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13. [新课标·综合与实践题]特值法是解决数学问题的一种常用方法,即通过取题中某个未知量为特殊值,从而通过简单的运算,得出最终答案的一种方法.综合实践课上田老师展示了如下例题:
已知多项式$2x^3 - 2x^2 + m$有一个因式是$x+1$,求$m$的值.
解:由题意,设$2x^3 - 2x^2 + m = A · (x+1)$($A$为整式).
由于上式为恒等式,为了方便计算,取$x=-1$,
则$2×(-1)^3 - 2×(-1)^2 + m = 0$,解得$m = \blacksquare$.
【数学思考】“$\blacksquare$”的值为________;
【方法应用】已知多项式$2x^3 - x^2 - x + b$有一个因式是$2x-1$,求$b$的值;
【深入探究】若多项式$x^4 + ax^3 + bx - 3$有因式$(x-1)$和$(x+2)$,求$a$,$b$的值.
已知多项式$2x^3 - 2x^2 + m$有一个因式是$x+1$,求$m$的值.
解:由题意,设$2x^3 - 2x^2 + m = A · (x+1)$($A$为整式).
由于上式为恒等式,为了方便计算,取$x=-1$,
则$2×(-1)^3 - 2×(-1)^2 + m = 0$,解得$m = \blacksquare$.
【数学思考】“$\blacksquare$”的值为________;
【方法应用】已知多项式$2x^3 - x^2 - x + b$有一个因式是$2x-1$,求$b$的值;
【深入探究】若多项式$x^4 + ax^3 + bx - 3$有因式$(x-1)$和$(x+2)$,求$a$,$b$的值.
答案
13.解:【数学思考】4
【方法应用】设$2x^{3}-x^{2}-x+b=A·(2x-1)$($A$为整式),取$x=\frac{1}{2}$,则$2×(\frac{1}{2})^{3}-(\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{2}+b=0$,解得$b=\frac{1}{2}.$
【深入探究】设$x^{4}+ax^{3}+bx-3=A·(x-1)(x+2)$,取$x=1$,则$1^{4}+a×1^{3}+b×1-3=0$,所以$a+b=2$ ①.
取$x=-2$,则$(-2)^{4}+a×(-2)^{3}+b×(-2)-3=0$,所以$4a+b=\frac{13}{2}$ ②.联立①②,解得$a=\frac{3}{2},b=\frac{1}{2}.$
【方法应用】设$2x^{3}-x^{2}-x+b=A·(2x-1)$($A$为整式),取$x=\frac{1}{2}$,则$2×(\frac{1}{2})^{3}-(\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{2}+b=0$,解得$b=\frac{1}{2}.$
【深入探究】设$x^{4}+ax^{3}+bx-3=A·(x-1)(x+2)$,取$x=1$,则$1^{4}+a×1^{3}+b×1-3=0$,所以$a+b=2$ ①.
