三、解答题(共52分)
9.(12分)八年级(2)班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后,为了测量如图所示的风筝的高度$CE$,他们进行了如下操作:
①测得$BD$为25米(其中$BD⊥ CE$);
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线$BC$的长为65米;
③牵线放风筝的小明身高1.6米.
求风筝的高度$CE$.

9.解:在$\mathrm{Rt}△CDB$中,$BC=65$米,$BD=25$米,
由勾股定理,得$CD^2=BC^2-BD^2$,
所以$CD=60$米(负值舍去),
所以$CE=CD+DE=60+1.6=61.6$(米).
答:风筝的高度$CE$为$61.6$米.

10.(20分)如图①,B是正方形ACDE的边CD上一点,连接AB,得到直角三角形ACB,三边长分别为 a,b,c,将$△ ACB$裁剪拼接至$△ AEF$的位置,如图②所示,某同学用图①,图②的面积不变证明了勾股定理.请你写出该方法证明勾股定理的过程.

10.证明:如答图,连接$BF$. $\because AC=b$,$\therefore$ 正方形$ACDE$的面积为$b^2$. $\because CD=DE=AC=b$,$BC=a$,$EF=BC=a$,
$\therefore BD=CD-BC=b-a$,$DF=DE+EF=b+a$.
$\because ∠ CAE=90°$,$\therefore ∠ BAC+∠ BAE=90°$.
$\because ∠ BAC=∠ EAE$,$\therefore ∠ EAF+∠ BAE=90°$,
$\therefore △ BAF$为等腰直角三角形,
$\therefore$ 四边形$ABDF$的面积为$\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}(b-a)(b+a)=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}(b^2-a^2)$. $\because$ 正方形$ACDE$的面积与四边形$ABDF$的面积相等,$\therefore b^2=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}(b^2-a^2)$,$\therefore b^2=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}a^2$,$\therefore \frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2}c^2$,$\therefore a^2+b^2=c^2$.

11.(20分)如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90^{ \circ }$,$AB=3$,$AC=4$,$D$是$BC$的中点,将$△ ABD$沿$AD$翻折得到$△ AED$,连接$BE$,$CE$.
(1)求$AD$的长;
(2)判断$△ BCE$的形状,并说明理由;
(3)求$CE$的长.

11.解:(1)在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=3$,$AC=4$,
由勾股定理,得$BC=5$.
$\because D$是$BC$的中点,$BC$为$\mathrm{Rt}△ABC$的斜边,
$\therefore AD=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}$.
(2)$△ BCE$为直角三角形.
理由:$\because D$是$BC$的中点,$\therefore CD=BD$.
$\because$ 将$△ ABD$沿$AD$翻折得到$△ AED$,$\therefore DE=DB$,
$\therefore CD=DE=DB$,
$\therefore ∠ DEC=∠ DCE$,$∠ DEB=∠ DBE$.
$\because ∠ DEC+∠ DCE+∠ DEB+∠ DBE=180°$,
$\therefore ∠ DEB+∠ DEC=90°$,$\therefore ∠ BEC=90°$,
$\therefore △ BCE$是直角三角形.
(3)如答图,设$BE$交$AD$于点$O$,作$AH⊥ BC$于点$H$.

由题意,得$AD=DC=DB=\frac{5}{2}$.
$\because \frac{1}{2}BC· AH=\frac{1}{2}AB· AC$,$\therefore AH=\frac{12}{5}$.
由折叠知$AE=AB$,$DE=DB$,
$\therefore$ 点$A,D$均在线段$BE$的垂直平分线上,
$\therefore AD$垂直平分线段$BE$.
$\because \frac{1}{2}AD· BO=\frac{1}{2}BD· AH$,
$\therefore BO=\frac{12}{5}$,$\therefore BE=2OB=\frac{24}{5}$.
在$\mathrm{Rt}△BCE$中,$CE^2+BE^2=BC^2$,
即$CE^2+(\frac{24}{5})^2=5^2$,解得$CE=\frac{7}{5}$(负值舍去).