登录
一、选择题(每小题3分,共30分)
1. 直角三角形的斜边长为10,则斜边上的中线长为 ()
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
1. 直角三角形的斜边长为10,则斜边上的中线长为 ()
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
答案
解：
根据直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
已知斜边长为10，则斜边上的中线长为 $10÷2=5$。
故选D。
根据直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
已知斜边长为10，则斜边上的中线长为 $10÷2=5$。
故选D。
2. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是 ()
A.对边相等
B.对角相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分
A.对边相等
B.对角相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分
答案
C
解析
平行四边形具有对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质；矩形是特殊的平行四边形，除拥有平行四边形的所有性质外，还具备对角线相等的性质。因此矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线相等。
3. 如图,在菱形ABCD中,连接AC,BD.若∠1=20°,则∠2的度数为 ()
A.20°
B.60°
C.70°
D.80°
A.20°
B.60°
C.70°
D.80°
答案
C
解析
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AC⊥BD，
∴∠1=∠ACD=20°，
在Rt△DOC中，∠2=90°-∠ACD=90°-20°=70°。
∴AB//CD，AC⊥BD，
∴∠1=∠ACD=20°，
在Rt△DOC中，∠2=90°-∠ACD=90°-20°=70°。
4. 已知菱形的边长为3,较短的一条对角线的长为2,则该菱形较长的一条对角线的长为 ()
A.$2\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{5}$
C.$4\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{10}$
A.$2\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{5}$
C.$4\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{10}$
答案
C
解析
根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直平分。已知菱形边长为3，较短对角线长为2，则较短对角线的一半为1。设较长对角线的一半为$ x $，由勾股定理得：$ x^2 + 1^2 = 3^2 $，解得$ x=2\sqrt{2} $，因此较长对角线的长为$ 2×2\sqrt{2}=4\sqrt{2} $。
5. 在$□ ABCD$中,$AB=3,BC=4$,当$□ ABCD$的面积最大时,下列结论:①$AC=5$;②$∠A+∠C=180°$;③$AC⊥BD$;④$AC=BD$.其中正确的有 ()
A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①③④
A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①③④
答案
B
解析
当平行四边形$ABCD$的面积最大时，$ABCD$为矩形（此时高等于邻边，面积最大）。
①在矩形$ABCD$中，$AB=3$，$BC=4$，由勾股定理得$AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$，故①正确；
②矩形中$∠ A=∠ C=90°$，则$∠ A+∠ C=180°$，故②正确；
③矩形的对角线相等但不垂直（非正方形），故③错误；
④矩形的对角线相等，即$AC=BD$，故④正确。
综上，正确的结论是①②④。
①在矩形$ABCD$中，$AB=3$，$BC=4$，由勾股定理得$AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$，故①正确；
②矩形中$∠ A=∠ C=90°$，则$∠ A+∠ C=180°$，故②正确；
③矩形的对角线相等但不垂直（非正方形），故③错误；
④矩形的对角线相等，即$AC=BD$，故④正确。
综上，正确的结论是①②④。
6. 如图,在正方形ABCD的外侧作等边三角形ABE,则∠BED的度数为 ()
A.15°
B.35°
C.45°
D.55°
A.15°
B.35°
C.45°
D.55°
答案
C
解析
1. 由正方形ABCD的性质，得AB=AD，∠BAD=90°；
2. 由等边△ABE的性质，得AB=AE，∠BAE=∠AEB=60°；
3. 因此AE=AD，∠EAD=∠BAE+∠BAD=60°+90°=150°；
4. 在等腰△AED中，∠AED=(180°-150°)÷2=15°；
5. 故∠BED=∠AEB-∠AED=60°-15°=45°。
2. 由等边△ABE的性质，得AB=AE，∠BAE=∠AEB=60°；
3. 因此AE=AD，∠EAD=∠BAE+∠BAD=60°+90°=150°；
4. 在等腰△AED中，∠AED=(180°-150°)÷2=15°；
5. 故∠BED=∠AEB-∠AED=60°-15°=45°。
7. 如图,在矩形ABCD中,$AD=10,AB=6$,E为BC上的一点,ED平分∠AEC,则BE的长为 ()
A.10
B.8
C.6
D.4
A.10
B.8
C.6
D.4
答案
B
解析
1. 因为四边形ABCD是矩形，所以$AD// BC$，$AB⊥ BC$，$AD=10$，$AB=6$。
2. 已知ED平分$∠ AEC$，则$∠ DEC=∠ AED$。
3. 由$AD// BC$，得$∠ DEC=∠ ADE$，因此$∠ AED=∠ ADE$，故$AE=AD=10$。
4. 在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，根据勾股定理：$BE=\sqrt{AE^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
2. 已知ED平分$∠ AEC$，则$∠ DEC=∠ AED$。
3. 由$AD// BC$，得$∠ DEC=∠ ADE$，因此$∠ AED=∠ ADE$，故$AE=AD=10$。
4. 在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，根据勾股定理：$BE=\sqrt{AE^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
8. 如图,边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起,连接BD并延长交EG于点T,交FG于点P,则GT的长为 ()
A.$\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}$
C.2
D.1
A.$\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}$
C.2
D.1
答案
B
解析
1. 根据正方形性质，正方形ABCD的对角线BD平分∠BCD，得∠BDC=45°；正方形CEFG的对角线EG平分∠ECG，得∠EGC=45°。
2. 延长BD交EG于点T，易知∠GDT=∠BDC=45°，∠DGT=∠EGC=45°，故△DGT为等腰直角三角形。
3. 由正方形边长可知，CG=8，CD=4，因此DG=CG-CD=8-4=4。
4. 在等腰直角△DGT中，$GT=\frac{DG}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$。
2. 延长BD交EG于点T，易知∠GDT=∠BDC=45°，∠DGT=∠EGC=45°，故△DGT为等腰直角三角形。
3. 由正方形边长可知，CG=8，CD=4，因此DG=CG-CD=8-4=4。
4. 在等腰直角△DGT中，$GT=\frac{DG}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$。
