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1. (教材练习变式)若以关于$x、y$的二元一次方程$x-2y+b=0$的解为坐标的点$(x,y)$都在直线$y=\frac{1}{2}x+b-1$上,则常数$b$的值为 （
A.0
B.$-1$
C.2
D.1
C
）A.0
B.$-1$
C.2
D.1
答案
C 解析:将 $y=\frac{1}{2}x+b-1$ 两边同时乘 2,得 $2y=x+2b-2$,整理,得 $x-2y+2b-2=0$,根据题意,得 $b=2b-2$,解得 $b=2$.
解析
【分析】
解题时先明确一次函数与二元一次方程的关系：若以二元一次方程的解为坐标的点都在某条直线上，说明该二元一次方程和直线对应的二元一次方程是等价的，整理为相同形式后各项系数、常数项均对应相等。因此我们可以先将给出的直线解析式变形为和已知方程$x-2y+b=0$形式一致的式子，再通过常数项相等列方程求解b的值即可。
【解析】
首先将直线$y=\frac{1}{2}x+b-1$两边同时乘2，得：
$2y=x+2b-2$
移项整理为$x-2y$在左侧的形式：
$x-2y+2b-2=0$
根据题意，以方程$x-2y+b=0$的解为坐标的点都在该直线上，说明两个方程是同一个方程，对应常数项相等，因此可列方程：
$b=2b-2$
解这个一元一次方程：
移项得$2b-b=2$，即$b=2$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数与二元一次方程的关系、等式的性质、解一元一次方程
【点评】
本题核心考查一次函数与二元一次方程的对应关系，解题的突破口是理解“方程的所有解对应的点都在直线上”的含义，即两个方程可化为完全相同的形式，通过对比系数列方程求解即可，是对基础概念应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时先明确一次函数与二元一次方程的关系：若以二元一次方程的解为坐标的点都在某条直线上，说明该二元一次方程和直线对应的二元一次方程是等价的，整理为相同形式后各项系数、常数项均对应相等。因此我们可以先将给出的直线解析式变形为和已知方程$x-2y+b=0$形式一致的式子，再通过常数项相等列方程求解b的值即可。
【解析】
首先将直线$y=\frac{1}{2}x+b-1$两边同时乘2，得：
$2y=x+2b-2$
移项整理为$x-2y$在左侧的形式：
$x-2y+2b-2=0$
根据题意，以方程$x-2y+b=0$的解为坐标的点都在该直线上，说明两个方程是同一个方程，对应常数项相等，因此可列方程：
$b=2b-2$
解这个一元一次方程：
移项得$2b-b=2$，即$b=2$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数与二元一次方程的关系、等式的性质、解一元一次方程
【点评】
本题核心考查一次函数与二元一次方程的对应关系，解题的突破口是理解“方程的所有解对应的点都在直线上”的含义，即两个方程可化为完全相同的形式，通过对比系数列方程求解即可，是对基础概念应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
2. 某二元一次方程的解是$\begin{cases}x=m-1, \\ y=-2m+1\end{cases}$（$m$为实数），若把$x$看作平面直角坐标系中点的横坐标，$y$看作平面直角坐标系中点的纵坐标，下列说法正确的是 （ ）
A.点$(x,y)$一定不在第一象限
B.点$(x,y)$一定不在第二象限
C.$y$随$x$的增大而增大
D.点$(x,y)$一定不在第三象限
A.点$(x,y)$一定不在第一象限
B.点$(x,y)$一定不在第二象限
C.$y$随$x$的增大而增大
D.点$(x,y)$一定不在第三象限
答案
A 解析:由 $x=m-1$,得 $m=x+1$,代入 $y=-2m+1$,得 $y=-2x-1$. $\because y=-2x-1$ 是一次函数,且经过第二、三、四象限,不经过第一象限,$\therefore$点$(x,y)$一定不在第一象限.
