基础知识·预习
问题1 什么样的数是有理数？
问题2 有理数可以怎样进行分类？

解：
问题1解答
正整数、0、负整数统称为整数，正分数、负分数统称为分数，整数和分数统称为有理数。有限小数和无限循环小数都可以转化为分数，因此它们也都属于有理数。
问题2解答
有理数有两种常用的分类方式：
1. 按定义（整数、分数的属性）分类：
$\mathrm{有理数}\begin{cases}整数\begin{cases}正整数 \\0 \\负整数\end{cases} \\分数\begin{cases}正分数 \\负分数\end{cases}\end{cases}$
2. 按数的正负性质分类：
$\mathrm{有理数}\begin{cases}正有理数\begin{cases}正整数 \\正分数\end{cases} \\0 \\负有理数\begin{cases}负整数 \\负分数\end{cases}\end{cases}$

【典型例题 1】在$-5,0,3.101\ 001\ 000\ 1···$（每相邻两个 1 之间 0 的个数依次加 1），$0.406\ 070\ 8,\frac{22}{7}$中，有理数的个数是（）

A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】在$-5,0,3.101\ 001\ 000\ 1···$，$0.406\ 070\ 8,\frac{22}{7}$中，有理数有$-5,0,0.406\ 070\ 8,\frac{22}{7}$，共 4 个.
【答案】C
规律方法 有限小数和无限循环小数都是有理数.无限不循环小数不是有理数.

C

根据有理数的定义，整数和分数统称有理数，有限小数可转化为分数属于有理数，无限不循环小数不属于有理数。其中-5是负整数，0是整数，0.4060708是有限小数，$\frac{22}{7}$是分数，这4个数都是有理数；3.101 001 000 1…（每相邻两个1之间0的个数依次加1）是无限不循环小数，是无理数，因此有理数的个数为4。

1. 在$\frac{1}{2},\frac{π}{4},4,2\frac{1}{3},0,-0.\dot{3}$中，有理数有（）

A.3个
B.4个
C.5个
D.6个

1. C 【解析】在$\frac{1}{2},\frac{π}{4},4,2\frac{1}{3},0,-0.\dot{3}$中，有理数有$\frac{1}{2},4,2\frac{1}{3},0,-0.\dot{3}$，共5个。

【典型例题2】所有正有理数组成正有理数集合，所有负有理数组成负有理数集合，所有正整数组成正整数集合，所有负整数组成负整数集合.把下面的有理数填入它们属于的集合内：$1$，$0.070\ 8$，$-700$，$-3.88$，$3.14$，$-\dfrac{7}{23}$，$0.\dot{2}\dot{3}$.
正有理数集合：$\qquad···\}$.
负有理数集合：$\qquad···\}$.
正整数集合：$\qquad···\}$.
负整数集合：$\qquad···\}$.
【解】正有理数集合：$\{1,0.070\ 8,3.14,$$0.\dot{2}\dot{3},···\}$.
负有理数集合：$\{-700,-3.88,-\dfrac{7}{23},···\}$.
正整数集合：$\{1,···\}$.
负整数集合：$\{-700,···\}$.
规律方法 有理数都能写成分数形式，进行有理数分类时，要熟练掌握分类的标准，然后根据集合的范围填写即可.

解：
正有理数集合：$\{1, 0.070\ 8, 3.14, 0.\dot{2}\dot{3}, \dots\}$
负有理数集合：$\{-700, -3.88, -\dfrac{7}{23}, \dots\}$
正整数集合：$\{1, \dots\}$
负整数集合：$\{-700, \dots\}$