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二、拓展性作业
1. (1)图1-3-6①是一个长为 $ 2m $、宽为 $ 2n $的长方形，把此长方形沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图1-3-6②拼成一个正方形，请问：这两个图形的什么量不变？
(2)所得的正方形比原长方形多出的阴影部分的面积用含 $ m $， $ n $的代数式可表示为
1. (1)图1-3-6①是一个长为 $ 2m $、宽为 $ 2n $的长方形，把此长方形沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图1-3-6②拼成一个正方形，请问：这两个图形的什么量不变？
(2)所得的正方形比原长方形多出的阴影部分的面积用含 $ m $， $ n $的代数式可表示为
(m - n)^{2} (或 $ m^{2}-2mn+n^{2} $)
。答案
1. (1) 周长不变
(2) $ (m-n)^{2} $ (或 $ m^{2}-2mn+n^{2} $)
(2) $ (m-n)^{2} $ (或 $ m^{2}-2mn+n^{2} $)
2. 如图1-3-7所示，两个正方形的边长分别为 $ a $和 $ b $，如果 $ a + b = 12 $， $ ab = 24 $，求阴影部分的面积。
答案
解：
阴影部分面积。
，，，。
则。
因为，已知，，所以。
将，代入，得。
阴影部分面积。
，，，。
则。
因为，已知，，所以。
将，代入，得。
解析
【解析】
阴影部分面积$S = S_{正方形ABCD}+S_{正方形CGFE}-S_{△ ABD}-S_{△ BGF}$。
$S_{正方形ABCD}=a^{2}$，$S_{正方形CGFE}=b^{2}$，$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}a^{2}$，$S_{△ BGF}=\frac{1}{2}(a + b)b$。
则$S=a^{2}+b^{2}-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}(a + b)b=\frac{1}{2}a^{2}+b^{2}-\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}b^{2}=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}-ab)$。
因为$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，已知$a + b = 12$，$ab = 24$，所以$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab = 12^{2}-2×24 = 96$。
将$a^{2}+b^{2}=96$，$ab = 24$代入$S=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}-ab)$，得$S=\frac{1}{2}(96 - 24)=48$。
【答案】
48
【知识点】
正方形面积公式、三角形面积公式、完全平方公式
【点评】
本题通过对图形面积的分割与组合，运用正方形和三角形面积公式以及完全平方公式求解，考查对图形面积关系的理解和公式的运用能力。
【难度系数】
0.3
阴影部分面积$S = S_{正方形ABCD}+S_{正方形CGFE}-S_{△ ABD}-S_{△ BGF}$。
$S_{正方形ABCD}=a^{2}$，$S_{正方形CGFE}=b^{2}$，$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}a^{2}$，$S_{△ BGF}=\frac{1}{2}(a + b)b$。
则$S=a^{2}+b^{2}-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}(a + b)b=\frac{1}{2}a^{2}+b^{2}-\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}b^{2}=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}-ab)$。
因为$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，已知$a + b = 12$，$ab = 24$，所以$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab = 12^{2}-2×24 = 96$。
