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8. 如图，点C在线段AD上，B是线段AC的中点，如果$BC=\frac{2}{3}CD$，$AD=7$，那么BC的长为（
A.2
B.3
C.4
D.5
A
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
8.A 【解析】因为 $BC=\frac{2}{3}CD$,
所以设 $BC=2x,CD=3x$.
因为 $B$ 是线段 $AC$ 的中点,所以 $AB=BC=2x$,所以 $AD=AB+BC+CD=7x$.
又因为 $AD=7$,所以 $7x=7$,解得 $x=1$,所以 $BC=2$.
所以设 $BC=2x,CD=3x$.
因为 $B$ 是线段 $AC$ 的中点,所以 $AB=BC=2x$,所以 $AD=AB+BC+CD=7x$.
又因为 $AD=7$,所以 $7x=7$,解得 $x=1$,所以 $BC=2$.
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：题目给出BC与CD的比例关系、B是AC的中点、AD的总长度，要求BC的长。首先利用BC和CD的比例关系设参数简化计算，再结合线段中点的性质得到AB与BC的等量关系，最后根据线段AD是AB、BC、CD三段的和，建立关于参数的方程，求解参数后即可得到BC的长度。
【解析】
解：
∵ $BC=\frac{2}{3}CD$，
∴ 设 $BC=2x$，$CD=3x$。
∵ B是线段AC的中点，
∴ $AB=BC=2x$。
∵ 线段$AD$由$AB$、$BC$、$CD$三段组成，
∴ $AD=AB+BC+CD=2x+2x+3x=7x$。
又
∵ $AD=7$，
∴ $7x=7$，解得$x=1$，
∴ $BC=2x=2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
线段中点性质，线段和差计算，比例设元
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题关键是灵活运用线段中点性质和线段和差关系，通过设参数的方式建立等量关系求解，难度较低，能很好地巩固线段相关的基础计算能力。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：题目给出BC与CD的比例关系、B是AC的中点、AD的总长度，要求BC的长。首先利用BC和CD的比例关系设参数简化计算，再结合线段中点的性质得到AB与BC的等量关系，最后根据线段AD是AB、BC、CD三段的和，建立关于参数的方程，求解参数后即可得到BC的长度。
【解析】
解：
∵ $BC=\frac{2}{3}CD$，
∴ 设 $BC=2x$，$CD=3x$。
∵ B是线段AC的中点，
∴ $AB=BC=2x$。
∵ 线段$AD$由$AB$、$BC$、$CD$三段组成，
∴ $AD=AB+BC+CD=2x+2x+3x=7x$。
又
∵ $AD=7$，
∴ $7x=7$，解得$x=1$，
∴ $BC=2x=2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
线段中点性质，线段和差计算，比例设元
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题关键是灵活运用线段中点性质和线段和差关系，通过设参数的方式建立等量关系求解，难度较低，能很好地巩固线段相关的基础计算能力。
【难度系数】
0.8
9.如图，$AB=10\ \mathrm{cm}$，点$C$，$D$在线段$AB$上，且$CB=4\ \mathrm{cm}$，$D$是线段$AC$的中点。
(1)图中共有几条线段，分别表示出这些线段。
(2)求$AD$的长。
(1)图中共有几条线段，分别表示出这些线段。
(2)求$AD$的长。
答案
9.解:(1)图中共有6条线段:线段 $AD$,线段 $AC$,线段 $AB$,线段 $DC$,线段 $DB$,线段 $CB$.
(2)因为 $AB=10\ \mathrm{cm},CB=4\ \mathrm{cm}$,
所以 $AC=AB-CB=6\ \mathrm{cm}$.
因为 $D$ 是 $AC$ 的中点,
所以 $AD=\frac{1}{2}AC=3\ \mathrm{cm}$.
(2)因为 $AB=10\ \mathrm{cm},CB=4\ \mathrm{cm}$,
所以 $AC=AB-CB=6\ \mathrm{cm}$.
