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20.综合与实践.
活动目的 探究因式分解的其他方法.
材料1:在因式分解中,对形如$x^2+(p+q)x+pq$的二次三项式进行因式分解的方法叫作“十字相乘法”:$x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$.例如:将二次三项式$x^2+2x-35$因式分解,这个式子的二次项系数是1,常数项$-35=-5×7$,一次项系数$2=-5+7$,如图,则$x^2+2x-35=(x-5)(x+7)$.
材料2:“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下:
甲:$a^2-2ab-4+b^2$
$=(a^2-2ab+b^2)-4$(分成两组)
$=(a-b)^2-2^2$(直接运用公式)
$=(a-b+2)(a-b-2)$.
乙:$a^2-ab-a+b$
$=(a^2-ab)-(a-b)$(分成两组)
$=a(a-b)-(a-b)$(提公因式)
$=(a-b)(a-1)$.
这种分解因式的方法叫作“分组分解法”.
材料3:在因式分解中,把多项式中某些部分看作一个整体,用一个新的字母代替(即换元),不仅可以简化要分解的多项式的结构,而且能使式子的特点更加明显,便于观察如何进行因式分解,这种方法就是“换元法”.例如:
因式分解:$(x^2+5x+2)(x^2+5x-4)+9$.
解:设$x^2+5x+2=y$,
则原式$=y(y-6)+9=(y-3)^2=(x^2+5x+2-3)^2=(x^2+5x-1)^2$.
学习上述材料内容,完成下列任务.
任务1:因式分解:①$x^2+6x+5$;②$x^2-8x+15$.
任务2:①因式分解:$a^2+2a-2b-b^2$;
②若$a,b,c$分别为$△ ABC$三边的长,且$ac-bc+a^2-2ab+b^2=0$,请判断$△ ABC$的形状,并说明理由.
任务3:①因式分解:$(x^2-4x+1)(x^2-4x+7)+9$;
②说明多项式$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1$的值一定是非负数.
假期作业 14
年月日 星期
活动目的 探究因式分解的其他方法.
材料1:在因式分解中,对形如$x^2+(p+q)x+pq$的二次三项式进行因式分解的方法叫作“十字相乘法”:$x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$.例如:将二次三项式$x^2+2x-35$因式分解,这个式子的二次项系数是1,常数项$-35=-5×7$,一次项系数$2=-5+7$,如图,则$x^2+2x-35=(x-5)(x+7)$.
材料2:“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下:
甲:$a^2-2ab-4+b^2$
$=(a^2-2ab+b^2)-4$(分成两组)
$=(a-b)^2-2^2$(直接运用公式)
$=(a-b+2)(a-b-2)$.
乙:$a^2-ab-a+b$
$=(a^2-ab)-(a-b)$(分成两组)
$=a(a-b)-(a-b)$(提公因式)
$=(a-b)(a-1)$.
这种分解因式的方法叫作“分组分解法”.
材料3:在因式分解中,把多项式中某些部分看作一个整体,用一个新的字母代替(即换元),不仅可以简化要分解的多项式的结构,而且能使式子的特点更加明显,便于观察如何进行因式分解,这种方法就是“换元法”.例如:
因式分解:$(x^2+5x+2)(x^2+5x-4)+9$.
解:设$x^2+5x+2=y$,
则原式$=y(y-6)+9=(y-3)^2=(x^2+5x+2-3)^2=(x^2+5x-1)^2$.
学习上述材料内容,完成下列任务.
任务1:因式分解:①$x^2+6x+5$;②$x^2-8x+15$.
任务2:①因式分解:$a^2+2a-2b-b^2$;
②若$a,b,c$分别为$△ ABC$三边的长,且$ac-bc+a^2-2ab+b^2=0$,请判断$△ ABC$的形状,并说明理由.
任务3:①因式分解:$(x^2-4x+1)(x^2-4x+7)+9$;
②说明多项式$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1$的值一定是非负数.
假期作业 14
年月日 星期
答案
20.解:任务1:①$x^2+6x+5=(x+5)(x+1)$.
②$x^2-8x+15=(x-3)(x-5)$.
任务2:①$a^2+2a-2b-b^2=a^2-b^2+2a-2b$
$=(a+b)(a-b)+2(a-b)$
$=(a+b+2)(a-b)$.
②$△ ABC$是等腰三角形.理由如下:
$\because ac-bc+a^2-2ab+b^2=0$,
$\therefore c(a-b)+(a-b)^2=0$,
$\therefore (a-b)(a-b+c)=0$.
$\because a,b,c$分别为$△ ABC$三边的长,
$\therefore a+c-b＞0$,
$\therefore a-b=0,\therefore a=b$.
故$△ ABC$是等腰三角形.
