1.用一副三角尺不能画出的角是()

A.$75°$
B.$105°$
C.$110°$
D.$135°$

C

【分析】
解题首先要明确一副三角尺包含的固定角度：30°、45°、60°、90°，能用三角尺画出的角一定是这些角度通过相加或相减得到的，也就是15°的整数倍，接下来只需逐一判断每个选项是否符合这个特征即可。
【解析】
一副三角尺的角度分别为30°、45°、60°、90°。
A选项：$75°=30°+45°$，可以用三角尺画出；
B选项：$105°=60°+45°$，可以用三角尺画出；
C选项：110°无法通过30°、45°、60°、90°的和或差得到，不能用三角尺画出；
D选项：$135°=90°+45°$，可以用三角尺画出。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
三角尺角度特征，角的和差运算
【点评】
本题属于基础题型，核心是牢记三角尺的固定角度，通过角度和差逐一验证选项即可快速得出答案，解题时注意不要漏算角度作差的情况。
【难度系数】
0.8

2.为了比较$∠ AOB$和$∠ COD$的大小，小庆用尺规作图如下，由作图痕迹可以判断$∠ AOB$ ______（填“＞”“＜”或“=”）$∠ COD$。

＜

【分析】
要比较两个角的大小，本题采用的是叠合法的尺规作图方式：首先将两个角的顶点重合，再将其中一组边重合，让两个角的另一组边落在重合边的同侧，观察另一边的位置即可判断大小：若另一边落在另一个角的内部，则该角更小；若落在外部则该角更大；若重合则两角相等。观察本题作图痕迹，是把∠AOB平移到顶点与O重合，边OB与OD重合，此时∠AOB的另一边OA'落在∠COD的内部，由此即可判断两个角的大小关系。
【解析】
由作图痕迹可知：作图时将∠AOB的顶点与∠COD的顶点O重合，∠AOB的边OB与∠COD的边OD重合，两个角的另一边均落在OD的同侧。
此时∠AOB的对应边OA'落在∠COD的内部，根据叠合法比较角大小的规则：当两角顶点和一边重合，另一边在同侧时，另一边落在另一角内部的角更小，因此可得∠AOB＜∠COD。
【答案】
＜
【知识点】
尺规作角、角的大小比较
【点评】
本题考查利用尺规作图结合叠合法比较角的大小，解题的核心是掌握叠合法比较角大小的判断规则，能从作图痕迹中明确两个角对应边的位置关系，是对基础方法应用的考查。
【难度系数】
0.8

3.如图，若∠α=30°，根据尺规作图的痕迹，则∠AOB=。

60

【分析】
首先观察尺规作图的痕迹，可判断该作图是在∠AOB的内部先后作出两个大小均等于∠α的角，两个角相加恰好等于∠AOB，因此∠AOB的度数是∠α的2倍，代入∠α的度数即可计算出结果。
【解析】
解：由尺规作图的痕迹可知，∠AOB = 2∠α，
已知∠α = 30°，
所以∠AOB = 2×30° = 60°。
【答案】
60
【知识点】
尺规作角，角的和差计算
【点评】
本题考查尺规作图的识别和角的简单运算，解题关键是根据作图痕迹得出∠AOB与已知角α的数量关系，是基础类题型。
【难度系数】
0.9

4. 下列属于尺规作图的是（填序号）。
①用量角器画出$∠ AOB = 90°$；②作$∠ AOB$，使$∠ AOB = 2∠ α$；③连接$AB$；④用直尺和三角尺作$AB$的平行线$CD$。

解：根据尺规作图的定义，尺规作图是指仅使用没有刻度的直尺和圆规完成的作图：
①操作使用了量角器，不属于尺规作图；
②仅用无刻度直尺和圆规即可作出满足条件的∠AOB，属于尺规作图；
③使用无刻度直尺即可完成连接AB的操作，属于尺规作图；
④操作使用了三角尺，不属于尺规作图。
综上，属于尺规作图的是$\boldsymbol{②③}$。

【分析】
解题时首先要明确尺规作图的核心判定标准：仅允许使用无刻度的直尺和圆规两种工具完成作图，使用其余辅助工具的都不属于尺规作图。接下来我们按照这个标准逐一判断每个操作是否符合要求即可。
【解析】
根据尺规作图的定义：尺规作图是指仅使用没有刻度的直尺和圆规完成的作图。
①操作使用了量角器，不符合尺规作图的工具要求，不属于尺规作图；
②作一个角等于2倍已知角，仅用无刻度直尺和圆规即可完成，属于尺规作图；
③连接AB仅需要无刻度直尺即可操作，属于尺规作图；
④操作使用了三角尺，不符合尺规作图的工具要求，不属于尺规作图。
综上，属于尺规作图的是②③。
【答案】
②③
【知识点】
1. 尺规作图的定义
2. 基本作图判断
【点评】
本题主要考查对尺规作图概念的掌握，解题关键是牢记尺规作图允许使用的工具只有无刻度直尺和圆规，是对基础概念的直接考查。
【难度系数】
0.8

