一点到达终点时运动停止，明确t的取值边界）。
【解析】
1. 表示动点对应的线段长度：
点P从A向C以2 cm/s移动，运动时间为t秒，故$AP=2t\ \mathrm{cm}$，结合$AC=6\ \mathrm{cm}$，得$PC=AC-AP=(6-2t)\ \mathrm{cm}$；
点Q从C向B以$\sqrt{3}\ \mathrm{cm/s}$移动，故$CQ=\sqrt{3}t\ \mathrm{cm}$。
确定运动时间范围：点Q到达终点B的时间为$\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$秒，点P到达终点C的时间为$\frac{6}{2}=3$秒，因此运动停止时$0＜t≤\frac{4\sqrt{3}}{3}$。
2. 建立面积函数并化简：
因为$∠ C=90°$，$△ PCQ$是直角三角形，其面积$S=\frac{1}{2}· PC· CQ$，代入得：
$S=\frac{1}{2}(6-2t)·\sqrt{3}t=-\sqrt{3}t^2+3\sqrt{3}t$。
3. 求二次函数的最大值：
二次函数$S=-\sqrt{3}t^2+3\sqrt{3}t$中，$a=-\sqrt{3}＜0$，图象开口向下，顶点处取得最大值。
顶点横坐标$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{3\sqrt{3}}{2×(-\sqrt{3})}=\frac{3}{2}$，验证得$\frac{3}{2}＜\frac{4\sqrt{3}}{3}$，符合时间范围。
将$t=\frac{3}{2}$代入函数，得最大值$S=-\sqrt{3}×(\frac{3}{2})^2+3\sqrt{3}×\frac{3}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$。
【答案】当$t=\frac{3}{2}$秒时，$S$最大，最大值为$\frac{9\sqrt{3}}{4}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】二次函数的最值、三角形面积公式、动点问题
【点评】本题是动点与二次函数结合的最值问题，核心是用含t的代数式表示线段长度，建立面积的二次函数模型，需注意自变量的取值范围，避免超出运动停止的时间边界。
【难度系数】0.6
【解析】
1. 表示动点对应的线段长度：
点P从A向C以2 cm/s移动，运动时间为t秒，故$AP=2t\ \mathrm{cm}$，结合$AC=6\ \mathrm{cm}$，得$PC=AC-AP=(6-2t)\ \mathrm{cm}$；
点Q从C向B以$\sqrt{3}\ \mathrm{cm/s}$移动，故$CQ=\sqrt{3}t\ \mathrm{cm}$。
确定运动时间范围：点Q到达终点B的时间为$\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$秒，点P到达终点C的时间为$\frac{6}{2}=3$秒，因此运动停止时$0＜t≤\frac{4\sqrt{3}}{3}$。
2. 建立面积函数并化简：
因为$∠ C=90°$，$△ PCQ$是直角三角形，其面积$S=\frac{1}{2}· PC· CQ$，代入得：
$S=\frac{1}{2}(6-2t)·\sqrt{3}t=-\sqrt{3}t^2+3\sqrt{3}t$。
3. 求二次函数的最大值：
二次函数$S=-\sqrt{3}t^2+3\sqrt{3}t$中，$a=-\sqrt{3}＜0$，图象开口向下，顶点处取得最大值。
顶点横坐标$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{3\sqrt{3}}{2×(-\sqrt{3})}=\frac{3}{2}$，验证得$\frac{3}{2}＜\frac{4\sqrt{3}}{3}$，符合时间范围。
将$t=\frac{3}{2}$代入函数，得最大值$S=-\sqrt{3}×(\frac{3}{2})^2+3\sqrt{3}×\frac{3}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$。
【答案】当$t=\frac{3}{2}$秒时，$S$最大，最大值为$\frac{9\sqrt{3}}{4}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】二次函数的最值、三角形面积公式、动点问题
【点评】本题是动点与二次函数结合的最值问题，核心是用含t的代数式表示线段长度，建立面积的二次函数模型，需注意自变量的取值范围，避免超出运动停止的时间边界。
【难度系数】0.6
5. 已知整数 $x,y,z$ 满足 $xy+yz+zx=118$, 求 $x^2+y^2+z^2$ 的最小值.
