登录
9. 某市为了加强居民节约用气的意识，按以下规定收取每月的燃气费：所用燃气如果不超过 $50$ $m^{3}$，按 $0.8$ 元/$m^{3}$ 收费；如果超过 $50$ $m^{3}$，未超过的部分按 $0.8$ 元/$m^{3}$ 收费，超过的部分按 $1.2$ 元/$m^{3}$ 收费。设小丽家每月的用气量为 $x$ $m^{3}$，应交燃气费 $y$ 元。
(1) 试写出 $y$ 与 $x(x ＞ 50)$ 之间的关系式。
(2) 已知小丽家 $3$ 月份的燃气费为 $88$ 元，那么小丽家 $3$ 月份的用气量为多少立方米？
(3) 已知小丽家 $7$ 月份的燃气费平均为 $0.95$ 元/$m^{3}$，那么小丽家 $7$ 月份用了多少立方米燃气？
(1) 试写出 $y$ 与 $x(x ＞ 50)$ 之间的关系式。
(2) 已知小丽家 $3$ 月份的燃气费为 $88$ 元，那么小丽家 $3$ 月份的用气量为多少立方米？
(3) 已知小丽家 $7$ 月份的燃气费平均为 $0.95$ 元/$m^{3}$，那么小丽家 $7$ 月份用了多少立方米燃气？
答案
9. 解：(1)由题意得
$ y = 50 × 0.8 + 1.2(x - 50) = 1.2x - 20 $。
(2)因为 $ 50 × 0.8 = 40 ＜ 88 $，
所以小丽家 3 月份的用气量超过了 $ 50m^{3} $，
所以 $ 1.2x - 20 = 88 $。
解得 $ x = 90 $。
所以小丽家 3 月份的用气量为 $ 90m^{3} $。
(3)由题意得 $ 1.2x - 20 = 0.95x $，
解得 $ x = 80 $。
所以小丽家 7 月份用了 $ 80m^{3} $ 燃气。
$ y = 50 × 0.8 + 1.2(x - 50) = 1.2x - 20 $。
(2)因为 $ 50 × 0.8 = 40 ＜ 88 $，
所以小丽家 3 月份的用气量超过了 $ 50m^{3} $，
所以 $ 1.2x - 20 = 88 $。
解得 $ x = 90 $。
所以小丽家 3 月份的用气量为 $ 90m^{3} $。
(3)由题意得 $ 1.2x - 20 = 0.95x $，
解得 $ x = 80 $。
所以小丽家 7 月份用了 $ 80m^{3} $ 燃气。
解析
【分析】
这是一道分段计费的实际应用问题，解题思路如下：
1. 第(1)问：当用气量x＞50时，燃气费分为两部分，不超过50m³的部分按0.8元/m³收费，超过50m³的部分按1.2元/m³收费，总费用为两部分之和，据此推导y与x的关系式。
2. 第(2)问：先计算用气量为50m³时的费用，对比已知的88元判断用气量是否超过50m³，再代入第(1)问的关系式，通过一元一次方程求解用气量。
3. 第(3)问：根据平均费用0.95元/m³＞0.8元/m³，判断用气量超过50m³，总费用既等于平均费用×用气量，也等于第(1)问的关系式，据此列一元一次方程求解用气量。
【解析】
(1) 当x＞50时，应交燃气费=50m³的费用+超过50m³部分的费用，即：
$ y = 50×0.8 + 1.2(x - 50) $
化简得：$ y = 40 + 1.2x - 60 = 1.2x - 20 $
(2) 先计算50m³的燃气费：$ 50×0.8 = 40 $元，因为$ 40＜88 $，所以小丽家3月份用气量超过50m³，将$ y=88 $代入$ y=1.2x -20 $得：
$ 1.2x -20 = 88 $
解得：$ x=90 $
即小丽家3月份用气量为90m³
(3) 已知7月份燃气费平均为0.95元/m³，总费用为$ 0.95x $，又因用气量超过50m³，总费用也为$ 1.2x -20 $，列方程：
$ 1.2x -20 = 0.95x $
移项得：$ 0.25x =20 $，解得$ x=80 $
即小丽家7月份用气量为80m³
【答案】
9. 解：(1)由题意得
$ y = 50 × 0.8 + 1.2(x - 50) = 1.2x - 20 $。
(2)因为 $ 50 × 0.8 = 40 ＜ 88 $，
所以小丽家 3 月份的用气量超过了 $ 50m^{3} $，
所以 $ 1.2x - 20 = 88 $。
解得 $ x = 90 $。
所以小丽家 3 月份的用气量为 $ 90m^{3} $。