解析
【分析】
要判断点$(x,y)$的相关性质，首先需要消去参数$m$，得到$y$与$x$的函数关系式，再结合一次函数的图象性质、象限的坐标特征逐一判断选项即可。解题步骤为：第一步用含$x$的代数式表示$m$，第二步代入$y$的表达式得到$y$关于$x$的一次函数，第三步分析一次函数的增减性和经过的象限，第四步对应选项判断正误。
【解析】
由$x=m-1$，移项可得$m=x+1$，将其代入$y=-2m+1$中：
$\begin{aligned}y&=-2(x+1)+1\\&=-2x-2+1\\&=-2x-1\end{aligned}$
得到一次函数解析式为$y=-2x-1$，分析其性质：
1. 增减性：$k=-2＜0$，因此$y$随$x$的增大而减小，故C选项错误；
2. 图象经过的象限：$k=-2＜0$，$b=-1＜0$，因此函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限：
图象经过第二象限，说明点$(x,y)$可以在第二象限，故B选项错误；
图象经过第三象限，说明点$(x,y)$可以在第三象限，故D选项错误；
图象不经过第一象限，说明点$(x,y)$一定不在第一象限，故A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的图象与性质，消元法求函数解析式，平面直角坐标系中点的象限特征
【点评】
本题将二元一次方程的解与一次函数、平面直角坐标系的知识结合考查，解题的核心是通过消参得到$y$与$x$的函数关系式，再结合一次函数的相关性质判断选项，能有效考查学生的参数转化能力和对基础知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.7
要判断点$(x,y)$的相关性质，首先需要消去参数$m$，得到$y$与$x$的函数关系式，再结合一次函数的图象性质、象限的坐标特征逐一判断选项即可。解题步骤为：第一步用含$x$的代数式表示$m$，第二步代入$y$的表达式得到$y$关于$x$的一次函数，第三步分析一次函数的增减性和经过的象限，第四步对应选项判断正误。
【解析】
由$x=m-1$，移项可得$m=x+1$，将其代入$y=-2m+1$中：
$\begin{aligned}y&=-2(x+1)+1\\&=-2x-2+1\\&=-2x-1\end{aligned}$
得到一次函数解析式为$y=-2x-1$，分析其性质：
1. 增减性：$k=-2＜0$，因此$y$随$x$的增大而减小，故C选项错误；
2. 图象经过的象限：$k=-2＜0$，$b=-1＜0$，因此函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限：
图象经过第二象限，说明点$(x,y)$可以在第二象限，故B选项错误；
图象经过第三象限，说明点$(x,y)$可以在第三象限，故D选项错误；
图象不经过第一象限，说明点$(x,y)$一定不在第一象限，故A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的图象与性质，消元法求函数解析式，平面直角坐标系中点的象限特征
【点评】
本题将二元一次方程的解与一次函数、平面直角坐标系的知识结合考查，解题的核心是通过消参得到$y$与$x$的函数关系式，再结合一次函数的相关性质判断选项，能有效考查学生的参数转化能力和对基础知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.7
3. 已知二元一次方程组$\begin{cases} ax - y = -b, \\ kx - y = 0 \end{cases}$的解为$\begin{cases} x = -3, \\ y = 1, \end{cases}$则函数$y=ax+b$和$y=kx$的图象的交点坐标为________.