因为 $D$ 是 $AC$ 的中点,
所以 $AD=\frac{1}{2}AC=3\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
(1) 数线段时可按照左端点的顺序依次枚举：以A为左端点的线段有3条，以D为左端点的线段有2条，以C为左端点的线段有1条，相加即可得到总条数，该方法可避免计数时重复或遗漏，再逐一写出对应线段即可。
(2) 要求AD的长，已知D是AC的中点，因此需先求出AC的长度；根据线段和差关系，AC等于AB减去CB，代入已知数值算出AC后，再利用线段中点的性质，AD长度为AC的一半，即可求出AD的长。
【解析】
(1) 按端点顺序计数：
以A为左端点的线段：AD、AC、AB，共3条；
以D为左端点的线段：DC、DB，共2条；
以C为左端点的线段：CB，共1条；
总条数为$3+2+1=6$条。
(2) 先求AC的长度：
已知$AB=10\ \mathrm{cm}$，$CB=4\ \mathrm{cm}$，根据线段和差关系可得：
$AC=AB-CB=10-4=6\ \mathrm{cm}$
再求AD的长度：
因为D是线段AC的中点，根据线段中点的定义：
$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$
【答案】
(1) 共有6条线段，分别是线段$AD$、线段$AC$、线段$AB$、线段$DC$、线段$DB$、线段$CB$；
(2) $AD$的长为$3\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
线段的计数，线段的和差计算，线段中点的定义
【点评】
本题是线段相关的基础题型，考查线段计数方法和线段和差、中点性质的应用，计数时按顺序枚举即可做到不重不漏，计算时找准线段间的数量关系即可求解。
【难度系数】
0.9
(1) 数线段时可按照左端点的顺序依次枚举：以A为左端点的线段有3条，以D为左端点的线段有2条，以C为左端点的线段有1条，相加即可得到总条数，该方法可避免计数时重复或遗漏，再逐一写出对应线段即可。
(2) 要求AD的长，已知D是AC的中点，因此需先求出AC的长度；根据线段和差关系，AC等于AB减去CB，代入已知数值算出AC后，再利用线段中点的性质，AD长度为AC的一半，即可求出AD的长。
【解析】
(1) 按端点顺序计数：
以A为左端点的线段：AD、AC、AB，共3条；
以D为左端点的线段：DC、DB，共2条；
以C为左端点的线段：CB，共1条；
总条数为$3+2+1=6$条。
(2) 先求AC的长度：
已知$AB=10\ \mathrm{cm}$，$CB=4\ \mathrm{cm}$，根据线段和差关系可得：
$AC=AB-CB=10-4=6\ \mathrm{cm}$
再求AD的长度：
因为D是线段AC的中点，根据线段中点的定义：
$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$
【答案】
(1) 共有6条线段，分别是线段$AD$、线段$AC$、线段$AB$、线段$DC$、线段$DB$、线段$CB$；
(2) $AD$的长为$3\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
线段的计数，线段的和差计算，线段中点的定义
【点评】
本题是线段相关的基础题型，考查线段计数方法和线段和差、中点性质的应用，计数时按顺序枚举即可做到不重不漏，计算时找准线段间的数量关系即可求解。
【难度系数】
0.9
10.如图，B，C两点把线段AD的长度分成2：3：4，M是线段AD的中点，CD=8，求MC的长.
答案
10.解:设 $AB=2x$,则 $BC=3x,CD=4x$,
所以 $AD=AB+BC+CD=9x$.
因为 $M$ 是线段 $AD$ 的中点,
所以 $MD=\frac{1}{2}AD=\frac{9}{2}x$.
因为 $CD=4x=8$,所以 $x=2$,
所以 $MC=MD-CD=\frac{1}{2}x=1$.
所以 $AD=AB+BC+CD=9x$.