答案
$\because (a-b)^2=a^2+b^2-2ab≥0$,$\therefore a^2+b^2≥2ab$,$\therefore x^2+y^2≥2xy$,$x^2+z^2≥2xz$,$y^2+z^2≥2yz$,$\therefore 2x^2+2y^2+2z^2≥2xy+2xz+2yz$,即$x^2+y^2+z^2≥xy+xz+yz=118$,$\therefore x^2+y^2+z^2$的最小值为118.
解析
【分析】
要找到整数$x,y,z$满足$xy+yz+zx=118$时$x^2+y^2+z^2$的最小值，可利用基本不等式的性质：对任意实数$a,b$，有$a^2+b^2≥2ab$。将$x^2+y^2$、$x^2+z^2$、$y^2+z^2$分别应用该不等式后相加，可推导出平方和与两两乘积和的关系，进而求出最小值。
【解析】
根据基本不等式，对任意实数$a,b$，$a^2+b^2≥2ab$，因此：
$x^2+y^2≥2xy$，
$x^2+z^2≥2xz$，
$y^2+z^2≥2yz$。
将上述三个不等式左右两边分别相加，得：
$(x^2+y^2)+(x^2+z^2)+(y^2+z^2)≥2xy+2xz+2yz$，
整理左边为$2(x^2+y^2+z^2)$，右边提取公因式得$2(xy+yz+zx)$，因此：
$2(x^2+y^2+z^2)≥2(xy+yz+zx)$，
两边同时除以2，得：
$x^2+y^2+z^2≥ xy+yz+zx$。
已知$xy+yz+zx=118$，代入得：
$x^2+y^2+z^2≥118$，
当且仅当$x=y=z$时等号成立，此时$x^2+y^2+z^2$取得最小值。
【答案】
118
【知识点】
基本不等式，平方和公式
【点评】
本题考查基本不等式的应用，核心是利用三个数的平方和与两两乘积和的变形关系求最小值，解题关键是掌握基本不等式的推导逻辑，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
要找到整数$x,y,z$满足$xy+yz+zx=118$时$x^2+y^2+z^2$的最小值，可利用基本不等式的性质：对任意实数$a,b$，有$a^2+b^2≥2ab$。将$x^2+y^2$、$x^2+z^2$、$y^2+z^2$分别应用该不等式后相加，可推导出平方和与两两乘积和的关系，进而求出最小值。
【解析】
根据基本不等式，对任意实数$a,b$，$a^2+b^2≥2ab$，因此：
$x^2+y^2≥2xy$，
$x^2+z^2≥2xz$，
$y^2+z^2≥2yz$。
将上述三个不等式左右两边分别相加，得：
$(x^2+y^2)+(x^2+z^2)+(y^2+z^2)≥2xy+2xz+2yz$，
整理左边为$2(x^2+y^2+z^2)$，右边提取公因式得$2(xy+yz+zx)$，因此：
$2(x^2+y^2+z^2)≥2(xy+yz+zx)$，
两边同时除以2，得：
$x^2+y^2+z^2≥ xy+yz+zx$。
已知$xy+yz+zx=118$，代入得：
$x^2+y^2+z^2≥118$，
当且仅当$x=y=z$时等号成立，此时$x^2+y^2+z^2$取得最小值。
【答案】
118
【知识点】
基本不等式，平方和公式
【点评】
本题考查基本不等式的应用，核心是利用三个数的平方和与两两乘积和的变形关系求最小值，解题关键是掌握基本不等式的推导逻辑，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
6. 配方法是一种重要的解决问题的数学方法.例如,我们可以用配方法来进行分解因式.
阅读以下分解因式过程:
分解因式:$x^{2}+2x-3$.
解:$x^{2}+2x-3=(x^{2}+2x+1)-4=(x+1)^{2}-2^{2}$
$=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1).$
请你根据所给方法将下列各式因式分解:
(1)$x^{2}-6x-7$;
(2)$(x+y)^{2}+4(x+y)-5$;
(3)$(m^{2}-1)(n^{2}-1)+4mn.$
阅读以下分解因式过程:
分解因式:$x^{2}+2x-3$.
