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6. 已知$a＞b$，则$-4a$
＜
$-4b$.（填“＜”“＞”或“=”）答案
6. ＜
解析
【分析】
要判断-4a与-4b的大小关系，可结合已知条件$a＞b$，利用不等式的基本性质推导。观察待比较的两个式子，是对a、b同时乘-4得到的，此时需回忆不等式的乘除性质：不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变；乘同一个负数，不等号方向改变。这里乘的-4是负数，因此不等号方向要和原不等式的方向相反，据此即可得出结果。
【解析】
解：已知$a ＞ b$，
根据不等式的基本性质：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向发生改变。
将不等式$a ＞ b$的两边同时乘以$-4$，不等号方向改变，因此可得$-4a ＜ -4b$。
【答案】
＜
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题属于不等式性质的基础应用题型，解题的关键是牢记不等式两边同乘负数时，不等号方向需要改变，避免因忽略变号规则出现错误。
【难度系数】
0.8
要判断-4a与-4b的大小关系，可结合已知条件$a＞b$，利用不等式的基本性质推导。观察待比较的两个式子，是对a、b同时乘-4得到的，此时需回忆不等式的乘除性质：不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变；乘同一个负数，不等号方向改变。这里乘的-4是负数，因此不等号方向要和原不等式的方向相反，据此即可得出结果。
【解析】
解：已知$a ＞ b$，
根据不等式的基本性质：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向发生改变。
将不等式$a ＞ b$的两边同时乘以$-4$，不等号方向改变，因此可得$-4a ＜ -4b$。
【答案】
＜
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题属于不等式性质的基础应用题型，解题的关键是牢记不等式两边同乘负数时，不等号方向需要改变，避免因忽略变号规则出现错误。
【难度系数】
0.8
7. 已知$x＜y$，则$3x+1$
＜
$3y+1$. （填“＜”“＞”或“=”）答案
7. ＜
解析
【分析】
解题时先观察要比较的两个式子的变形规律：两个式子是分别给x、y先乘3，再加1得到的。我们可以结合不等式的基本性质，对已知条件$x＜y$逐步做相同的变形，就能判断两个式子的大小：首先回忆不等式的性质，不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变；不等式两边加同一个数，不等号方向也不变，按照这个规则分步变形即可。
【解析】
已知$x ＜ y$，
1. 根据不等式的基本性质：不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，给不等式两边同时乘3，可得$3x ＜ 3y$；
2. 再根据不等式的基本性质：不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，给上述不等式两边同时加1，可得$3x + 1 ＜ 3y + 1$。
【答案】
＜
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题属于不等式性质的基础应用题，解题的核心是明确不等式变形过程中不等号方向的变化规则，尤其要注意只有不等式两边乘或除以同一个负数时，不等号方向才需要改变。
【难度系数】
0.9
解题时先观察要比较的两个式子的变形规律：两个式子是分别给x、y先乘3，再加1得到的。我们可以结合不等式的基本性质，对已知条件$x＜y$逐步做相同的变形，就能判断两个式子的大小：首先回忆不等式的性质，不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变；不等式两边加同一个数，不等号方向也不变，按照这个规则分步变形即可。
【解析】
已知$x ＜ y$，
1. 根据不等式的基本性质：不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，给不等式两边同时乘3，可得$3x ＜ 3y$；