(3)由题意得 $ 1.2x - 20 = 0.95x $，
解得 $ x = 80 $。
所以小丽家 7 月份用了 $ 80m^{3} $ 燃气。
【知识点】
分段函数的应用、一元一次方程的应用
【点评】
本题结合燃气分段计费的实际场景，考查分段函数构建与一元一次方程的应用，核心是先判断用气量是否超过分界值，再选择对应关系式求解，体现了数学与生活的联系。
【难度系数】
0.6
这是一道分段计费的实际应用问题，解题思路如下：
1. 第(1)问：当用气量x＞50时，燃气费分为两部分，不超过50m³的部分按0.8元/m³收费，超过50m³的部分按1.2元/m³收费，总费用为两部分之和，据此推导y与x的关系式。
2. 第(2)问：先计算用气量为50m³时的费用，对比已知的88元判断用气量是否超过50m³，再代入第(1)问的关系式，通过一元一次方程求解用气量。
3. 第(3)问：根据平均费用0.95元/m³＞0.8元/m³，判断用气量超过50m³，总费用既等于平均费用×用气量，也等于第(1)问的关系式，据此列一元一次方程求解用气量。
【解析】
(1) 当x＞50时，应交燃气费=50m³的费用+超过50m³部分的费用，即：
$ y = 50×0.8 + 1.2(x - 50) $
化简得：$ y = 40 + 1.2x - 60 = 1.2x - 20 $
(2) 先计算50m³的燃气费：$ 50×0.8 = 40 $元，因为$ 40＜88 $，所以小丽家3月份用气量超过50m³，将$ y=88 $代入$ y=1.2x -20 $得：
$ 1.2x -20 = 88 $
解得：$ x=90 $
即小丽家3月份用气量为90m³
(3) 已知7月份燃气费平均为0.95元/m³，总费用为$ 0.95x $，又因用气量超过50m³，总费用也为$ 1.2x -20 $，列方程：
$ 1.2x -20 = 0.95x $
移项得：$ 0.25x =20 $，解得$ x=80 $
即小丽家7月份用气量为80m³
【答案】
9. 解：(1)由题意得
$ y = 50 × 0.8 + 1.2(x - 50) = 1.2x - 20 $。
(2)因为 $ 50 × 0.8 = 40 ＜ 88 $，
所以小丽家 3 月份的用气量超过了 $ 50m^{3} $，
所以 $ 1.2x - 20 = 88 $。
解得 $ x = 90 $。
所以小丽家 3 月份的用气量为 $ 90m^{3} $。
(3)由题意得 $ 1.2x - 20 = 0.95x $，
解得 $ x = 80 $。
所以小丽家 7 月份用了 $ 80m^{3} $ 燃气。
【知识点】
分段函数的应用、一元一次方程的应用
【点评】
本题结合燃气分段计费的实际场景，考查分段函数构建与一元一次方程的应用，核心是先判断用气量是否超过分界值，再选择对应关系式求解，体现了数学与生活的联系。
【难度系数】
0.6
10. 上周末，小张和父母开车到距家 $200$ $km$ 的景点旅游。从家出发时，汽车油箱内有油 $45$ $L$。当行驶 $150$ $km$ 时，发现油箱剩余油量为 $30$ $L$。(假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的)
(1) 求该车平均每千米的耗油量，并写出剩余油量 $Q$(单位：$L$)与行驶路程 $x$(单位：$km$)之间的关系式；
(2) 当行驶路程为 $200$ $km$ 时，求剩余油量 $Q$ 的值；
(3) 当油箱中剩余油量低于 $3$ $L$ 时，汽车将自动报警。如果往返途中不加油且只在往返途中开车，那么他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由。
(1) 求该车平均每千米的耗油量，并写出剩余油量 $Q$(单位：$L$)与行驶路程 $x$(单位：$km$)之间的关系式；
(2) 当行驶路程为 $200$ $km$ 时，求剩余油量 $Q$ 的值；
(3) 当油箱中剩余油量低于 $3$ $L$ 时，汽车将自动报警。如果往返途中不加油且只在往返途中开车，那么他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由。
答案