解:$x^{2}+2x-3=(x^{2}+2x+1)-4=(x+1)^{2}-2^{2}$
$=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1).$
请你根据所给方法将下列各式因式分解:
(1)$x^{2}-6x-7$;
(2)$(x+y)^{2}+4(x+y)-5$;
(3)$(m^{2}-1)(n^{2}-1)+4mn.$
答案
(1)$x^2-6x-7=x^2-6x+9-16=(x-3)^2-4^2=(x-3+4)(x-3-4)=(x+1)(x-7)$.
(2)设$x+y=A$,原式$=A^2+4A-5=A^2+4A+4-9=(A+2)^2-3^2=(A+2+3)(A+2-3)=(A+5)(A-1)=(x+y+5)(x+y-1)$.
(3)原式$=(m^2n^2+2mn+1)-(n^2-2nm+m^2)=(mn+1)^2-(n-m)^2=(mn+1+n-m)(mn+1-n+m)$.
(2)设$x+y=A$,原式$=A^2+4A-5=A^2+4A+4-9=(A+2)^2-3^2=(A+2+3)(A+2-3)=(A+5)(A-1)=(x+y+5)(x+y-1)$.
(3)原式$=(m^2n^2+2mn+1)-(n^2-2nm+m^2)=(mn+1)^2-(n-m)^2=(mn+1+n-m)(mn+1-n+m)$.
解析
【分析】
本题考查用配方法进行因式分解，核心思路是将多项式通过添加并减去一次项系数一半的平方，配成完全平方式，再结合平方差公式分解；对于整体式或复杂多项式，可通过换元法简化计算，第(3)题需先展开整理，再运用配方法和平方差公式分解。
【解析】
(1) 对$x^2 -6x -7$配方：
$x^2 -6x -7 = x^2 -6x +9 -9 -7 = (x^2 -6x +9) -16 = (x-3)^2 -4^2$，
再用平方差公式分解：
$=(x-3+4)(x-3-4)=(x+1)(x-7)$；
(2) 设$A=x+y$，将原式转化为关于$A$的二次式：
原式$=A^2 +4A -5$，配方得：
$A^2 +4A +4 -9=(A+2)^2 -3^2$，
分解得：
$=(A+2+3)(A+2-3)=(A+5)(A-1)$，代回$A=x+y$得：
$=(x+y+5)(x+y-1)$；
(3) 先展开原式并整理：
$(m^2 -1)(n^2 -1)+4mn = m^2n^2 -m^2 -n^2 +1 +4mn$
$= m^2n^2 +2mn +1 -m^2 -n^2 +2mn$
$=(mn+1)^2 - (m^2 -2mn +n^2)$
$=(mn+1)^2 - (m-n)^2$，
再用平方差公式分解：
$=(mn+1 +m -n)(mn+1 -m +n)$；
【答案】
(1)$(x+1)(x-7)$；(2)$(x+y+5)(x+y-1)$；(3)$(mn+1+m-n)(mn+1-m+n)$
【知识点】
因式分解-配方法，平方差公式，换元法
【点评】
本题是配方法因式分解的典型应用，涵盖基础配方、换元简化、复杂多项式整理后配方分解，考察学生对配方法、公式法的综合运用能力，第(3)题需先展开整理，有一定灵活性。
【难度系数】
0.6
本题考查用配方法进行因式分解，核心思路是将多项式通过添加并减去一次项系数一半的平方，配成完全平方式，再结合平方差公式分解；对于整体式或复杂多项式，可通过换元法简化计算，第(3)题需先展开整理，再运用配方法和平方差公式分解。
【解析】
(1) 对$x^2 -6x -7$配方：
$x^2 -6x -7 = x^2 -6x +9 -9 -7 = (x^2 -6x +9) -16 = (x-3)^2 -4^2$，
再用平方差公式分解：
$=(x-3+4)(x-3-4)=(x+1)(x-7)$；
(2) 设$A=x+y$，将原式转化为关于$A$的二次式：
原式$=A^2 +4A -5$，配方得：
$A^2 +4A +4 -9=(A+2)^2 -3^2$，
分解得：
$=(A+2+3)(A+2-3)=(A+5)(A-1)$，代回$A=x+y$得：
$=(x+y+5)(x+y-1)$；
(3) 先展开原式并整理：
$(m^2 -1)(n^2 -1)+4mn = m^2n^2 -m^2 -n^2 +1 +4mn$
$= m^2n^2 +2mn +1 -m^2 -n^2 +2mn$
$=(mn+1)^2 - (m^2 -2mn +n^2)$
$=(mn+1)^2 - (m-n)^2$，
再用平方差公式分解：
$=(mn+1 +m -n)(mn+1 -m +n)$；
【答案】
(1)$(x+1)(x-7)$；(2)$(x+y+5)(x+y-1)$；(3)$(mn+1+m-n)(mn+1-m+n)$
【知识点】
因式分解-配方法，平方差公式，换元法
【点评】
本题是配方法因式分解的典型应用，涵盖基础配方、换元简化、复杂多项式整理后配方分解，考察学生对配方法、公式法的综合运用能力，第(3)题需先展开整理，有一定灵活性。
【难度系数】
0.6
7. 若实数 $x,y$ 满足 $x^{2}+y^{2}-xy-x+2y+1=0$, 则$2\ 025x-2\ 026y$ 的值是
2026
.答案