因为 $M$ 是线段 $AD$ 的中点,
所以 $MD=\frac{1}{2}AD=\frac{9}{2}x$.
因为 $CD=4x=8$,所以 $x=2$,
所以 $MC=MD-CD=\frac{1}{2}x=1$.
解析
【分析】
遇到按比例分配的线段长度问题，首先可通过设参数的方法表示各段线段的长度；再结合已知CD的长度求出参数的值，之后利用线段中点的性质求出中点M到端点D的距离，最后根据线段的差的关系，用MD减去CD就能得到MC的长度，解题时要结合图形理清各线段的位置关系，避免找错线段数量关系。
【解析】
解：设 $AB=2x$，则 $BC=3x$，$CD=4x$，
所以 $AD=AB+BC+CD=2x+3x+4x=9x$。
因为 $M$ 是线段 $AD$ 的中点，
所以 $MD=\frac{1}{2}AD=\frac{9}{2}x$。
已知 $CD=4x=8$，解得 $x=2$，
所以 $MC=MD-CD=\frac{9}{2}x - 4x=\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}×2=1$。
【答案】
$\boxed{1}$
【知识点】
线段的和差计算、线段中点的性质、比例线段应用
【点评】
本题是线段计算的常规基础题，设参数处理比例关系是这类题的常用技巧，解题的关键是准确梳理各线段之间的数量关系，熟练运用线段中点的性质推导计算。
【难度系数】
0.8
遇到按比例分配的线段长度问题，首先可通过设参数的方法表示各段线段的长度；再结合已知CD的长度求出参数的值，之后利用线段中点的性质求出中点M到端点D的距离，最后根据线段的差的关系，用MD减去CD就能得到MC的长度，解题时要结合图形理清各线段的位置关系，避免找错线段数量关系。
【解析】
解：设 $AB=2x$，则 $BC=3x$，$CD=4x$，
所以 $AD=AB+BC+CD=2x+3x+4x=9x$。
因为 $M$ 是线段 $AD$ 的中点，
所以 $MD=\frac{1}{2}AD=\frac{9}{2}x$。
已知 $CD=4x=8$，解得 $x=2$，
所以 $MC=MD-CD=\frac{9}{2}x - 4x=\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}×2=1$。
【答案】
$\boxed{1}$
【知识点】
线段的和差计算、线段中点的性质、比例线段应用
【点评】
本题是线段计算的常规基础题，设参数处理比例关系是这类题的常用技巧，解题的关键是准确梳理各线段之间的数量关系，熟练运用线段中点的性质推导计算。
【难度系数】
0.8
11.如图，M是线段AB的中点，点C在线段AB上，且AC=8 cm，N是线段AC的中点，MN=6 cm，求AB的长。
（第11题）
（第11题）答案
11.解:因为 $AC=8\ \mathrm{cm}$,$N$ 是线段 $AC$ 的中点,
所以 $AN=\frac{1}{2}AC=4\ \mathrm{cm}$.
因为 $MN=6\ \mathrm{cm}$,
所以 $AM=AN+MN=10\ \mathrm{cm}$.
因为 $M$ 是线段 $AB$ 的中点,
所以 $AB=2AM=20\ \mathrm{cm}$.
所以 $AN=\frac{1}{2}AC=4\ \mathrm{cm}$.
因为 $MN=6\ \mathrm{cm}$,
所以 $AM=AN+MN=10\ \mathrm{cm}$.
