11.如图，三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有$1×1$个正方形，所有线段的和为4；第二个图形有$2×2$个小正方形，所有线段的和为12；第三个图形有$3×3$个小正方形，所有线段的和为24. 按此规律，则第n个网格所有线段的和为（用含n的代数式表示）。

11.$2n^2+2n$

【分析】
我们可以通过两种思路推导规律：思路一：观察已知的n=1、2、3对应的线段和，将数值拆分找和n的对应关系；思路二：从图形线段构成分析，分别计算横向、纵向线段的总长度再求和。首先看已知数值：n=1时和为4，n=2时和为12，n=3时和为24，拆分后发现均符合“2×n×(n+1)”的形式；从图形看，第n个网格横向有(n+1)条线，每条含n条单位线段，纵向同理，相加即可得到总长度。
【解析】
方法1：数值归纳法
已知：
当n=1时，线段和为$4=2×1×(1+1)=2×1^2+2×1$；
当n=2时，线段和为$12=2×2×(2+1)=2×2^2+2×2$；
当n=3时，线段和为$24=2×3×(3+1)=2×3^2+2×3$；
以此类推，第n个网格的线段和为$2n(n+1)$，展开得$2n^2+2n$。
方法2：图形分析法
第n个网格中：
横向共有$(n+1)$条水平线段，每条水平线段由n条长度为1的小线段组成，横向总长度为$n(n+1)$；
纵向共有$(n+1)$条竖直线段，每条竖直线段由n条长度为1的小线段组成，纵向总长度为$n(n+1)$；
所有线段的总长度为$n(n+1)+n(n+1)=2n(n+1)=2n^2+2n$。
【答案】
$2n^2+2n$
【知识点】
图形规律探究、整式的化简
【点评】
本题是规律探究类基础题，既可以通过观察已知数值归纳通项，也可以通过分析图形结构推导结果，解题后可代入n=1、2、3验证结果是否符合已知条件，能有效锻炼观察归纳能力。
【难度系数】
0.7

12.某同学在计算一个多项式A乘$-3x^2$时，因抄错运算符号，算成了加上$-3x^2$，得到的结果是$x^2 -4x +1$.
（1）这个多项式A是多少？
（2）正确的计算结果是多少？

(1)根据题意可得,$A=(x^2-4x+1)-(-3x^2)=x^2-4x+1+3x^2=4x^2-4x+1$.
(2)正确的计算结果:$(4x^2-4x+1)·(-3x^2)$
$=4x^2 · (-3x^2)-4x · (-3x^2)+1 · (-3x^2)$
$=-12x^4+12x^3-3x^2$.

【分析】
（1）题目中误将乘法算成加法，得到关系：多项式A加上$-3x^2$等于$x^2 -4x +1$，根据“一个加数=和-另一个加数”，用错误结果减去$-3x^2$即可求出A，计算时注意遵守去括号和合并同类项的规则。
（2）求出多项式A后，代入正确运算“$A × (-3x^2)$”，按照单项式乘多项式的法则，用$-3x^2$分别乘A的每一项，再将所得积相加，计算时注意同底数幂的乘法规则和符号处理。
【解析】
（1）根据错误运算的关系可得：
$A + (-3x^2) = x^2 - 4x + 1$
因此：
$A = (x^2 - 4x + 1) - (-3x^2)$
去括号得：$A = x^2 - 4x + 1 + 3x^2$
合并同类项得：$A = 4x^2 - 4x + 1$
（2）将A代入正确的乘法运算：
$(4x^2 - 4x + 1) · (-3x^2)$
按单项式乘多项式法则展开：
$= 4x^2 · (-3x^2) - 4x · (-3x^2) + 1 · (-3x^2)$
分别计算每一项得：
$= -12x^4 + 12x^3 - 3x^2$
【答案】
（1）$4x^2 - 4x + 1$
（2）$-12x^4 + 12x^3 - 3x^2$
【知识点】
整式的加减运算；单项式乘多项式
【点评】
本题属于整式运算的常规基础题，解题关键是先通过错误的运算关系反推得到原多项式，再代入正确运算计算，运算过程中要重点注意符号的处理，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8