2026 解析:$\because x^2+y^2-xy-x+2y+1=0$,$\therefore x^2-(y+1)x+(y^2+2y+1)=0$.$\because$实数$x$满足$x^2+y^2-xy-x+2y+1=0$,$\therefore b^2-4ac=[-(y+1)]^2-4(y^2+2y+1)=-3y^2-6y-3=-3(y+1)^2≥0$.$\because -3(y+1)^2≤0$,$\therefore y+1=0$,解得$y=-1$,把$y=-1$代入原方程,得$x^2=0$,$\therefore x=0$,$\therefore 2025x-2026y=2026$.
解析
【分析】
本题给出二元二次方程，要求代数式的值，解题思路是将方程整理为关于某一变量的一元二次方程，利用一元二次方程有实数解时判别式非负的性质，结合平方数的非负性确定未知数的值，最后代入目标代数式计算。
【解析】
解：将原方程$x^2 + y^2 - xy - x + 2y + 1 = 0$整理为关于$x$的一元二次方程：
$x^2 - (y + 1)x + (y^2 + 2y + 1) = 0$，
其中$a=1$，$b=-(y+1)$，$c=y^2 + 2y + 1$。
因为$x$为实数，所以该一元二次方程的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，
计算判别式：
$\Delta = [-(y+1)]^2 - 4 × 1 × (y^2 + 2y + 1)$
$= (y^2 + 2y + 1) - 4y^2 - 8y - 4$
$= -3y^2 - 6y - 3$
$= -3(y + 1)^2$，
由于$\Delta ≥ 0$，即$-3(y + 1)^2 ≥ 0$，又因为$-3(y + 1)^2 ≤ 0$，
所以只有$-3(y + 1)^2 = 0$，解得$y = -1$。
把$y = -1$代入原方程，得：
$x^2 - (-1 + 1)x + [(-1)^2 + 2 × (-1) + 1] = 0$，
化简得$x^2 = 0$，解得$x = 0$。
将$x=0$，$y=-1$代入$2025x - 2026y$，得：
$2025 × 0 - 2026 × (-1) = 2026$。
【答案】
2026
【知识点】
二元二次方程、判别式的应用、代数式求值
【点评】
本题通过将二元二次方程转化为一元二次方程，利用判别式和平方的非负性求解未知数，考查代数变形与非负数性质的应用，是典型的代数求值题型，需掌握方程整理和判别式的运用。
【难度系数】
0.5
本题给出二元二次方程，要求代数式的值，解题思路是将方程整理为关于某一变量的一元二次方程，利用一元二次方程有实数解时判别式非负的性质，结合平方数的非负性确定未知数的值，最后代入目标代数式计算。
【解析】
解：将原方程$x^2 + y^2 - xy - x + 2y + 1 = 0$整理为关于$x$的一元二次方程：
$x^2 - (y + 1)x + (y^2 + 2y + 1) = 0$，
其中$a=1$，$b=-(y+1)$，$c=y^2 + 2y + 1$。
因为$x$为实数，所以该一元二次方程的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，
计算判别式：
$\Delta = [-(y+1)]^2 - 4 × 1 × (y^2 + 2y + 1)$
$= (y^2 + 2y + 1) - 4y^2 - 8y - 4$
$= -3y^2 - 6y - 3$
$= -3(y + 1)^2$，
由于$\Delta ≥ 0$，即$-3(y + 1)^2 ≥ 0$，又因为$-3(y + 1)^2 ≤ 0$，
所以只有$-3(y + 1)^2 = 0$，解得$y = -1$。
把$y = -1$代入原方程，得：
$x^2 - (-1 + 1)x + [(-1)^2 + 2 × (-1) + 1] = 0$，
化简得$x^2 = 0$，解得$x = 0$。
将$x=0$，$y=-1$代入$2025x - 2026y$，得：
$2025 × 0 - 2026 × (-1) = 2026$。
【答案】
2026
【知识点】
二元二次方程、判别式的应用、代数式求值
【点评】
本题通过将二元二次方程转化为一元二次方程，利用判别式和平方的非负性求解未知数，考查代数变形与非负数性质的应用，是典型的代数求值题型，需掌握方程整理和判别式的运用。
【难度系数】
0.5
8. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-2\sqrt{2}mx+$ $m^{2}+m-1+k=0$($m,k$ 为常数) 有两个相等的实数根,求证:$k ≥ \dfrac{3}{4}.$
答案
$\because$关于$x$的一元二次方程$x^2-2\sqrt{2}mx+m^2+m-1+k=0$($m,k$为常数)有两个相等的实数根,$\therefore b^2-4ac=(-2\sqrt{2}m)^2-4(m^2+m-1+k)=0$,整理得$k=m^2-m+1$,$\therefore k=m^2-m+1=(m-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}≥\frac{3}{4}$.
解析
【分析】
要证明$k ≥ \frac{3}{4}$，需利用一元二次方程根的判别式：当一元二次方程有两个相等实数根时，判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$。先确定方程中$a、b、c$的值，代入判别式等于0的条件，整理得到$k$关于$m$的表达式，再通过配方法将表达式变形为完全平方加常数的形式，结合平方的非负性即可证明结论。
