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12.已知$(a-2)^2 + |-b+7| + |c-1| = 0$，求$2a - b + c$的值。
答案
解:由题可知$a-2=0,-b+7=0,c-1=0$,
解得$a=2,b=7,c=1$,
所以$2a-b+c=4-7+1=-2$。
解得$a=2,b=7,c=1$,
所以$2a-b+c=4-7+1=-2$。
解析
【分析】
我们学过平方数和绝对值都是非负数，也就是它们的取值都大于等于0。当几个非负数相加的和为0时，每一个非负数的值都必须是0。所以我们可以根据这个性质，分别列出关于a、b、c的等式，求出三个字母的取值，再代入到$2a - b + c$中计算就能得到结果。
【解析】
解：
∵平方数和绝对值均为非负数，几个非负数的和为0时，每个非负数都为0
∴$a-2=0$，$-b+7=0$，$c-1=0$
解得：$a=2$，$b=7$，$c=1$
将$a=2$，$b=7$，$c=1$代入$2a - b + c$得：
$2a - b + c = 2×2 -7 +1 = 4-7+1 = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
1.非负数的性质 2.代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查非负数性质的应用，只要牢记“多个非负数和为0时每个非负数均为0”的规律，再按有理数运算规则计算即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
我们学过平方数和绝对值都是非负数，也就是它们的取值都大于等于0。当几个非负数相加的和为0时，每一个非负数的值都必须是0。所以我们可以根据这个性质，分别列出关于a、b、c的等式，求出三个字母的取值，再代入到$2a - b + c$中计算就能得到结果。
【解析】
解：
∵平方数和绝对值均为非负数，几个非负数的和为0时，每个非负数都为0
∴$a-2=0$，$-b+7=0$，$c-1=0$
解得：$a=2$，$b=7$，$c=1$
将$a=2$，$b=7$，$c=1$代入$2a - b + c$得：
$2a - b + c = 2×2 -7 +1 = 4-7+1 = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
1.非负数的性质 2.代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查非负数性质的应用，只要牢记“多个非负数和为0时每个非负数均为0”的规律，再按有理数运算规则计算即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
13.阅读材料：“如果代数式$5a+3b$的值是$-4$，那么代数式$2(a+b)+4(2a+b)$的值是多少？”我们可以这样来解：原式$=2a+2b+8a+4b=10a+6b$。把式子$5a+3b=-4$两边同乘2，得$10a+6b=-8$。仿照上面的解题方法，解决下面的问题：
(1)已知$a^2+a=0$，求$a^2+a+2026$的值；
(2)已知$a-b=-3$，求$3(a-b)-a+b+5$的值；
(3)已知$a^2+2ab=-2$，$ab-b^2=-4$，求$2a^2+5ab-b^2$的值。
(1)已知$a^2+a=0$，求$a^2+a+2026$的值；
(2)已知$a-b=-3$，求$3(a-b)-a+b+5$的值；
(3)已知$a^2+2ab=-2$，$ab-b^2=-4$，求$2a^2+5ab-b^2$的值。
答案
解:(1)因为$a^2+a=0$,所以$a^2+a+2026=0+2026=2026$。
(2)因为$a-b=-3$,所以$3(a-b)-a+b+5=3×(-3)-(-3)+5=-1$。
(3)因为$a^2+2ab=-2,ab-b^2=-4$,
所以$2a^2+5ab-b^2=2a^2+4ab+ab-b^2=2×(-2)+(-4)=-8$。
(2)因为$a-b=-3$,所以$3(a-b)-a+b+5=3×(-3)-(-3)+5=-1$。
(3)因为$a^2+2ab=-2,ab-b^2=-4$,
所以$2a^2+5ab-b^2=2a^2+4ab+ab-b^2=2×(-2)+(-4)=-8$。
解析
【分析】
本题运用整体代入思想求解代数式的值，无需计算单个字母的具体数值，只需将所求代数式变形为包含已知代数式的形式，再整体代入已知数值计算即可。(1)问所求代数式已直接包含已知式$a^2+a$，可直接代入；(2)问先将$-a+b$变形为$-(a-b)$，再把$a-b$作为整体代入；(3)问把所求式拆分为$2(a^2+2ab)+(ab-b^2)$，再分别代入两个已知条件计算。
【解析】
(1) 已知$a^2+a=0$，将其整体代入$a^2+a+2026$，得：
$a^2+a+2026=0+2026=2026$
(2) 先对所求式子变形：$3(a-b)-a+b=3(a-b)-(a-b)$，已知$a-b=-3$，整体代入得：
$3(a-b)-a+b+5=3×(-3)-(-3)+5=-9+3+5=-1$
(3) 先拆分所求式子：$2a^2+5ab-b^2=2a^2+4ab+ab-b^2=2(a^2+2ab)+(ab-b^2)$，已知$a^2+2ab=-2$，$ab-b^2=-4$，分别代入得：
$2×(-2)+(-4)=-4-4=-8$
【答案】
(1)$2026$；(2)$-1$；(3)$-8$
【知识点】
代数式求值；整体代入思想；整式加减运算
【点评】
本题核心考查整体代入法的应用，解题关键是观察所求代数式与已知代数式的结构关联，通过变形、拆分将所求式转化为已知式的组合形式，避免了求解单个字母的繁琐计算。
【难度系数】
0.75
本题运用整体代入思想求解代数式的值，无需计算单个字母的具体数值，只需将所求代数式变形为包含已知代数式的形式，再整体代入已知数值计算即可。(1)问所求代数式已直接包含已知式$a^2+a$，可直接代入；(2)问先将$-a+b$变形为$-(a-b)$，再把$a-b$作为整体代入；(3)问把所求式拆分为$2(a^2+2ab)+(ab-b^2)$，再分别代入两个已知条件计算。
