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5. 如图4，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，请猜想并证明EF与BF的数量关系.
答案
5.$EF=BF$. 提示：分别延长AD，BF相交于点O，证$△ DOF ≌ △ CBF$，得F为OB的中点，利用直角三角形斜边中线性质解决问题
解析
【分析】
要证明EF与BF的数量关系，观察图形已知F是CD中点，平行四边形对边平行，我们可以通过构造全等三角形转化线段关系：首先延长AD、BF交于点O，利用平行四边形对边平行的性质得到内错角相等，结合F是中点的条件证明△DOF≌△CBF，可得F是OB的中点；再结合BE⊥AD得到Rt△BEO，利用直角三角形斜边中线的性质即可推出EF和BF的关系。
【解析】
猜想：$EF=BF$，证明如下：
分别延长$AD$，$BF$相交于点$O$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD// BC$，
∴ $∠ ODF = ∠ C$。
∵ $F$为$CD$的中点，
∴ $DF=CF$。
在$△ DOF$和$△ CBF$中：
$\{\begin{array}{l}∠ ODF=∠ C\\ DF=CF\\ ∠ DFO=∠ CFB\end{array} $
∴ $△ DOF ≌ △ CBF$（ASA），
∴ $OF=BF$，即$F$是线段$OB$的中点。
∵ $BE⊥ AD$，
∴ $∠ BEO=90°$，$△ BEO$是直角三角形。
∵ $EF$是$Rt△ BEO$斜边$OB$上的中线，
∴ $EF=\frac{1}{2}OB=BF$。
【答案】
$EF=BF$
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于四边形综合基础题，通过构造全等三角形转化线段的中点关系，结合直角三角形的性质推导线段相等，是几何中证明线段相等的常见考法，重点考查辅助线的构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
要证明EF与BF的数量关系，观察图形已知F是CD中点，平行四边形对边平行，我们可以通过构造全等三角形转化线段关系：首先延长AD、BF交于点O，利用平行四边形对边平行的性质得到内错角相等，结合F是中点的条件证明△DOF≌△CBF，可得F是OB的中点；再结合BE⊥AD得到Rt△BEO，利用直角三角形斜边中线的性质即可推出EF和BF的关系。
【解析】
猜想：$EF=BF$，证明如下：
分别延长$AD$，$BF$相交于点$O$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD// BC$，
∴ $∠ ODF = ∠ C$。
∵ $F$为$CD$的中点，
∴ $DF=CF$。
在$△ DOF$和$△ CBF$中：
$\{\begin{array}{l}∠ ODF=∠ C\\ DF=CF\\ ∠ DFO=∠ CFB\end{array} $
∴ $△ DOF ≌ △ CBF$（ASA），
∴ $OF=BF$，即$F$是线段$OB$的中点。
∵ $BE⊥ AD$，
∴ $∠ BEO=90°$，$△ BEO$是直角三角形。
∵ $EF$是$Rt△ BEO$斜边$OB$上的中线，
∴ $EF=\frac{1}{2}OB=BF$。
【答案】
$EF=BF$
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于四边形综合基础题，通过构造全等三角形转化线段的中点关系，结合直角三角形的性质推导线段相等，是几何中证明线段相等的常见考法，重点考查辅助线的构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
6. 如图5，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（－2，0），点E在边CD上，CD交y轴于点G.将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处.若点F的坐标为（0，6），求点E的坐标.