2. 再根据不等式的基本性质：不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，给上述不等式两边同时加1，可得$3x + 1 ＜ 3y + 1$。
【答案】
＜
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题属于不等式性质的基础应用题，解题的核心是明确不等式变形过程中不等号方向的变化规则，尤其要注意只有不等式两边乘或除以同一个负数时，不等号方向才需要改变。
【难度系数】
0.9
8. 写出下列各图所表示的不等式的解集：
(1)图①：
(2)图②：
(3)图③：
(1)图①：
$x＜-1$
；(2)图②：
$x＞-2$
；(3)图③：
$x≤6$
。答案
8. (1)$x＜-1$
(2)$x＞-2$
(3)$x≤6$
(2)$x＞-2$
(3)$x≤6$
解析
【分析】
要确定数轴表示的不等式解集，需记住两个判断规则：1. 看端点：空心圆圈表示不包含这个点对应的数，实心圆点表示包含这个点对应的数；2. 看方向：折线向左表示数更小（即小于），折线向右表示数更大（即大于）。我们分别对三个图按照上述规则判断即可。
【解析】
(1) 观察图①：端点在-1的位置，是空心圆圈，说明不包含-1，折线向左，说明数比-1小，因此解集为$x＜-1$；
(2) 观察图②：端点在-2的位置，是空心圆圈，说明不包含-2，折线向右，说明数比-2大，因此解集为$x＞-2$；
(3) 观察图③：端点在6的位置，是实心圆点，说明包含6，折线向左，说明数小于或等于6，因此解集为$x≤6$。
【答案】
(1)$x＜-1$；(2)$x＞-2$；(3)$x≤6$
【知识点】
数轴表示不等式解集、不等式的解集
【点评】
本题是不等式解集与数轴结合的基础题型，核心是掌握端点类型和折线方向的判断规则，熟练掌握后可以快速准确得到答案。
【难度系数】
0.9
要确定数轴表示的不等式解集，需记住两个判断规则：1. 看端点：空心圆圈表示不包含这个点对应的数，实心圆点表示包含这个点对应的数；2. 看方向：折线向左表示数更小（即小于），折线向右表示数更大（即大于）。我们分别对三个图按照上述规则判断即可。
【解析】
(1) 观察图①：端点在-1的位置，是空心圆圈，说明不包含-1，折线向左，说明数比-1小，因此解集为$x＜-1$；
(2) 观察图②：端点在-2的位置，是空心圆圈，说明不包含-2，折线向右，说明数比-2大，因此解集为$x＞-2$；
(3) 观察图③：端点在6的位置，是实心圆点，说明包含6，折线向左，说明数小于或等于6，因此解集为$x≤6$。
【答案】
(1)$x＜-1$；(2)$x＞-2$；(3)$x≤6$
【知识点】
数轴表示不等式解集、不等式的解集
【点评】
本题是不等式解集与数轴结合的基础题型，核心是掌握端点类型和折线方向的判断规则，熟练掌握后可以快速准确得到答案。
【难度系数】
0.9
9. 若关于$x$的不等式$x - a ＞ 1$的解集与不等式$\frac{x - 1}{2} ＞ \frac{1}{3}$的解集相同，则$a$的值为
$\dfrac{2}{3}$
。答案
9. $\dfrac{2}{3}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先我们需要分别求解两个一元一次不等式，因为两个不等式的解集相同，说明它们解集的边界值相等，我们可以据此列出关于参数a的一元一次方程，解方程即可得到a的值。第一步先求解不含参数的第二个不等式，得到确定的解集；第二步求解含参数a的第一个不等式，得到用a表示的解集；第三步根据解集相同建立等式求解a。
【解析】
1. 求解不等式$\dfrac{x - 1}{2} ＞ \dfrac{1}{3}$：
两边同时乘6（2和3的最小公倍数）去分母，得$3(x-1) ＞ 2$，
去括号，得$3x - 3 ＞ 2$，
移项、合并同类项，得$3x ＞ 5$，
系数化为1，得$x ＞ \dfrac{5}{3}$。
2. 求解不等式$x - a ＞ 1$：
移项得$x ＞ a + 1$。
3. 由两个不等式解集相同，可得解集的边界值相等，即：
$a + 1 = \dfrac{5}{3}$，
移项计算得$a = \dfrac{5}{3} - 1 = \dfrac{2}{3}$。
【答案】
$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
一元一次不等式解法，同解不等式性质，一元一次方程解法
【点评】