取$x=-2$,则$(-2)^{4}+a×(-2)^{3}+b×(-2)-3=0$,所以$4a+b=\frac{13}{2}$ ②.联立①②,解得$a=\frac{3}{2},b=\frac{1}{2}.$
解析
【分析】
本题考查特值法在多项式因式相关问题中的应用，解题思路如下：1. 若多项式含有某个一次因式，则当这个一次因式的值为0时，整个多项式的值也为0（因为等式是恒等式，右侧为整式乘该因式，因式为0时右侧整体为0，左侧多项式也必为0）；2. 针对不同问题，先令对应一次因式等于0，求出x的特殊值；3. 将x的特殊值代入多项式，令其等于0，得到关于未知参数的方程或方程组，解方程或方程组即可得到参数值。
【解析】
【数学思考】
将$x=-1$代入多项式$2x^3 - 2x^2 + m$，令其值为0：
$2×(-1)^3 - 2×(-1)^2 + m = 0$
计算得$-2 - 2 + m = 0$，解得$m=4$。
【方法应用】
设$2x^3 - x^2 - x + b = A·(2x-1)$（$A$为整式），令$2x-1=0$，得$x=\frac{1}{2}$。
将$x=\frac{1}{2}$代入多项式，令其值为0：
$2×(\frac{1}{2})^3 - (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + b = 0$
计算得$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + b = 0$，解得$b=\frac{1}{2}$。
【深入探究】
设$x^4 + ax^3 + bx - 3 = A·(x-1)(x+2)$（$A$为整式）：
1. 令$x-1=0$，得$x=1$，代入多项式得$1^4 + a×1^3 + b×1 - 3 = 0$，化简得$a + b = 2$ ①；
2. 令$x+2=0$，得$x=-2$，代入多项式得$(-2)^4 + a×(-2)^3 + b×(-2) - 3 = 0$，化简得$4a + b = \frac{13}{2}$ ②。
联立①②，用②-①得$3a=\frac{9}{2}$，解得$a=\frac{3}{2}$，将$a=\frac{3}{2}$代入①得$b=\frac{1}{2}$。
【答案】
【数学思考】$\boxed{4}$；【方法应用】$\boxed{b=\frac{1}{2}}$；【深入探究】$\boxed{a=\frac{3}{2},b=\frac{1}{2}}$
【知识点】
因式的定义；特值法应用；二元一次方程组求解
【点评】
本题核心是特值法的灵活运用，解题时抓住“多项式含某一次因式，则该因式为0时多项式值为0”这一规律，就能快速列出关于参数的方程求解，计算时要注意代入特殊值后的运算准确性，联立方程组时消元方法要正确。
【难度系数】
0.7
本题考查特值法在多项式因式相关问题中的应用，解题思路如下：1. 若多项式含有某个一次因式，则当这个一次因式的值为0时，整个多项式的值也为0（因为等式是恒等式，右侧为整式乘该因式，因式为0时右侧整体为0，左侧多项式也必为0）；2. 针对不同问题，先令对应一次因式等于0，求出x的特殊值；3. 将x的特殊值代入多项式，令其等于0，得到关于未知参数的方程或方程组，解方程或方程组即可得到参数值。
【解析】
【数学思考】
将$x=-1$代入多项式$2x^3 - 2x^2 + m$，令其值为0：
$2×(-1)^3 - 2×(-1)^2 + m = 0$
计算得$-2 - 2 + m = 0$，解得$m=4$。
【方法应用】
设$2x^3 - x^2 - x + b = A·(2x-1)$（$A$为整式），令$2x-1=0$，得$x=\frac{1}{2}$。
将$x=\frac{1}{2}$代入多项式，令其值为0：
$2×(\frac{1}{2})^3 - (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + b = 0$
计算得$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + b = 0$，解得$b=\frac{1}{2}$。
【深入探究】
设$x^4 + ax^3 + bx - 3 = A·(x-1)(x+2)$（$A$为整式）：
1. 令$x-1=0$，得$x=1$，代入多项式得$1^4 + a×1^3 + b×1 - 3 = 0$，化简得$a + b = 2$ ①；
2. 令$x+2=0$，得$x=-2$，代入多项式得$(-2)^4 + a×(-2)^3 + b×(-2) - 3 = 0$，化简得$4a + b = \frac{13}{2}$ ②。
联立①②，用②-①得$3a=\frac{9}{2}$，解得$a=\frac{3}{2}$，将$a=\frac{3}{2}$代入①得$b=\frac{1}{2}$。
【答案】
【数学思考】$\boxed{4}$；【方法应用】$\boxed{b=\frac{1}{2}}$；【深入探究】$\boxed{a=\frac{3}{2},b=\frac{1}{2}}$
【知识点】
因式的定义；特值法应用；二元一次方程组求解
【点评】
本题核心是特值法的灵活运用，解题时抓住“多项式含某一次因式，则该因式为0时多项式值为0”这一规律，就能快速列出关于参数的方程求解，计算时要注意代入特殊值后的运算准确性，联立方程组时消元方法要正确。
【难度系数】
0.7