答案
$(-3,1)$
解析
【分析】
解题的核心是理解一次函数与二元一次方程组的对应关系：两个一次函数图象的交点坐标，恰好是由这两个函数解析式联立得到的二元一次方程组的解；反过来，二元一次方程组的解，就是对应两个一次函数图象的交点坐标。首先将题干给出的方程组变形为题目中两个一次函数的形式，再利用上述对应关系直接推导交点坐标即可。
【解析】
1. 对已知二元一次方程组的方程进行移项变形：
对$ax - y = -b$移项，可得$y=ax+b$；
对$kx - y = 0$移项，可得$y=kx$。
2. 根据一次函数与二元一次方程组的关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是两个函数解析式联立得到的方程组的解。
已知该方程组的解为$\begin{cases} x = -3, \\ y = 1, \end{cases}$，因此两个函数图象的交点横、纵坐标和方程组的解完全对应。
【答案】
$(-3,1)$
【知识点】
一次函数与二元一次方程的关系，二元一次方程组的解的意义
【点评】
本题是基础概念应用题，重点考查一次函数和二元一次方程组的内在联系，只要掌握方程组的解与两个一次函数交点的对应关系，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题的核心是理解一次函数与二元一次方程组的对应关系：两个一次函数图象的交点坐标，恰好是由这两个函数解析式联立得到的二元一次方程组的解；反过来，二元一次方程组的解，就是对应两个一次函数图象的交点坐标。首先将题干给出的方程组变形为题目中两个一次函数的形式，再利用上述对应关系直接推导交点坐标即可。
【解析】
1. 对已知二元一次方程组的方程进行移项变形：
对$ax - y = -b$移项，可得$y=ax+b$；
对$kx - y = 0$移项，可得$y=kx$。
2. 根据一次函数与二元一次方程组的关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是两个函数解析式联立得到的方程组的解。
已知该方程组的解为$\begin{cases} x = -3, \\ y = 1, \end{cases}$，因此两个函数图象的交点横、纵坐标和方程组的解完全对应。
【答案】
$(-3,1)$
【知识点】
一次函数与二元一次方程的关系，二元一次方程组的解的意义
【点评】
本题是基础概念应用题，重点考查一次函数和二元一次方程组的内在联系，只要掌握方程组的解与两个一次函数交点的对应关系，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
4. 已知直线$y=2x+1$与$y=kx-b$的交点为$(-2,a)$，则方程组$\begin{cases} y=2x+1, \\ y=kx-b \end{cases}$的解为________。
答案
$\begin{cases} x=-2, \\ y=-3 \end{cases}$ 解析:把$(-2,a)$代入 $y=2x+1$,得 $a=(-2)×2+1=-3$,即直线 $y=2x+1$ 与 $y=kx-b$ 的交点为$(-2,-3)$,则方程组的解为 $\begin{cases} x=-2, \\ y=-3. \end{cases}$
解析
【分析】
解题首先要明确核心规律：两个一次函数图象的交点坐标，就是对应的二元一次方程组的解，且交点坐标同时满足两个函数的解析式。已知交点横坐标为-2，我们可以先将x=-2代入已知直线解析式求出纵坐标a，得到完整的交点坐标，该坐标就是所求方程组的解。
【解析】
1. 求交点的纵坐标：将点$(-2,a)$代入$y=2x+1$，可得
$a=2×(-2)+1=-3$
因此两条直线的交点坐标为$(-2,-3)$。
2. 根据一次函数与二元一次方程组的关系可知，两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，因此该方程组的解就是交点的横、纵坐标。
【答案】
$\begin{cases} x=-2, \\ y=-3 \end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一次函数交点与二元一次方程组解的对应关系，熟练掌握该对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题首先要明确核心规律：两个一次函数图象的交点坐标，就是对应的二元一次方程组的解，且交点坐标同时满足两个函数的解析式。已知交点横坐标为-2，我们可以先将x=-2代入已知直线解析式求出纵坐标a，得到完整的交点坐标，该坐标就是所求方程组的解。
【解析】
1. 求交点的纵坐标：将点$(-2,a)$代入$y=2x+1$，可得
$a=2×(-2)+1=-3$
因此两条直线的交点坐标为$(-2,-3)$。
2. 根据一次函数与二元一次方程组的关系可知，两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，因此该方程组的解就是交点的横、纵坐标。
【答案】