任务3:①设$x^2-4x=y$,
原式$=(y+1)(y+7)+9=y^2+8y+7+9=y^2+8y+16=(y+4)^2=(x^2-4x+4)^2=(x-2)^4$.
②$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1$
$=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)+1$
$=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)+1$.
设$x^2+5x=y$,
原式$=(y+4)(y+6)+1$
$=y^2+10y+24+1$
$=y^2+10y+25$
$=(y+5)^2≥0$,
故$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1$的值一定是非负数.
②$x^2-8x+15=(x-3)(x-5)$.
任务2:①$a^2+2a-2b-b^2=a^2-b^2+2a-2b$
$=(a+b)(a-b)+2(a-b)$
$=(a+b+2)(a-b)$.
②$△ ABC$是等腰三角形.理由如下:
$\because ac-bc+a^2-2ab+b^2=0$,
$\therefore c(a-b)+(a-b)^2=0$,
$\therefore (a-b)(a-b+c)=0$.
$\because a,b,c$分别为$△ ABC$三边的长,
$\therefore a+c-b＞0$,
$\therefore a-b=0,\therefore a=b$.
故$△ ABC$是等腰三角形.
任务3:①设$x^2-4x=y$,
原式$=(y+1)(y+7)+9=y^2+8y+7+9=y^2+8y+16=(y+4)^2=(x^2-4x+4)^2=(x-2)^4$.
②$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1$
$=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)+1$
$=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)+1$.
设$x^2+5x=y$,
原式$=(y+4)(y+6)+1$
$=y^2+10y+24+1$
$=y^2+10y+25$
$=(y+5)^2≥0$,
故$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1$的值一定是非负数.
解析
【分析】
本题属于因式分解综合探究题，题干先介绍十字相乘法、分组分解法、换元法三种因式分解方法，解题时可按任务对应选择方法求解：
1. 任务1用十字相乘法：针对二次项系数为1的二次三项式，将常数项拆为两个因数的乘积，且两因数之和等于一次项系数，即可套用公式分解；
2. 任务2用分组分解法：①先将含平方项、一次项的部分分别分组，用平方差公式、提公因式法分解后再整体提公因式即可；②先对等式左边多项式因式分解，再结合三角形三边关系判断因式正负，即可得到边的关系，判断三角形形状；
3. 任务3用换元法：①观察到两个多项式均含$x^2-4x$，将其设为新字母简化式子，分解后代回原式继续分解彻底即可；②先将四个一次因式两两分组相乘，得到两个均含$x^2+5x$的多项式，换元后分解为完全平方形式，结合平方非负性即可说明多项式值的非负性。
【解析】
任务1
① 对于$x^2+6x+5$，常数项$5=1×5$，一次项系数$6=1+5$，符合十字相乘的结构特征；
② 对于$x^2-8x+15$，常数项$15=(-3)×(-5)$，一次项系数$-8=(-3)+(-5)$，符合十字相乘的结构特征。
任务2
① 将多项式分组，平方项为一组、一次项为一组：
$a^2+2a-2b-b^2=a^2-b^2+2a-2b$
对两组分别分解：$(a+b)(a-b)+2(a-b)$
提取公因式$(a-b)$即可完成分解。
② 对等式左边因式分解：
先提公因式、用完全平方公式整理得$c(a-b)+(a-b)^2=0$，提取公因式得$(a-b)(a-b+c)=0$；
结合三角形三边关系“两边之和大于第三边”得$a+c-b＞0$，因此仅$a-b=0$，即$a=b$，可判断三角形形状。
任务3
① 设$x^2-4x=y$，代入原式得：
$(y+1)(y+7)+9=y^2+8y+16=(y+4)^2$，代回$y=x^2-4x$后继续分解为最简形式即可。
② 先调整因式相乘顺序分组凑相同结构：
$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)+1$
设$x^2+5x=y$，代入得$(y+4)(y+6)+1=y^2+10y+25=(y+5)^2$，根据平方的非负性即可说明原式值非负。
【答案】
任务1:①$x^2+6x+5=(x+5)(x+1)$。
②$x^2-8x+15=(x-3)(x-5)$。
任务2:①$a^2+2a-2b-b^2=a^2-b^2+2a-2b$
$=(a+b)(a-b)+2(a-b)$
$=(a+b+2)(a-b)$。
②$△ ABC$是等腰三角形。理由如下:
$\because ac-bc+a^2-2ab+b^2=0$,
$\therefore c(a-b)+(a-b)^2=0$,
$\therefore (a-b)(a-b+c)=0$。
$\because a,b,c$分别为$△ ABC$三边的长,
$\therefore a+c-b＞0$,
$\therefore a-b=0,\therefore a=b$。
故$△ ABC$是等腰三角形。