答案
6.$\because$ 四边形ABCD是正方形，边AB在x轴上，$\therefore AD=AB=CD=CB$，$AD ⊥ x$轴，$CD ⊥ y$轴. 由折叠知$FB=CB$，$FE=CE$. CD交y轴于点G，设$AD=AB=CB=CD=m$，则$BF=OG=m$. $\because A(-2,0)$，$F(0,6)$，$\therefore OA=GD=2$，$OF=6$. $\therefore OB=m-2$. $\because ∠ BOF=∠ EGF=90°$，$\therefore OB^2+OF^2=BF^2$. $\therefore (m-2)^2+6^2=m^2$，解得$m=10$. $\therefore AD=OG=CD=10$. $\therefore FG=10-6=4$，$FE=CE=10-2-GE=8-GE$. $\because GE^2+FG^2=FE^2$，$\therefore GE^2+4^2=(8-GE)^2$，解得$GE=3$，点E的坐标为$(3,10)$
解析
【分析】
本题是正方形背景下的折叠求点坐标问题，解题时先利用正方形的性质和折叠的性质得到相等线段，先设正方形的边长为m，将Rt△BOF的边长用含m的式子表示，通过勾股定理列方程求出正方形的边长；再设GE的长为未知数，在Rt△EGF中再次利用勾股定理列方程求出GE的长度，最后结合坐标系的特点即可得到点E的坐标。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，边AB在x轴上，
∴ $AD=AB=CD=CB$，$AD ⊥ x$轴，$CD ⊥ y$轴，
由折叠的性质可知，$FB=CB$，$FE=CE$，
设正方形的边长$AD=AB=CB=CD=m$，则$BF=BC=m$，$OG=AD=m$，
∵ $A(-2,0)$，$F(0,6)$，
∴ $OA=GD=2$，$OF=6$，$OB=AB-OA=m-2$，
在Rt△BOF中，$∠ BOF=90°$，由勾股定理得$OB^2+OF^2=BF^2$，
∴ $(m-2)^2+6^2=m^2$，
展开得$m^2-4m+4+36=m^2$，
解得$m=10$，即正方形的边长为10，
∴ $CD=OG=10$，
∴ $FG=OG-OF=10-6=4$，$CE=CD-DE=10-(GD+GE)=10-(2+GE)=8-GE$，
又
∵ $FE=CE$，
∴ $FE=8-GE$，
在Rt△EGF中，$∠ EGF=90°$，由勾股定理得$GE^2+FG^2=FE^2$，
∴ $GE^2+4^2=(8-GE)^2$，
展开得$GE^2+16=64-16GE+GE^2$，
解得$GE=3$，
∵ CD在直线$y=10$上，E的横坐标等于GE的长度为3，
∴ 点E的坐标为$(3,10)$。
【答案】
$(3,10)$
【知识点】
正方形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何与坐标系结合的综合题，解题核心是利用折叠性质得到相等线段，结合勾股定理列方程求解未知线段长度，这种“方程思想”在几何计算中十分常用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.65
本题是正方形背景下的折叠求点坐标问题，解题时先利用正方形的性质和折叠的性质得到相等线段，先设正方形的边长为m，将Rt△BOF的边长用含m的式子表示，通过勾股定理列方程求出正方形的边长；再设GE的长为未知数，在Rt△EGF中再次利用勾股定理列方程求出GE的长度，最后结合坐标系的特点即可得到点E的坐标。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，边AB在x轴上，
∴ $AD=AB=CD=CB$，$AD ⊥ x$轴，$CD ⊥ y$轴，
由折叠的性质可知，$FB=CB$，$FE=CE$，
设正方形的边长$AD=AB=CB=CD=m$，则$BF=BC=m$，$OG=AD=m$，
∵ $A(-2,0)$，$F(0,6)$，
∴ $OA=GD=2$，$OF=6$，$OB=AB-OA=m-2$，
在Rt△BOF中，$∠ BOF=90°$，由勾股定理得$OB^2+OF^2=BF^2$，
∴ $(m-2)^2+6^2=m^2$，
展开得$m^2-4m+4+36=m^2$，
解得$m=10$，即正方形的边长为10，
∴ $CD=OG=10$，
∴ $FG=OG-OF=10-6=4$，$CE=CD-DE=10-(GD+GE)=10-(2+GE)=8-GE$，
又
∵ $FE=CE$，
∴ $FE=8-GE$，
在Rt△EGF中，$∠ EGF=90°$，由勾股定理得$GE^2+FG^2=FE^2$，
∴ $GE^2+4^2=(8-GE)^2$，
展开得$GE^2+16=64-16GE+GE^2$，
解得$GE=3$，
∵ CD在直线$y=10$上，E的横坐标等于GE的长度为3，
∴ 点E的坐标为$(3,10)$。
【答案】
$(3,10)$
【知识点】
正方形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何与坐标系结合的综合题，解题核心是利用折叠性质得到相等线段，结合勾股定理列方程求解未知线段长度，这种“方程思想”在几何计算中十分常用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.65