本题属于基础题，核心是利用同解不等式的性质建立等量关系，解题时要注意解不等式的步骤规范，避免去分母、移项时出现计算错误。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先我们需要分别求解两个一元一次不等式，因为两个不等式的解集相同，说明它们解集的边界值相等，我们可以据此列出关于参数a的一元一次方程，解方程即可得到a的值。第一步先求解不含参数的第二个不等式，得到确定的解集；第二步求解含参数a的第一个不等式，得到用a表示的解集；第三步根据解集相同建立等式求解a。
【解析】
1. 求解不等式$\dfrac{x - 1}{2} ＞ \dfrac{1}{3}$：
两边同时乘6（2和3的最小公倍数）去分母，得$3(x-1) ＞ 2$，
去括号，得$3x - 3 ＞ 2$，
移项、合并同类项，得$3x ＞ 5$，
系数化为1，得$x ＞ \dfrac{5}{3}$。
2. 求解不等式$x - a ＞ 1$：
移项得$x ＞ a + 1$。
3. 由两个不等式解集相同，可得解集的边界值相等，即：
$a + 1 = \dfrac{5}{3}$，
移项计算得$a = \dfrac{5}{3} - 1 = \dfrac{2}{3}$。
【答案】
$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
一元一次不等式解法，同解不等式性质，一元一次方程解法
【点评】
本题属于基础题，核心是利用同解不等式的性质建立等量关系，解题时要注意解不等式的步骤规范，避免去分母、移项时出现计算错误。
【难度系数】
0.8
10. 如图，有P、Q、R、S四个小朋友去公园玩跷跷板，则这四个小朋友中，最重的是
R
。答案
10. R
解析
【分析】
解题时先根据跷跷板的状态判断重量关系：下沉一侧重量更大，平衡时两侧重量相等，先列出三个对应的等式和不等式，再通过等量代换和不等式的性质，逐步比较四个小朋友的重量大小，最终找出最重的人。
【解析】
根据跷跷板的状态可得到如下重量关系：
1. 第一个跷跷板S端下沉，可得：$S ＞ P$ ①；
2. 第二个跷跷板$P+R$端下沉，可得：$P + R ＞ Q + S$ ②；
3. 第三个跷跷板平衡，可得：$Q + R = P + S$ ③。
将等式③变形为$Q = P + S - R$，代入不等式②：
$P + R ＞ (P + S - R) + S$
化简得：$P + R ＞ P + 2S - R$，两边同时减去$P$得$R ＞ 2S - R$，整理得$2R ＞ 2S$，即$R ＞ S$ ④。
结合①和④可得$R ＞ S ＞ P$。
再将等式③变形为$R - S = P - Q$，由④可知$R - S ＞ 0$，因此$P - Q ＞ 0$，即$P ＞ Q$。
综上四个小朋友的重量关系为：$R ＞ S ＞ P ＞ Q$，因此最重的是R。
【答案】
R
【知识点】
不等式的性质；等式的性质；等量代换
【点评】
本题结合生活中跷跷板的实际场景，考查等式、不等式的应用，需要同学们通过代换转化来比较多个量的大小，既锻炼逻辑推理能力，也体现了数学与生活的紧密联系。
【难度系数】
0.7
解题时先根据跷跷板的状态判断重量关系：下沉一侧重量更大，平衡时两侧重量相等，先列出三个对应的等式和不等式，再通过等量代换和不等式的性质，逐步比较四个小朋友的重量大小，最终找出最重的人。
【解析】
根据跷跷板的状态可得到如下重量关系：
1. 第一个跷跷板S端下沉，可得：$S ＞ P$ ①；
2. 第二个跷跷板$P+R$端下沉，可得：$P + R ＞ Q + S$ ②；
3. 第三个跷跷板平衡，可得：$Q + R = P + S$ ③。
将等式③变形为$Q = P + S - R$，代入不等式②：
$P + R ＞ (P + S - R) + S$
化简得：$P + R ＞ P + 2S - R$，两边同时减去$P$得$R ＞ 2S - R$，整理得$2R ＞ 2S$，即$R ＞ S$ ④。
结合①和④可得$R ＞ S ＞ P$。
再将等式③变形为$R - S = P - Q$，由④可知$R - S ＞ 0$，因此$P - Q ＞ 0$，即$P ＞ Q$。
综上四个小朋友的重量关系为：$R ＞ S ＞ P ＞ Q$，因此最重的是R。
【答案】
R
【知识点】
不等式的性质；等式的性质；等量代换
【点评】
本题结合生活中跷跷板的实际场景，考查等式、不等式的应用，需要同学们通过代换转化来比较多个量的大小，既锻炼逻辑推理能力，也体现了数学与生活的紧密联系。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 已知$x＜y$，试比较$6+27x$和$6+27y$的大小，并说明理由.