任务3:①设$x^2-4x=y$,
原式$=(y+1)(y+7)+9=y^2+8y+7+9=y^2+8y+16=(y+4)^2=(x^2-4x+4)^2=(x-2)^4$。
②$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1$
$=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)+1$
$=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)+1$。
设$x^2+5x=y$,
原式$=(y+4)(y+6)+1$
$=y^2+10y+24+1$
$=y^2+10y+25$
$=(y+5)^2≥0$,
故$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1$的值一定是非负数。
【知识点】
十字相乘法因式分解，分组分解法因式分解，换元法因式分解
【点评】
本题为阅读探究类题型，通过材料引入因式分解的三种常用方法，设置梯度化任务考查方法的灵活运用，既考查对新方法的理解迁移能力，也考查结合三角形三边关系、平方非负性解决实际问题的能力，解题核心是准确观察多项式结构特征，选择合适的分解方法。
【难度系数】
0.6
本题属于因式分解综合探究题，题干先介绍十字相乘法、分组分解法、换元法三种因式分解方法，解题时可按任务对应选择方法求解：
1. 任务1用十字相乘法：针对二次项系数为1的二次三项式，将常数项拆为两个因数的乘积，且两因数之和等于一次项系数，即可套用公式分解；
2. 任务2用分组分解法：①先将含平方项、一次项的部分分别分组，用平方差公式、提公因式法分解后再整体提公因式即可；②先对等式左边多项式因式分解，再结合三角形三边关系判断因式正负，即可得到边的关系，判断三角形形状；
3. 任务3用换元法：①观察到两个多项式均含$x^2-4x$，将其设为新字母简化式子，分解后代回原式继续分解彻底即可；②先将四个一次因式两两分组相乘，得到两个均含$x^2+5x$的多项式，换元后分解为完全平方形式，结合平方非负性即可说明多项式值的非负性。
【解析】
任务1
① 对于$x^2+6x+5$，常数项$5=1×5$，一次项系数$6=1+5$，符合十字相乘的结构特征；
② 对于$x^2-8x+15$，常数项$15=(-3)×(-5)$，一次项系数$-8=(-3)+(-5)$，符合十字相乘的结构特征。
任务2
① 将多项式分组，平方项为一组、一次项为一组：
$a^2+2a-2b-b^2=a^2-b^2+2a-2b$
对两组分别分解：$(a+b)(a-b)+2(a-b)$
提取公因式$(a-b)$即可完成分解。
② 对等式左边因式分解：
先提公因式、用完全平方公式整理得$c(a-b)+(a-b)^2=0$，提取公因式得$(a-b)(a-b+c)=0$；
结合三角形三边关系“两边之和大于第三边”得$a+c-b＞0$，因此仅$a-b=0$，即$a=b$，可判断三角形形状。
任务3
① 设$x^2-4x=y$，代入原式得：
$(y+1)(y+7)+9=y^2+8y+16=(y+4)^2$，代回$y=x^2-4x$后继续分解为最简形式即可。
② 先调整因式相乘顺序分组凑相同结构：
$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)+1$
设$x^2+5x=y$，代入得$(y+4)(y+6)+1=y^2+10y+25=(y+5)^2$，根据平方的非负性即可说明原式值非负。
【答案】
任务1:①$x^2+6x+5=(x+5)(x+1)$。
②$x^2-8x+15=(x-3)(x-5)$。
任务2:①$a^2+2a-2b-b^2=a^2-b^2+2a-2b$
$=(a+b)(a-b)+2(a-b)$
$=(a+b+2)(a-b)$。
②$△ ABC$是等腰三角形。理由如下:
$\because ac-bc+a^2-2ab+b^2=0$,
$\therefore c(a-b)+(a-b)^2=0$,
$\therefore (a-b)(a-b+c)=0$。
$\because a,b,c$分别为$△ ABC$三边的长,
$\therefore a+c-b＞0$,
$\therefore a-b=0,\therefore a=b$。
故$△ ABC$是等腰三角形。
任务3:①设$x^2-4x=y$,
原式$=(y+1)(y+7)+9=y^2+8y+7+9=y^2+8y+16=(y+4)^2=(x^2-4x+4)^2=(x-2)^4$。
②$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1$
$=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)+1$
$=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)+1$。
设$x^2+5x=y$,
原式$=(y+4)(y+6)+1$
$=y^2+10y+24+1$
$=y^2+10y+25$
$=(y+5)^2≥0$,
故$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1$的值一定是非负数。
【知识点】
十字相乘法因式分解，分组分解法因式分解，换元法因式分解
【点评】
本题为阅读探究类题型，通过材料引入因式分解的三种常用方法，设置梯度化任务考查方法的灵活运用，既考查对新方法的理解迁移能力，也考查结合三角形三边关系、平方非负性解决实际问题的能力，解题核心是准确观察多项式结构特征，选择合适的分解方法。
【难度系数】
0.6
