【学以致用5】(1)若圆心角为$\frac{π}{3}$的扇形的面积为$\frac{3π}{2}$，则扇形的弧长为 （）
A.$\frac{π}{3}$ B.$\frac{π}{2}$ C.$π$ D.$2π$
(2)已知$120°$的圆心角所对的弧长为$4π$，则这个扇形的面积为 （）
A.12 B.6 C.$12π$ D.$6π$

(1)设扇形的半径为$r$,则$\frac{1}{2}×\frac{π}{3}r^2=\frac{3π}{2}$,解得$r=3$,
故扇形的弧长为$\frac{π}{3}×3=π$.
(2)设扇形的半径为$r$.因为$l=\frac{nπ r}{180}$,$n°=120°$,$l=4π$,
所以$4π=\frac{120π r}{180}$,解得$r=6$,所以$S=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}×4π×6=12π$.

【典例1】(1)(多选)在平面直角坐标系中，下列命题是真命题的是 ()

A.小于 $90°$的角一定是锐角
B.钝角一定是第二象限角
C.终边不重合的角一定不相等
D.第二象限角大于第一象限角

BC

逐个分析选项：
1. 选项A：小于90°的角包含负角、零角，例如-30°不是锐角，锐角的定义是大于0°且小于90°的角，故A为假命题。
2. 选项B：钝角的取值范围是$(90°,180°)$，符合第二象限角的特征，因此钝角一定是第二象限角，故B为真命题。
3. 选项C：若两个角相等，将其顶点与原点重合、始边与x轴正半轴重合，终边必然重合，因此终边不重合的角一定不相等，故C为真命题。
4. 选项D：举反例：$120°$是第二象限角，$380°=360°+20°$是第一象限角，$120°＜380°$，因此第二象限角不一定大于第一象限角，故D为假命题。
综上，真命题为BC。

(2)与$943°18'$角终边相同的角的集合为（）
A. $\{x | x=43°18'+k · 360°,k \in \mathbb{Z}\}$
B. $\{x | x=43°18'+k · 180°,k \in \mathbb{Z}\}$
C. $\{x | x=223°18'+k · 180°,k \in \mathbb{Z}\}$
D. $\{x | x=223°18'+k · 360°,k \in \mathbb{Z}\}$
(3)已知角$β$的终边在直线$\sqrt{3}x - y = 0$上,则角$β$的集合$S$为.
解题指导(1)看到与任意角有关命题的判断,想到任意角的大小、方向,以及终边相同的角.
(2)第一步:将$943°18'$化为$0° ∼ 360°$范围内的角;
第二步:代入终边相同角的公式表示即可.
(3)先在$0° ∼ 360°$范围内,分别写出终边落在第一象限内的角是$60°$,终边落在第三象限内的角是$240°$,再根据终边相同的角的表示方法,即可得答案.
解析(1)因为锐角$α \in (0°,90°)$,所以小于$90°$的角不一定是锐角,故A是假命题;
因为钝角$β \in (90°,180°)$,第二象限角$θ \in (90°+k · 360°,180°+k · 360°),k \in \mathbb{Z}$,所以钝角一定是第二象限角,故B是真命题;
若两个角的终边不重合,则这两个角一定不相等,故C是真命题;
例如$α=120°$是第二象限角,$β=390°$是第一象限角,但$α＜β$,故D是假命题.
(2)因为$943°18'=223°18'+2 × 360°$,所以$943°18'$角与$223°18'$角终边相同.
根据终边相同的角的性质,知与$943°18'$角终边相同的角的集合为$\{x | x=223°18'+k · 360°,k \in \mathbb{Z}\}$.
(3)如图,直线$\sqrt{3}x - y = 0$过原点,倾斜角为$60°$,

所以在$0° ∼ 360°$范围内,终边落在射线$OA$上的角是$60°$,终边落在射线$OB$上的角是$240°$,
所以以射线$OA,OB$为终边的角的集合分别为$S_1 = \{β | β=60°+k · 360°,k \in \mathbb{Z}\}, S_2 = \{β | β=240°+k · 360°,k \in \mathbb{Z}\},$(不能只考虑终边落在射线$OA$上的角是$60°$,而忽视终边落在射线$OB$上的角是$240°$)
所以角$β$的集合$S = S_1 \cup S_2 = \{β | β=60°+k · 360°,k \in \mathbb{Z}\} \cup \{β | β=60°+180°+k · 360°,k \in \mathbb{Z}\} = \{β | β=60°+2k · 180°,k \in \mathbb{Z}\} \cup \{β | β=60°+(2k+1) · 180°,k \in \mathbb{Z}\} = \{β | β=60°+n · 180°,n \in \mathbb{Z}\}$.
答案(1)BC (2)D
(3)$\{β | β=60°+n · 180°,n \in \mathbb{Z}\}$

(2)
解：
将$943°18'$改写为$0°∼360°$范围内的角加周角整数倍的形式：
$943°18' = 223°18' + 2×360°$，
因此$943°18'$与$223°18'$终边相同。
根据终边相同的角的定义，所有与$223°18'$终边相同的角可表示为$x=223°18'+k·360°,k\in\mathbb{Z}$，
即与$943°18'$角终边相同的角的集合为$\{x∣ x=223°18'+k·360°,k\in\mathbb{Z}\}$。
答案：$\boldsymbol{D}$
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(3)
解：
直线$\sqrt{3}x-y=0$过原点，倾斜角为$60°$。
在$0°∼360°$范围内，终边落在直线第一象限部分射线上的角为$60°$，终边落在直线第三象限部分射线上的角为$240°$。
终边在第一象限射线上的角的集合为$S_1=\{β∣ β=60° + k·360°,k\in\mathbb{Z}\}$，
终边在第三象限射线上的角的集合为$S_2=\{β∣ β=240° + k·360°,k\in\mathbb{Z}\}$。
合并两个集合：
$\begin{aligned}S&=S_1\cup S_2\\&=\{β∣ β=60° + 2k·180°,k\in\mathbb{Z}\}\cup\{β∣ β=60° + (2k+1)·180°,k\in\mathbb{Z}\}\\&=\{β∣ β=60° + n·180°,n\in\mathbb{Z}\}\end{aligned}$
答案：$\boldsymbol{\{β∣ β=60° + n·180°,n\in\mathbb{Z}\}}$