【解析】
因为关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2\sqrt{2}mx + m^2 + m -1 +k=0$有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^2 -4ac =0$。
其中$a=1$，$b=-2\sqrt{2}m$，$c=m^2 +m -1 +k$，代入得：
$\begin{aligned}(-2\sqrt{2}m)^2 -4×1×(m^2 +m -1 +k)&=0\\8m^2 -4(m^2 +m -1 +k)&=0\\8m^2 -4m^2 -4m +4 -4k&=0\\4m^2 -4m +4 -4k&=0\\两边除以4得：m^2 -m +1 -k&=0\\所以k&=m^2 -m +1\\将k配方：k&=(m^2 -m +\frac{1}{4}) +1 - \frac{1}{4}\\&=(m - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}\\因为(m - \frac{1}{2})^2 ≥0，所以k=(m - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} ≥ \frac{3}{4}\end{aligned}$
【答案】
∵关于$x$的一元二次方程$x^2-2\sqrt{2}mx+m^2+m-1+k=0$（$m,k$为常数）有两个相等的实数根，
∴$b^2-4ac=(-2\sqrt{2}m)^2-4(m^2+m-1+k)=0$，整理得$k=m^2-m+1$，
∴$k=m^2-m+1=(m-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}≥\frac{3}{4}$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；配方法求最值
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，需牢记“一元二次方程有两个相等实数根时判别式$\Delta=0$”的结论，同时熟练运用配方法变形代数式，利用平方的非负性证明不等式，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
要证明$k ≥ \frac{3}{4}$，需利用一元二次方程根的判别式：当一元二次方程有两个相等实数根时，判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$。先确定方程中$a、b、c$的值，代入判别式等于0的条件，整理得到$k$关于$m$的表达式，再通过配方法将表达式变形为完全平方加常数的形式，结合平方的非负性即可证明结论。
【解析】
因为关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2\sqrt{2}mx + m^2 + m -1 +k=0$有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^2 -4ac =0$。
其中$a=1$，$b=-2\sqrt{2}m$，$c=m^2 +m -1 +k$，代入得：
$\begin{aligned}(-2\sqrt{2}m)^2 -4×1×(m^2 +m -1 +k)&=0\\8m^2 -4(m^2 +m -1 +k)&=0\\8m^2 -4m^2 -4m +4 -4k&=0\\4m^2 -4m +4 -4k&=0\\两边除以4得：m^2 -m +1 -k&=0\\所以k&=m^2 -m +1\\将k配方：k&=(m^2 -m +\frac{1}{4}) +1 - \frac{1}{4}\\&=(m - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}\\因为(m - \frac{1}{2})^2 ≥0，所以k=(m - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} ≥ \frac{3}{4}\end{aligned}$
【答案】
∵关于$x$的一元二次方程$x^2-2\sqrt{2}mx+m^2+m-1+k=0$（$m,k$为常数）有两个相等的实数根，
∴$b^2-4ac=(-2\sqrt{2}m)^2-4(m^2+m-1+k)=0$，整理得$k=m^2-m+1$，
∴$k=m^2-m+1=(m-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}≥\frac{3}{4}$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；配方法求最值
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，需牢记“一元二次方程有两个相等实数根时判别式$\Delta=0$”的结论，同时熟练运用配方法变形代数式，利用平方的非负性证明不等式，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
9. 已知$(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)$是完全平方式,求证:$a=b=c$.