13.在学习代数式求值时,常遇到这样一类题:代数式$ax - y + 6 + 3x - 5y - 1$的值与$x$的取值无关,求$a$的值.通常的解题方法是把$x,y$看作字母,$a$看作系数合并同类项.因为代数式的值与$x$的取值无关,所以含$x$项的系数为$0$,即原式$=(a + 3)x - 6y + 5$,所以$a + 3 = 0$,则$a = -3$.
(1)如果关于$x$的多项式$2m^2 + (3x - 2)m - x$的值与$x$的取值无关,求$m$的值.
(2)已知$A = 3x^2 + nx + 2n$,$B = x^2 - 2nx + x$,且$A - 3B$的值与$x$的取值无关,求$n$的值.
(3)有7张如图①所示的小长方形,长为$a$,宽为$b$,按照如图②的方式不重叠地放在大长方形$ABCD$内,大长方形中有两个部分未被覆盖(图中阴影部分),设右上角的面积为$S_1$,左下角的面积为$S_2$.若$AB = x$,当$x$变化时,$5S_1 - 3S_2$的值始终保持不变,求$a$与$b$之间的数量关系.

(1)关于$x$的多项式$2m^2+(3x-2)m -x=(3m-1)x+2m^2-2m$,
$∵$关于$x$的多项式$2m^2+(3x-2)m -x$的值与$x$的取值无关,
$∴3m-1=0$,即$m=\dfrac{1}{3}$.
(2)$∵ A=3x^2+nx+2n,B=x^2-2nx+x$,
$∴ A-3B=(3x^2+nx+2n)-3(x^2-2nx+x)$
$=3x^2+nx+2n-3x^2+6nx-3x$
$=(7n-3)x+2n$.
又$∵ A-3B$的值与$x$的取值无关,$∴7n-3=0$,即$n=\dfrac{3}{7}$.
(3)由题意得,阴影部分的面积$S_1=a(x-3b)$,$S_2=2b(x-2a)$,
$∴ 5S_1-3S_2=5×a(x-3b)-3×2b(x-2a)$
$=5ax-15ab-6bx+12ab$
$=(5a-6b)x-3ab$.
$∵$当$x$变化时,$5S_1-3S_2$的值始终保持不变,
$∴5a-6b=0$,即$5a=6b$.

【分析】
这三道题的核心解题思路统一：若代数式的值与某个字母的取值无关，意味着代数式中所有含该字母的项的系数之和为0。(1)先将给定多项式展开，合并关于x的同类项，令x的系数为0即可求解m；(2)先按照整式加减法则计算A-3B，合并同类项后令含x的一次项系数为0即可求出n；(3)先结合图形用x、a、b分别表示出S₁和S₂，再代入5S₁-3S₂化简，合并关于x的同类项后令x的系数为0，即可得到a与b的数量关系。
【解析】
(1) 对多项式展开并合并同类项：
$2m^2 + (3x - 2)m - x = 2m^2 + 3mx - 2m - x = (3m - 1)x + 2m^2 - 2m$
∵ 多项式的值与x的取值无关，
∴ 含x项的系数为0，即$3m - 1 = 0$，解得$m = \dfrac{1}{3}$。
(2) 计算$A-3B$：
$A - 3B = (3x^2 + nx + 2n) - 3(x^2 - 2nx + x)$
$= 3x^2 + nx + 2n - 3x^2 + 6nx - 3x$
合并同类项得：$A - 3B = (7n - 3)x + 2n$
∵ $A-3B$的值与x的取值无关，
∴ 含x项的系数为0，即$7n - 3 = 0$，解得$n = \dfrac{3}{7}$。
(3) 结合图形可得：$S_1=a(x-3b)$，$S_2=2b(x-2a)$，代入$5S_1-3S_2$得：
$5S_1 - 3S_2 = 5a(x - 3b) - 3×2b(x - 2a)$
$= 5ax - 15ab - 6bx + 12ab$
合并同类项得：$5S_1 - 3S_2 = (5a - 6b)x - 3ab$
∵ 当x变化时，$5S_1 - 3S_2$的值始终不变，
∴ 含x项的系数为0，即$5a - 6b = 0$，整理得$5a=6b$。
【答案】
(1) $m=\dfrac{1}{3}$；(2) $n=\dfrac{3}{7}$；(3) $5a=6b$
【知识点】
合并同类项、整式的加减运算、列代数式
【点评】
本题围绕“代数式值与某变量无关则对应项系数为0”的核心规律设置，题型从纯代数运算逐步过渡到几何综合应用，难度逐层递进，既考查整式运算的基础能力，也考查数形结合分析问题的能力。
【难度系数】
0.65