$\begin{cases} x=-2, \\ y=-3 \end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一次函数交点与二元一次方程组解的对应关系，熟练掌握该对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
5. (教材习题变式)用图象法解二元一次方程组：$\begin{cases} x+2y=6, \\ 2x-y=2. \end{cases}$
答案
两个函数图象的交点坐标为$(2,2)$,则方程组的解为 $\begin{cases} x=2, \\ y=2. \end{cases}$
解析
【分析】
用图象法解二元一次方程组的核心思路是“两个一次函数图象的交点坐标就是对应方程组的解”，具体思考步骤如下：①先将方程组中的每个二元一次方程变形为$y=kx+b$（$k\ne0$）的一次函数形式，每个二元一次方程都对应一个一次函数，满足方程的$x、y$就是对应函数图象上点的坐标；②在平面直角坐标系中分别画出两个一次函数的图象；③两个图象的交点坐标同时满足两个函数解析式，也就是同时满足原方程组的两个方程，因此交点的横、纵坐标就是方程组的解。
【解析】
第一步：将方程组中的两个方程变形为一次函数形式：
对$x+2y=6$移项整理得：$y=-0.5x+3$；
对$2x-y=2$移项整理得：$y=2x-2$。
第二步：在平面直角坐标系中分别绘制两个一次函数的图象：
画$y=-0.5x+3$时，选取两点$(0,3)$和$(6,0)$，连接两点得到对应图象；
画$y=2x-2$时，选取两点$(0,-2)$和$(1,0)$，连接两点得到对应图象。
第三步：读取两个图象的交点坐标，可得交点为$(2,2)$，该坐标同时满足两个方程，即为方程组的解。
【答案】
两个函数图象的交点坐标为$(2,2)$,则方程组的解为 $\begin{cases} x=2, \\ y=2. \end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程的关系，图象法解二元一次方程组，一次函数图象画法
【点评】
本题是一次函数与二元一次方程组结合的基础题，解题关键是掌握二元一次方程和一次函数的转化方法，准确绘制函数图象，正确读取交点坐标。
【难度系数】
0.8
用图象法解二元一次方程组的核心思路是“两个一次函数图象的交点坐标就是对应方程组的解”，具体思考步骤如下：①先将方程组中的每个二元一次方程变形为$y=kx+b$（$k\ne0$）的一次函数形式，每个二元一次方程都对应一个一次函数，满足方程的$x、y$就是对应函数图象上点的坐标；②在平面直角坐标系中分别画出两个一次函数的图象；③两个图象的交点坐标同时满足两个函数解析式，也就是同时满足原方程组的两个方程，因此交点的横、纵坐标就是方程组的解。
【解析】
第一步：将方程组中的两个方程变形为一次函数形式：
对$x+2y=6$移项整理得：$y=-0.5x+3$；
对$2x-y=2$移项整理得：$y=2x-2$。
第二步：在平面直角坐标系中分别绘制两个一次函数的图象：
画$y=-0.5x+3$时，选取两点$(0,3)$和$(6,0)$，连接两点得到对应图象；
画$y=2x-2$时，选取两点$(0,-2)$和$(1,0)$，连接两点得到对应图象。
第三步：读取两个图象的交点坐标，可得交点为$(2,2)$，该坐标同时满足两个方程，即为方程组的解。
【答案】
两个函数图象的交点坐标为$(2,2)$,则方程组的解为 $\begin{cases} x=2, \\ y=2. \end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程的关系，图象法解二元一次方程组，一次函数图象画法
【点评】
本题是一次函数与二元一次方程组结合的基础题，解题关键是掌握二元一次方程和一次函数的转化方法，准确绘制函数图象，正确读取交点坐标。
【难度系数】
0.8
6. 如图,直线 $ l_1: y=x+1 $ 与直线 $ l_2: y=mx+n $ 相交于点 $ P(1,b) $.
(1)求 $ b $ 的值.
(2)请你直接写出关于 $ x、y $ 的方程组 $ \begin{cases} y=x+1, \\ y=mx+n \end{cases} $ 的解.
(3)直线 $ l_3: y=nx+m $ 是否也经过点 $ P $? 请说明理由.
(1)求 $ b $ 的值.
(2)请你直接写出关于 $ x、y $ 的方程组 $ \begin{cases} y=x+1, \\ y=mx+n \end{cases} $ 的解.
(3)直线 $ l_3: y=nx+m $ 是否也经过点 $ P $? 请说明理由.
答案
(1)把 $P(1,b)$ 代入 $y=x+1$,得 $b=1+1=2$.
(2)$\because P(1,2),\therefore$ 方程组 $\begin{cases} y=x+1, \\ y=mx+n \end{cases}$ 的解为 $\begin{cases} x=1, \\ y=2. \end{cases}$
(3)直线 $l_3:y=nx+m$ 经过点 $P$. 理由如下: $\because y=mx+n$ 经过点 $P(1,2)$,$\therefore m+n=2$,$\therefore$ 当 $x=1$ 时,$y=nx+m=2$,$\therefore$ 直线 $y=nx+m$ 也经过点 $P$.