将$a^{2}+b^{2}=96$，$ab = 24$代入$S=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}-ab)$，得$S=\frac{1}{2}(96 - 24)=48$。
【答案】
48
【知识点】
正方形面积公式、三角形面积公式、完全平方公式
【点评】
本题通过对图形面积的分割与组合，运用正方形和三角形面积公式以及完全平方公式求解，考查对图形面积关系的理解和公式的运用能力。
【难度系数】
0.3
3. 配方法是数学中一种重要的思想方法，是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题的方法。我们规定：一个整数能表示成 $ a^{2}+b^{2} $( $ a $， $ b $是整数)的形式，则称这个数为“完美数”。例如，10是“完美数”，理由：因为 $ 10 = 3^{2}+1^{2} $，所以10是“完美数”。
【解决问题】(1)下列各数中，“完美数”有
①29
②48
③13
④28
【探究问题】(2)若 $ a^{2}-4a + 8 $可配方成 $ (a - m)^{2}+n^{2} $( $ m $， $ n $为常数)，则 $ mn $的值为
(3)已知 $ S = a^{2}+4ab + 5b^{2}-8b + k $( $ a $， $ b $是整数， $ k $是常数)，要使 $ S $为“完美数”，试求出符合条件的一个 $ k $的值，并说明理由。
【拓展应用】(4)已知实数 $ a $， $ b $满足 $ -a^{2}+5a + b - 3 = 0 $，求 $ a + b $的最小值。
【解决问题】(1)下列各数中，“完美数”有
①③
。(填序号)①29
②48
③13
④28
【探究问题】(2)若 $ a^{2}-4a + 8 $可配方成 $ (a - m)^{2}+n^{2} $( $ m $， $ n $为常数)，则 $ mn $的值为
$ \pm 4 $
。(3)已知 $ S = a^{2}+4ab + 5b^{2}-8b + k $( $ a $， $ b $是整数， $ k $是常数)，要使 $ S $为“完美数”，试求出符合条件的一个 $ k $的值，并说明理由。
【拓展应用】(4)已知实数 $ a $， $ b $满足 $ -a^{2}+5a + b - 3 = 0 $，求 $ a + b $的最小值。
答案
3. 解：(1) ①③ 解析：因为 $ 29=25+4=5^{2}+2^{2} $，$ 13=9+4=3^{2}+2^{2} $，48 和 28 不能拆分为两个整数的平方和，所以“完美数”有 29 和 13。故答案为①③。
(2) $ \pm 4 $ 解析：因为 $ a^{2}-4a+8=a^{2}-4a+4+4=(a-2)^{2}+4 $，$ a^{2}-4a+8=(a-m)^{2}+n^{2} $，所以 $ m=2 $，$ n=\pm 2 $，所以 $ mn=\pm 4 $。故答案为 $ \pm 4 $。
(3) 当 $ k=16 $ 时，S 是“完美数”。理由如下：
$ S=a^{2}+4ab+5b^{2}-8b+16 $
$ =a^{2}+4ab+4b^{2}+b^{2}-8b+16 $
$ =(a+2b)^{2}+(b-4)^{2} $。
因为 a，b 是整数，所以 $ a+2b $ 和 $ b-4 $ 也是整数，所以当 $ k=16 $ 时，S 是“完美数”。
(4) 因为 $ -a^{2}+5a+b-3=0 $，所以 $ a+b=a^{2}-4a+3 $，所以 $ a+b=a^{2}-4a+4-1 $，所以 $ a+b=(a-2)^{2}-1 $。因为 $ (a-2)^{2}≥ 0 $，所以 $ (a-2)^{2}-1≥ -1 $，所以 $ a+b $ 的最小值为 -1。
(2) $ \pm 4 $ 解析：因为 $ a^{2}-4a+8=a^{2}-4a+4+4=(a-2)^{2}+4 $，$ a^{2}-4a+8=(a-m)^{2}+n^{2} $，所以 $ m=2 $，$ n=\pm 2 $，所以 $ mn=\pm 4 $。故答案为 $ \pm 4 $。
(3) 当 $ k=16 $ 时，S 是“完美数”。理由如下：
$ S=a^{2}+4ab+5b^{2}-8b+16 $
$ =a^{2}+4ab+4b^{2}+b^{2}-8b+16 $
$ =(a+2b)^{2}+(b-4)^{2} $。
因为 a，b 是整数，所以 $ a+2b $ 和 $ b-4 $ 也是整数，所以当 $ k=16 $ 时，S 是“完美数”。
(4) 因为 $ -a^{2}+5a+b-3=0 $，所以 $ a+b=a^{2}-4a+3 $，所以 $ a+b=a^{2}-4a+4-1 $，所以 $ a+b=(a-2)^{2}-1 $。因为 $ (a-2)^{2}≥ 0 $，所以 $ (a-2)^{2}-1≥ -1 $，所以 $ a+b $ 的最小值为 -1。