将下面的解题过程补充完整.
解：$6+27x$
理由如下：$\because x＜y$，
$\therefore$
$\therefore$
11. 已知$x＜y$，试比较$6+27x$和$6+27y$的大小，并说明理由.
将下面的解题过程补充完整.
解：$6+27x$
＜
$6+27y$，理由如下：$\because x＜y$，
$\therefore$
$27x＜27y$
（不等式的基本性质2），$\therefore$
$6+27x＜6+27y$
（不等式的基本性质1）.答案
11. ＜ $27x＜27y$ $6+27x＜6+27y$
解析
【分析】
要比较$6+27x$和$6+27y$的大小，我们可以结合已知$x＜y$，利用不等式的基本性质逐步推导。首先观察两个式子的结构，都是在含x、y的单项式基础上加常数6，所以先根据不等式的基本性质2处理x和y的倍数关系：27是正数，不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，因此先给$x＜y$两边同时乘27，得到关于27x和27y的大小关系；再根据不等式的基本性质1，不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，给所得不等式两边同时加6，即可得到两个待比较式子的大小关系。
【解析】
$6+27x$ ＜ $6+27y$，
理由如下：$\because x＜y$，
$\therefore$ $27x＜27y$（不等式的基本性质2：不等式两边同时乘同一个正数，不等号的方向不变），
$\therefore$ $6+27x＜6+27y$（不等式的基本性质1：不等式两边同时加同一个数，不等号的方向不变）。
【答案】
＜；$27x＜27y$；$6+27x＜6+27y$
【知识点】
不等式的基本性质1；不等式的基本性质2
【点评】
本题是不等式性质的基础应用题型，解题的关键是准确区分不同不等式性质的适用场景，注意不等式两边乘正数时不等号方向不变，避免和乘负数的情况混淆。
【难度系数】
0.9
要比较$6+27x$和$6+27y$的大小，我们可以结合已知$x＜y$，利用不等式的基本性质逐步推导。首先观察两个式子的结构，都是在含x、y的单项式基础上加常数6，所以先根据不等式的基本性质2处理x和y的倍数关系：27是正数，不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，因此先给$x＜y$两边同时乘27，得到关于27x和27y的大小关系；再根据不等式的基本性质1，不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，给所得不等式两边同时加6，即可得到两个待比较式子的大小关系。
【解析】
$6+27x$ ＜ $6+27y$，
理由如下：$\because x＜y$，
$\therefore$ $27x＜27y$（不等式的基本性质2：不等式两边同时乘同一个正数，不等号的方向不变），
$\therefore$ $6+27x＜6+27y$（不等式的基本性质1：不等式两边同时加同一个数，不等号的方向不变）。
【答案】
＜；$27x＜27y$；$6+27x＜6+27y$
【知识点】
不等式的基本性质1；不等式的基本性质2
【点评】
本题是不等式性质的基础应用题型，解题的关键是准确区分不同不等式性质的适用场景，注意不等式两边乘正数时不等号方向不变，避免和乘负数的情况混淆。
【难度系数】
0.9