(2)$\because P(1,2),\therefore$ 方程组 $\begin{cases} y=x+1, \\ y=mx+n \end{cases}$ 的解为 $\begin{cases} x=1, \\ y=2. \end{cases}$
(3)直线 $l_3:y=nx+m$ 经过点 $P$. 理由如下: $\because y=mx+n$ 经过点 $P(1,2)$,$\therefore m+n=2$,$\therefore$ 当 $x=1$ 时,$y=nx+m=2$,$\therefore$ 直线 $y=nx+m$ 也经过点 $P$.
解析
【分析】
(1) 求b的值时，已知点P(1,b)在直线l₁上，根据一次函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式，将点P的横坐标代入l₁的解析式计算即可得到b的值；
(2) 求二元一次方程组的解，根据一次函数与二元一次方程组的关系：两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，直接写出两直线交点P的坐标即可；
(3) 判断直线l₃是否经过点P，先根据点P在l₂上，代入l₂的解析式得到m与n的数量关系，再将x=1代入l₃的解析式，验证计算出的y值是否等于点P的纵坐标，若相等则说明l₃经过点P。
【解析】
(1) 把$P(1,b)$代入$y=x+1$，得：
$b=1+1=2$
(2) 直线$l_1$与$l_2$的交点坐标为$P(1,2)$，因此关于$x、y$的方程组$\begin{cases} y=x+1 \\ y=mx+n \end{cases}$的解就是交点P的坐标。
(3) 直线$l_3:y=nx+m$经过点$P$，理由如下：
$\because$ 直线$l_2:y=mx+n$经过点$P(1,2)$，将$x=1,y=2$代入得$m+n=2$；
将$x=1$代入$y=nx+m$，得$y=n×1+m=m+n=2$，即$x=1$时$y=2$，符合点P的坐标，因此直线$y=nx+m$也经过点$P$。
【答案】
(1) $b=2$
(2) $\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$
(3) 直线$l_3$经过点$P$，理由见解析。
【知识点】
1. 一次函数图象上点的坐标特征
2. 一次函数与二元一次方程组的关系
3. 点在函数图象上的判定
【点评】
本题属于一次函数的基础题型，核心考察一次函数与二元一次方程的关联，解题关键是熟练掌握“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”“两函数的交点坐标是对应方程组的解”这两个基础结论，计算量小，逻辑清晰，是对基础概念应用能力的考察。
【难度系数】
0.8
(1) 求b的值时，已知点P(1,b)在直线l₁上，根据一次函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式，将点P的横坐标代入l₁的解析式计算即可得到b的值；
(2) 求二元一次方程组的解，根据一次函数与二元一次方程组的关系：两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，直接写出两直线交点P的坐标即可；
(3) 判断直线l₃是否经过点P，先根据点P在l₂上，代入l₂的解析式得到m与n的数量关系，再将x=1代入l₃的解析式，验证计算出的y值是否等于点P的纵坐标，若相等则说明l₃经过点P。
【解析】
(1) 把$P(1,b)$代入$y=x+1$，得：
$b=1+1=2$
(2) 直线$l_1$与$l_2$的交点坐标为$P(1,2)$，因此关于$x、y$的方程组$\begin{cases} y=x+1 \\ y=mx+n \end{cases}$的解就是交点P的坐标。
(3) 直线$l_3:y=nx+m$经过点$P$，理由如下：
$\because$ 直线$l_2:y=mx+n$经过点$P(1,2)$，将$x=1,y=2$代入得$m+n=2$；
将$x=1$代入$y=nx+m$，得$y=n×1+m=m+n=2$，即$x=1$时$y=2$，符合点P的坐标，因此直线$y=nx+m$也经过点$P$。
【答案】
(1) $b=2$
(2) $\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$
(3) 直线$l_3$经过点$P$，理由见解析。
【知识点】
1. 一次函数图象上点的坐标特征
2. 一次函数与二元一次方程组的关系
3. 点在函数图象上的判定
【点评】
本题属于一次函数的基础题型，核心考察一次函数与二元一次方程的关联，解题关键是熟练掌握“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”“两函数的交点坐标是对应方程组的解”这两个基础结论，计算量小，逻辑清晰，是对基础概念应用能力的考察。
【难度系数】
0.8