因为 $M$ 是线段 $AB$ 的中点,
所以 $AB=2AM=20\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先根据N是AC中点、AC的长度，可先求出线段AN的长度；再结合MN的长度，根据图形中AN与MN的和等于AM，求出AM的长度；最后利用M是AB中点的性质，即可推出AB的长度，解题过程中要结合图形明确各线段的和差关系，避免混淆线段位置。
【解析】
解：因为 $AC=8\ \mathrm{cm}$，$N$ 是线段$AC$的中点，
所以 $AN=\frac{1}{2}AC=4\ \mathrm{cm}$。
因为 $MN=6\ \mathrm{cm}$，
所以 $AM=AN+MN=4+6=10\ \mathrm{cm}$。
因为 $M$ 是线段$AB$的中点，
所以 $AB=2AM=2×10=20\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$20\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段中点的定义、线段的和差计算
【点评】
本题属于线段计算的基础题，解题核心是结合图形理清各线段的数量关系，合理运用线段中点的性质逐步推导，即可快速求出结果。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手，首先根据N是AC中点、AC的长度，可先求出线段AN的长度；再结合MN的长度，根据图形中AN与MN的和等于AM，求出AM的长度；最后利用M是AB中点的性质，即可推出AB的长度，解题过程中要结合图形明确各线段的和差关系，避免混淆线段位置。
【解析】
解：因为 $AC=8\ \mathrm{cm}$，$N$ 是线段$AC$的中点，
所以 $AN=\frac{1}{2}AC=4\ \mathrm{cm}$。
因为 $MN=6\ \mathrm{cm}$，
所以 $AM=AN+MN=4+6=10\ \mathrm{cm}$。
因为 $M$ 是线段$AB$的中点，
所以 $AB=2AM=2×10=20\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$20\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段中点的定义、线段的和差计算
【点评】
本题属于线段计算的基础题，解题核心是结合图形理清各线段的数量关系，合理运用线段中点的性质逐步推导，即可快速求出结果。
【难度系数】
0.8
12.如图,已知点A,B,C在同一条直线上,M,N分别是线段AC,BC的中点.
(1)若$AB=20$,$BC=8$,求$MN$的长.
(2)若$AB=a$,$BC=7$,求$MN$的长.
(3)若$AB=a$,$BC=b$,求$MN$的长.
(4)从(1)(2)(3)的结果中能得到什么结论?
(1)若$AB=20$,$BC=8$,求$MN$的长.
(2)若$AB=a$,$BC=7$,求$MN$的长.
(3)若$AB=a$,$BC=b$,求$MN$的长.
(4)从(1)(2)(3)的结果中能得到什么结论?
答案
12.解:(1)因为 $AB=20,BC=8$,
所以 $AC=AB+BC=28$.
因为 $M,N$ 分别是线段 $AC,BC$ 的中点,
所以 $MC=\frac{1}{2}AC=14,NC=\frac{1}{2}BC=4$,
所以 $MN=MC-NC=10$.
(2)因为 $AB=a,BC=7$,
所以 $AC=AB+BC=a+7$.
因为 $M,N$ 分别是线段 $AC,BC$ 的中点,
所以 $MC=\frac{1}{2}AC,NC=\frac{1}{2}BC$,
所以 $MN=MC-NC=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(a+7)-\frac{7}{2}=\frac{1}{2}a$.
(3)由(2),得 $MN=\frac{1}{2}(AC-BC)=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a$.
(4)线段 $MN$ 的长始终等于线段 $AB$ 的长的一半,与点 $C$ 的位置无关.
所以 $AC=AB+BC=28$.
因为 $M,N$ 分别是线段 $AC,BC$ 的中点,
所以 $MC=\frac{1}{2}AC=14,NC=\frac{1}{2}BC=4$,
所以 $MN=MC-NC=10$.
(2)因为 $AB=a,BC=7$,
所以 $AC=AB+BC=a+7$.
因为 $M,N$ 分别是线段 $AC,BC$ 的中点,
所以 $MC=\frac{1}{2}AC,NC=\frac{1}{2}BC$,
所以 $MN=MC-NC=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(a+7)-\frac{7}{2}=\frac{1}{2}a$.
(3)由(2),得 $MN=\frac{1}{2}(AC-BC)=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a$.
(4)线段 $MN$ 的长始终等于线段 $AB$ 的长的一半,与点 $C$ 的位置无关.