10. 解：(1)由题意可知，行驶 150 km 时，耗油量为 $ (45 - 30)L $，
所以该车平均每千米的耗油量为
$ (45 - 30) ÷ 150 = 0.1(L) $，
所以 $ Q = 45 - 0.1x $。
(2)由(1)可知，$ Q = 45 - 0.1x $。
当 $ x = 200 $ 时，$ Q = 45 - 0.1 × 200 = 25(L) $。
(3)他们能在汽车报警前回到家。理由如下：
$ (45 - 3) ÷ 0.1 = 420(km) $。
因为 $ 420 ＞ 400 $，
所以他们能在汽车报警前回到家。
所以该车平均每千米的耗油量为
$ (45 - 30) ÷ 150 = 0.1(L) $，
所以 $ Q = 45 - 0.1x $。
(2)由(1)可知，$ Q = 45 - 0.1x $。
当 $ x = 200 $ 时，$ Q = 45 - 0.1 × 200 = 25(L) $。
(3)他们能在汽车报警前回到家。理由如下：
$ (45 - 3) ÷ 0.1 = 420(km) $。
因为 $ 420 ＞ 400 $，
所以他们能在汽车报警前回到家。
解析
【分析】
要解决这道题，需先明确耗油量的计算逻辑：平均每千米耗油量=总耗油量÷行驶路程，剩余油量=初始油量 - 每千米耗油量×行驶路程。问题（1）先根据已知行驶数据算出每千米耗油量，再建立剩余油量与行驶路程的函数关系式；问题（2）直接代入行驶路程计算剩余油量；问题（3）需算出油箱报警前能行驶的最大路程，与往返总路程比较判断是否能到家。
【解析】
10. 解：
(1) 行驶150km的耗油量为：$45 - 30 = 15(L)$，
则该车平均每千米的耗油量为：$15 ÷ 150 = 0.1(L)$，
剩余油量$Q$与行驶路程$x$的关系式为：$Q = 45 - 0.1x$；
(2) 当$x = 200$时，代入关系式得：$Q = 45 - 0.1×200 = 25(L)$；
(3) 油箱剩余油量低于3L时，汽车能行驶的最大路程为：$(45 - 3) ÷ 0.1 = 420(km)$，
往返总路程为：$200×2 = 400(km)$，
因为$420 ＞ 400$，所以他们能在汽车报警前回到家。
【答案】
(1) 平均每千米耗油量为0.1L，剩余油量$Q$与行驶路程$x$的关系式为$Q = 45 - 0.1x$；
(2) 当行驶200km时，剩余油量$Q$为25L；
(3) 能在汽车报警前回到家，理由见解析。
【知识点】
一次函数的应用、函数关系式建立
【点评】
本题结合实际行程问题，考查一次函数的实际应用，核心是从题目中提取有效数据推导函数关系，再利用函数解决实际问题，侧重基础应用能力，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需先明确耗油量的计算逻辑：平均每千米耗油量=总耗油量÷行驶路程，剩余油量=初始油量 - 每千米耗油量×行驶路程。问题（1）先根据已知行驶数据算出每千米耗油量，再建立剩余油量与行驶路程的函数关系式；问题（2）直接代入行驶路程计算剩余油量；问题（3）需算出油箱报警前能行驶的最大路程，与往返总路程比较判断是否能到家。
【解析】
10. 解：
(1) 行驶150km的耗油量为：$45 - 30 = 15(L)$，
则该车平均每千米的耗油量为：$15 ÷ 150 = 0.1(L)$，
剩余油量$Q$与行驶路程$x$的关系式为：$Q = 45 - 0.1x$；
(2) 当$x = 200$时，代入关系式得：$Q = 45 - 0.1×200 = 25(L)$；
(3) 油箱剩余油量低于3L时，汽车能行驶的最大路程为：$(45 - 3) ÷ 0.1 = 420(km)$，
往返总路程为：$200×2 = 400(km)$，
因为$420 ＞ 400$，所以他们能在汽车报警前回到家。
【答案】
(1) 平均每千米耗油量为0.1L，剩余油量$Q$与行驶路程$x$的关系式为$Q = 45 - 0.1x$；
(2) 当行驶200km时，剩余油量$Q$为25L；
(3) 能在汽车报警前回到家，理由见解析。
【知识点】
一次函数的应用、函数关系式建立
【点评】
本题结合实际行程问题，考查一次函数的实际应用，核心是从题目中提取有效数据推导函数关系，再利用函数解决实际问题，侧重基础应用能力，难度适中。
【难度系数】
0.6