[二维码]
视频讲题
[二维码]
视频讲题
答案
整理已知代数式,得原式$=3x^2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc$.$\because$它是完全平方式,$\therefore$方程$3x^2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc=0$的根的判别式为0,即$4(a+b+c)^2-12(ab+ac+bc)=0$,$\therefore 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0$,即$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$.要使等式成立,则$\begin{cases}a-b=0,\\b-c=0,\\c-a=0,\end{cases}$即$a=b=c$.
解析
【分析】
要证明$a=b=c$，需先将原式展开整理为关于$x$的二次多项式；根据二次三项式为完全平方式的条件，其判别式等于0，据此列出等式化简，再利用非负数的性质即可推出$a=b=c$。
【解析】
先对原式展开、合并同类项：
$\begin{aligned}&(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)\\=&x^2+(a+b)x+ab + x^2+(b+c)x+bc + x^2+(a+c)x+ac\\=&3x^2 + 2(a+b+c)x + (ab+bc+ac)\end{aligned}$
因为该式是完全平方式，所以二次三项式的判别式$\Delta=0$：
$\Delta = [2(a+b+c)]^2 - 4×3×(ab+bc+ac)=0$
化简得：
$4(a+b+c)^2 -12(ab+bc+ac)=0$
两边同除以4：
$(a+b+c)^2 -3(ab+bc+ac)=0$
展开并整理：
$a^2+b^2+c^2 -ab -bc -ac=0$
两边乘以2后配方：
$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$
由于平方数非负，要使等式成立，需每个平方项为0，即：
$\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}$
因此$a=b=c$。
【答案】
$a=b=c$
【知识点】
完全平方式的判别式；配方与非负数性质；多项式化简
【点评】
本题为代数证明题，核心考察二次三项式为完全平方式的条件，以及代数变形和非负数性质的应用，需掌握判别式计算与配方技巧，难度中等。
【难度系数】
0.5
要证明$a=b=c$，需先将原式展开整理为关于$x$的二次多项式；根据二次三项式为完全平方式的条件，其判别式等于0，据此列出等式化简，再利用非负数的性质即可推出$a=b=c$。
【解析】
先对原式展开、合并同类项：
$\begin{aligned}&(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)\\=&x^2+(a+b)x+ab + x^2+(b+c)x+bc + x^2+(a+c)x+ac\\=&3x^2 + 2(a+b+c)x + (ab+bc+ac)\end{aligned}$
因为该式是完全平方式，所以二次三项式的判别式$\Delta=0$：
$\Delta = [2(a+b+c)]^2 - 4×3×(ab+bc+ac)=0$
化简得：
$4(a+b+c)^2 -12(ab+bc+ac)=0$
两边同除以4：
$(a+b+c)^2 -3(ab+bc+ac)=0$
展开并整理：
$a^2+b^2+c^2 -ab -bc -ac=0$
两边乘以2后配方：
$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$
由于平方数非负，要使等式成立，需每个平方项为0，即：
$\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}$
因此$a=b=c$。
【答案】
$a=b=c$
【知识点】
完全平方式的判别式；配方与非负数性质；多项式化简
【点评】
本题为代数证明题，核心考察二次三项式为完全平方式的条件，以及代数变形和非负数性质的应用，需掌握判别式计算与配方技巧，难度中等。
【难度系数】
0.5