解析
【分析】
本题是线段中点与线段和差结合的计算探究题，解题思路如下：首先根据三点共线的位置关系，得到总线段AC的长度为AB与BC的和；再利用线段中点的性质，即中点将线段分为等长的两段，分别表示出MC、NC的长度；观察图形可知MN是MC减去NC的差，代入对应数值或字母计算即可，最后对比三问的结果归纳通用结论。
【解析】
(1) 已知$AB=20$，$BC=8$，可得：
$AC=AB+BC=20+8=28$
∵M、N分别是AC、BC的中点
∴$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×28=14$，$NC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$
∴$MN=MC-NC=14-4=10$
(2) 已知$AB=a$，$BC=7$，可得：
$AC=AB+BC=a+7$
∵M、N分别是AC、BC的中点
∴$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}(a+7)$，$NC=\frac{1}{2}BC=\frac{7}{2}$
∴$MN=MC-NC=\frac{1}{2}(a+7)-\frac{7}{2}=\frac{1}{2}a$
(3) 已知$AB=a$，$BC=b$，可得：
$AC=AB+BC=a+b$
∵M、N分别是AC、BC的中点
∴$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}(a+b)$，$NC=\frac{1}{2}BC=\frac{b}{2}$
∴$MN=MC-NC=\frac{1}{2}(a+b)-\frac{b}{2}=\frac{1}{2}a$
(4) 对比前三问的计算结果，可总结规律：线段MN的长度始终等于线段AB长度的一半，与点C的位置无关。
【答案】
(1) $10$；(2) $\frac{1}{2}a$；(3) $\frac{1}{2}a$；(4) 线段MN的长等于线段AB长的一半，与点C的位置无关。
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，规律归纳
【点评】
本题从具体数值到字母参数递进考查，既巩固了线段运算的基础知识点，又训练了从特殊到一般的归纳思维，所得结论可作为常用规律简化同类线段计算问题的求解过程。
【难度系数】
0.7
本题是线段中点与线段和差结合的计算探究题，解题思路如下：首先根据三点共线的位置关系，得到总线段AC的长度为AB与BC的和；再利用线段中点的性质，即中点将线段分为等长的两段，分别表示出MC、NC的长度；观察图形可知MN是MC减去NC的差，代入对应数值或字母计算即可，最后对比三问的结果归纳通用结论。
【解析】
(1) 已知$AB=20$，$BC=8$，可得：
$AC=AB+BC=20+8=28$
∵M、N分别是AC、BC的中点
∴$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×28=14$，$NC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$
∴$MN=MC-NC=14-4=10$
(2) 已知$AB=a$，$BC=7$，可得：
$AC=AB+BC=a+7$
∵M、N分别是AC、BC的中点
∴$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}(a+7)$，$NC=\frac{1}{2}BC=\frac{7}{2}$
∴$MN=MC-NC=\frac{1}{2}(a+7)-\frac{7}{2}=\frac{1}{2}a$
(3) 已知$AB=a$，$BC=b$，可得：
$AC=AB+BC=a+b$
∵M、N分别是AC、BC的中点
∴$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}(a+b)$，$NC=\frac{1}{2}BC=\frac{b}{2}$
∴$MN=MC-NC=\frac{1}{2}(a+b)-\frac{b}{2}=\frac{1}{2}a$
(4) 对比前三问的计算结果，可总结规律：线段MN的长度始终等于线段AB长度的一半，与点C的位置无关。
【答案】
(1) $10$；(2) $\frac{1}{2}a$；(3) $\frac{1}{2}a$；(4) 线段MN的长等于线段AB长的一半，与点C的位置无关。
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，规律归纳
【点评】
本题从具体数值到字母参数递进考查，既巩固了线段运算的基础知识点，又训练了从特殊到一般的归纳思维，所得结论可作为常用规律简化同类线段计算问题的求解过程。
【难度系数】
0.7