【解析】
(1) 已知$a^2+a=0$，将其整体代入$a^2+a+2026$，得：
$a^2+a+2026=0+2026=2026$
(2) 先对所求式子变形：$3(a-b)-a+b=3(a-b)-(a-b)$，已知$a-b=-3$，整体代入得：
$3(a-b)-a+b+5=3×(-3)-(-3)+5=-9+3+5=-1$
(3) 先拆分所求式子：$2a^2+5ab-b^2=2a^2+4ab+ab-b^2=2(a^2+2ab)+(ab-b^2)$，已知$a^2+2ab=-2$，$ab-b^2=-4$，分别代入得：
$2×(-2)+(-4)=-4-4=-8$
【答案】
(1)$2026$；(2)$-1$；(3)$-8$
【知识点】
代数式求值；整体代入思想；整式加减运算
【点评】
本题核心考查整体代入法的应用，解题关键是观察所求代数式与已知代数式的结构关联，通过变形、拆分将所求式转化为已知式的组合形式，避免了求解单个字母的繁琐计算。
【难度系数】
0.75
14.用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案。
(1)第4个图案中，三角形有
(2)第n(n为正整数)个图案中，三角形与六边形各有多少个？
(3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果存在，指出是第几个图案；如果不存在，请说明理由。
(1)第4个图案中，三角形有
10
个，六边形有4
个。(2)第n(n为正整数)个图案中，三角形与六边形各有多少个？
(3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果存在，指出是第几个图案；如果不存在，请说明理由。
答案
解:(1)10 4
(2)第n个图案中三角形的个数为$2n+2$,六边形的个数为n。
(3)不存在。
理由如下:假设存在这样的一个图案,其中有30个六边形,则这个图案是第30个图案,而第30个图案中三角形的个数为$2×30+2=62≠100$,所以这样的图案不存在。
(2)第n个图案中三角形的个数为$2n+2$,六边形的个数为n。
(3)不存在。
理由如下:假设存在这样的一个图案,其中有30个六边形,则这个图案是第30个图案,而第30个图案中三角形的个数为$2×30+2=62≠100$,所以这样的图案不存在。
解析
【分析】
解决这类图形规律题，首先从已知的前几个图案入手，分别统计三角形、六边形的数量，对比相邻图案的数量变化，找到数量和图案序号之间的对应规律，再用规律依次解决三个问题：先根据规律推出第4个图案的对应数量，再把规律转化为含n的代数式，最后通过代入验证判断第三问的假设是否成立。
【解析】
先统计前3个图案的相关数量：
第1个图案：三角形4个，六边形1个；
第2个图案：三角形6个，六边形2个；
第3个图案：三角形8个，六边形3个；
观察可得规律：后一个图案比前一个图案多2个三角形、1个六边形。
(1) 第4个图案的三角形数量为8+2=10个，六边形数量为3+1=4个。
(2) 由规律可知，第n个图案中，六边形的个数和图案序号相同，为n个；
三角形的个数：第1个为$2×1+2=4$，第2个为$2×2+2=6$，第3个为$2×3+2=8$，以此类推，第n个图案三角形个数为$(2n+2)$个。
(3) 不存在，理由如下：
假设存在这样的图案，若六边形有30个，则对应图案序号$n=30$，此时三角形的个数应为$2×30+2=62$，不等于题目给出的100个，因此不存在符合条件的图案。
【答案】
(1) $\boxed{10}$，$\boxed{4}$
(2) 第n个图案中三角形有$\boxed{(2n+2)}$个，六边形有$\boxed{n}$个
(3) $\boxed{不存在}$，理由：若有30个六边形，则对应是第30个图案，此时三角形个数为62≠100，故不存在。
【知识点】
图形规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，核心是通过观察已知图形的数量变化，归纳出通用的数量表达式，再利用表达式解决具体问题，能有效锻炼观察归纳能力和逻辑验证能力。
【难度系数】
0.7
解决这类图形规律题，首先从已知的前几个图案入手，分别统计三角形、六边形的数量，对比相邻图案的数量变化，找到数量和图案序号之间的对应规律，再用规律依次解决三个问题：先根据规律推出第4个图案的对应数量，再把规律转化为含n的代数式，最后通过代入验证判断第三问的假设是否成立。
【解析】
先统计前3个图案的相关数量：
第1个图案：三角形4个，六边形1个；
第2个图案：三角形6个，六边形2个；
第3个图案：三角形8个，六边形3个；
观察可得规律：后一个图案比前一个图案多2个三角形、1个六边形。
(1) 第4个图案的三角形数量为8+2=10个，六边形数量为3+1=4个。
(2) 由规律可知，第n个图案中，六边形的个数和图案序号相同，为n个；
三角形的个数：第1个为$2×1+2=4$，第2个为$2×2+2=6$，第3个为$2×3+2=8$，以此类推，第n个图案三角形个数为$(2n+2)$个。
(3) 不存在，理由如下：
假设存在这样的图案，若六边形有30个，则对应图案序号$n=30$，此时三角形的个数应为$2×30+2=62$，不等于题目给出的100个，因此不存在符合条件的图案。
【答案】
(1) $\boxed{10}$，$\boxed{4}$
(2) 第n个图案中三角形有$\boxed{(2n+2)}$个，六边形有$\boxed{n}$个
(3) $\boxed{不存在}$，理由：若有30个六边形，则对应是第30个图案，此时三角形个数为62≠100，故不存在。
【知识点】
图形规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，核心是通过观察已知图形的数量变化，归纳出通用的数量表达式，再利用表达式解决具体问题，能有效锻炼观察归纳能力和逻辑验证能力。
【难度系数】
0.7