5.完成作图步骤:已知$∠α,∠β(∠β＞∠α)$,求作一个角,使它等于$∠β-∠α$。
作法:(1)作$∠ AOB=$;(2)以OA为一边,在$∠ AOB$的内部作
$∠ AOC=$,则$∠ BOC$就是所求作的角(如图)。

解：
(1) $\boldsymbol{∠β}$
(2) $\boldsymbol{∠α}$

【分析】
本题是利用尺规作两个角的差，解题思路为：首先明确两个角的大小关系∠β＞∠α，作角的差时需要先画出较大的角，再在这个大角的内部，以大角的一条边为公共边画出较小的角，两个角未重叠的部分就是所求的两角之差。第一步先构造出等于较大角∠β的角，第二步在其内部画出等于较小角∠α的角即可。
【解析】
要作出等于∠β-∠α的角，步骤如下：
(1) 首先使用尺规作已知角的方法，作出∠AOB = ∠β，先确定大角的范围；
(2) 以OA为公共边，在∠AOB的内部，同样用尺规作已知角的方法作出∠AOC = ∠α，此时大角∠AOB减去内部的小角∠AOC，剩下的∠BOC就等于∠β - ∠α，即为所求作的角。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠β}$
(2) $\boldsymbol{∠α}$
【知识点】
尺规作已知角，角的和差运算
【点评】
本题是角的尺规作图基础题，核心是掌握作两角差的作图逻辑：先作大角，再在大角内部作小角，注意小角要作在大角的内部，否则得到的会是两角之和而非差。
【难度系数】
0.9

6.如图，若$∠ AOB = α$，以$OB$为边作$∠ BOC = β(β ＜ α)$，则$∠ AOC =$。

解：
分两种情况计算：
当射线OC在∠AOB的内部时，
$∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC = α - β$；
当射线OC在∠AOB的外部时，
$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC = α + β$。
因此$∠ AOC = α+β$或$α-β$。

【分析】
题目没有明确射线OC的位置，因此需要分类讨论两种情况：一是OC在∠AOB的内部，二是OC在∠AOB的外部，再结合角的和差关系分别计算∠AOC的度数即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当射线OC在∠AOB的内部时，∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = α - β；
2. 当射线OC在∠AOB的外部时，∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = α + β。
【答案】
α+β或α-β
【知识点】
角的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，解题时要注意若题目未明确角的位置，需考虑所有可能的情况进行分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6

7. 如图,已知$∠ AOB=90°,OC$在$∠ AOB$的内部。某数学兴趣小组进行了探究:

(1)在$OC$上取一点$M$,以点$O$为圆心,以$OM$的长为半径画弧交射线$OA$于点$N$。
(2)以点$N$为圆心,线段$MN$的长为半径画弧交前弧于点$D$。
(3)以$O$为端点,作射线$OD$。若$∠ COB=\frac{2}{3}∠ AOD$,则$∠ DOC=$ 。

$\boldsymbol{108}$

【分析】
首先结合尺规作角的操作特点，可直接得到∠AOD=∠AOC；再根据∠AOB=90°，可知∠AOC与∠COB的和为90°，结合题目给出的∠COB与∠AOD的数量关系，设未知数建立方程求解出∠AOD、∠AOC的度数，最后将两个角相加即可得到∠DOC的度数。
【解析】
解：由题中的尺规作图步骤可得：$∠ AOD=∠ AOC$。
设$∠ COB=2x$，
$\because ∠ COB=\frac{2}{3}∠ AOD$，
$\therefore ∠ AOD=3x$，则$∠ AOC=∠ AOD=3x$。
又$\because ∠ AOB=90°$，$∠ AOC+∠ COB=∠ AOB$，
$\therefore 3x+2x=90°$，
解得$x=18°$。
$\therefore ∠ AOD=∠ AOC=3×18°=54°$，
$\therefore ∠ DOC=∠ AOD+∠ AOC=54°+54°=108°$。
【答案】
$108$
【知识点】
尺规作角，角的和差计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合尺规操作考查角的相关计算，解题核心是通过作图步骤得到相等的角，再利用角的和差关系建立方程求解，兼顾了对操作理解能力和计算能力的考查。
【难度系数】
0.6